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1、数学系数学与应用数学专业09级年论文（设计）例谈三角形五心问题【摘要】三角形“五心”的性质在处理三角形点、线及角之间各种关系的问题时有着重要的作用,三角形“五心”的性质较多,但其应用和重要性在数学教学中常常被忽视，而正确运用三角形的“五心” 又可以解决三角形中许多重要的问题，下面就正确运用三角形的“五心” 巧解几何问题进行必要的探究和举例说明。 【关键词】三角形； 五心； 内切圆； 外接圆An example about the problems of triangles five heart【abstract】 Triangles five heart have important role
2、s in dealing with the problems of the various relationships between triangles point, line and Angle. There are many properties in triangles five hearts, but the nature of the application and importance in mathematics teaching often is ignored, and correct use of the triangles five hearts also can so
3、lve many important problems, here is proceeding necessary exploration and examples in answering geometry problems masterly on applying triangles five heart problems correctly.三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、内心、外心和旁心。中学教学过程中很少系统性举例说明其性质在解三角形时的简便。在平面几何中,三角形五心的性质常常被忽略,但这些性质在解三角形问题中却有着重要的作用。能够正确理解“五心”的定义、作法、性质及以下实例
4、是掌握三角形“五心”的首要条件，也是正确运用“五心”解决相关数学问题的途径。1、内心定义：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做三角形的内心。内心是三角形三条内角平分线的交点，都在三角形内部。作法：作三角形任意两内角的角平分线，交点即为内心。性质:(1)三角形的内心到三角形各边距离相等。（2）所有三角形的内心都在三角形的内部。(3)顶点和内心的连线平分顶点所在的内角。（4）直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。例1：如图为的内心，的延长线交的外交平分线于，则_ ，_。分析：由于为内心故故 又由于、为的内外角平分线图故,则 了解了三角形内心的基本性质以
5、后，在解决实际例题时试着连接顶点与内心、可以连接各切点与内心，看看问题是不是可以解决了。2、重心定义：三角形三条边中线的交点叫做此三角形的重心。重心在三角形内部。作法：作三角形任意两角到对边中点的连线，交点即为重心。性质：( 1 ) 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍。 ( 2 ) 重心是三角形内到三个顶点距离的平方和最小的点。 ( 3 ) 任意三角形的重心都在三角形内部。 ( 4 ) 顶点和重心的连线半分对边。例2 (如图)在中，已知且中线互相垂直，重心到的距离为 ,求和的长。 分析：本题只知 ，到的距离为,可过作于,有,由于没有告诉角,因此须将化为与相关的线段关系求之，从而可构造,
6、,则问题转化为求由是重心，,可得:, 所以。又,为中点，有,则,易得,从而问题可解。图3、旁心定义：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。三角形中任意两角的外角平分线与第三角的内角平分线的交点叫做三角形的旁心。性质：（1）旁心到三角形各边距离相等。（2）任意三角形的旁心都在三角形外部，且有三个。（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。(4) 一个旁心与三角形三个顶点连结所组成的三个三角形面积之比等于原三角形三条边长之比；三个旁心与三角形一条边的端点连结所组成的三个三角形面积之比等于三个旁切圆半径之比.为介绍下面的性质，我们
7、记的三边,的边长分别为、，令=(+)。分别与,外侧相切的旁切圆圆心记为、，其半径记为、。表示的面积。设为角内的旁心,为的外接圆半径,则=4.4、垂心定义：三角形三条高线的交点叫做此三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外部。作法：作三角形任意两边高线，交点即为垂心。性质：（1）顶点和垂心的连线垂直于对边。（2）垂心分每条高线的两部分乘积相等。（3）垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。（4）三角形外心、重心和垂心三点共线，且。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）例3 为钝角三角形的垂心，图分析：为钝角
8、三角形的垂心，则在的外部，且 所以 我们知道钝角三角形的垂心在其外部，三角形的任意两个顶点与其垂心组成的三角形叫做垂心三角形，上题中都是垂心三角形。其中有一性质，锐角三角形的面积与它的一个垂心三角形面积之比等于其公共边所邻的原锐角三角形的两个角的正切之积。5、外心定义：经过三角形各顶点的圆叫做此三角形的外接圆。其圆心叫做三角形的外心，外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。锐角三角形的外心在其内部，直角三角形的外心在其斜边中点，钝角三角形的外心在其外部。作法：做三角形任意两边的垂直平分线，交点即为外心。性质：（1）外心到三角形三个顶点的距离相等（2）锐角三角形外心在三角形内部。 （3）直角三角形
9、外心是斜边的中点。 （4）钝角三角形外心在三角形外部 。 例：设为的外心，的平分线交外接圆于,求证：图分析：因为为的外心，可连接，又.因为平分，则,则知，,于是所以，当时，有： 所以当时，根据(1)可证综上，得出。在了解三角形外心性质及其应用中我们知道了三角形外心在实际用途中的其他性质，三角形外心关于各边的对称点所构成的三角形必与原三角形全等，利用全等三角形的证明可以说明。我觉得在解三角形，尤其在一些技巧性上要求比较高的问题的时候，运用三角形五心的结论最容易找到解决方案，而如果我们不知道这些性质一步一步去推导时，事倍而功半。何况有很多有关三角形五心的性质，这样就更有利于增加我们求解三角形问题的速度。例如，垂心有一性质，垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍，现在如果有一个题目要求三高线交点到三角形一顶点的距离与三垂直平分线交点到此顶点对边距离的关系，很多条辅助线会让这个题目变得越来越难解，如果我们运用五心定理，便不会有这么繁琐的步骤。参考文献1钱端壮.几何基础.北京.高等教育出版社.1989 2付章秀.几何基础.北京.北京师范大学出版社.1989第 8 页 （共 8 页）