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1、Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：18215571552（罗老师）、微信同号导数大题的常用找点技巧和常见模型【引子】（2017年全国新课标1理21）已知f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解析：（1）f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(2ex+1)(aex-1)若a0，则f(x)0，令f(x)=0，得ex111=a,x=lna.1(x)0，所以f(x)在上递减；当xln时，faa(x)0，所以f(x)在ln,+上递增.11-,lnaa（2）f(x)有两个零点，必须满足f(x)
2、0，且f(x)min10.易得，所以gx=1-x-lnx单调递减.综上，当a0时，f(x)在R上递减；当a0时，f(x)在上递减，在ln,+上递增.111min=fln=1-ln0.aaa()()g(x)=-1-x又因为g(1)=0，所以111110g10a1.-lnaaaa下面只要证明当0a0时，xlnx.1事实上，构造函数h(x)=x-lnx，易得h(x)=1-x，h(x)min=h(1)=1，所以h(x)0，即xlnx.当0a0，3-a323333fln=aaa-1+(a-2)a-1-ln-1=aa-1-ln-10，a13-a1113-a，所以f(x)在和lnaaaaaa-1其中ln-1
3、,ln,ln上各有一个零点.故a的取值范围是(0,1).注意：取点过程用到了常用放缩技巧。全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：18215571552（罗老师）、微信同号一方面：ae+(a-2)eaa2xx-x0ae2x+(a-2)exxx-e0ae+a-30ex3-a3xln-1；另一方面：x0(a-2)ex-x0x=-1（目测的）常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数），ln1+xx，xlnxe.lnxx-1lnx1)，lnx11(x1)，12x2xlnx（放缩成双撇函数）()x-x-01
4、()1()xlnx1，xlnxx-0x1，（放缩成二次函数）lnxx2-x，ln(1+x)x-112x2(-1x0)1()2x()12x-1（放缩成类反比例函数）lnx1-x，lnxx+1(0x1)，ln(x+1)x+2(xx+1(x1)，ln(1+x)2+x(x0)第二组：指数放缩（放缩成一次函数）exx+1，exx，exex，1（放缩成类反比例函数）ex(x0)，ex-(xx2，ex1+x+2x2(x0)，第三组：指对放缩ex-lnx(x+1)-(x-1)=2第四组：三角函数放缩sinxx0)，sinxx-111x2，1-x2cosx1-sin2x.222y=lnx，y=ex-1-1，y=
5、x2-x，y=1-1x，y=xlnx.全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：18215571552（罗老师）、微信同号常用的找点技巧方法一：放缩法。成功关键：在目标区间上找到一个合适的逼近函数.1【示例】证明：当0a0，所以需要在左右两侧各找一个函数值小于零的点.（大于e），f分析：极值点为x=1a11aaa，考虑到0ae，所以1-a1e-1因为lnxx-1，要使得lnx-ax0，只需要x-1-ax0，即x1-111,e，所以左侧可取：f=lnf(1)=-a0，11a1a-1-=0；1-a1-a1-a1-a1-a另一方面：因
6、为lnx1)或lnxx-1a12，所以右侧可取：x(x1)，要使得lnx-ax0，只需要x-ax0，即x1111f2=ln2-aaaa1-a-=-a0，f(0)=10，f(-1)=+a0.方法二：目测法。成功关键：数感与大胆.【示例】证明：当ae时，f(x)=ex-ax有两个零点.x.分析：极值点为=lna（大于1），f(nla)a=(1nl-a0)0，f(a)=ea-a20.方法三：分而治之。成功关键：对乘积式的每个因式进行适当放缩.【示例】证明：当a0时，f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.分析：极值点为x=1，f(1)=-e0，难点是在1的左侧找一个函数值大于零的点，显然
7、自变量越小越容易成功，要使得(x-2)ex+a(x-1)20，即a(x-1)2(2-x)ex，只需要满足aex即取b满足b2-x且b0.，2全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：18215571552（罗老师）、微信同号很明显，上述拆分已经达到目的，但是结果还可以从视觉上优化：优化：弱化(x-1)22-x的解，也就是取b-1且b0.优化：为了使得解集更好看，配凑一下系数，使得该二次不等式常数项为0，即a2ex2(x-1)2，2-x所以，取b满足b0且b0.（这就解释了2016年全国卷标准答案中找点的思路）方法四：分析与构造。
8、成功关键：分析零点区间随参数变化的趋势，构造与之相匹配的代数式作为区间端点.2【示例】证明：当0ae时，f(x)=a+xlnx有两个零点.e220，难点是在1=a-分析：极值点为x=1（接近0），f1eee1的左侧找一个函数值大于零的点，显然点应满足如下几个条件：始终为正数；既能开根，也能取对数；当a越小时，它也随之变小，并且能无限趋于零.从条件来看，我们应该取指数的形式，且最好为偶次幂，从条件来看，我们找的指数当趋于0时应趋于负无穷，所以可取反比例函数的形式或双撇函数的形式，经过尝试与调整，找可找到如下的点：44ea4-4aafea=a-2a-a2=a-a=0.方法五：局部构造.成功关键：舍
9、去一些影响计算但是不影响符号判断的项，对剩下的部分进行解方程的操作.【示例】证明：当-1a0时，f(x)=alnx+1-1x有两个零点.分析：极值点为x1（大于1），且faaalna1aa11a0，11a1a1使得alnx+1-1（2）a=11e时，无零点.e时，1个零点.f(x)=1111f=ln-10.axax-1e，f(x)max=f(e)=lne-1=0.（3）当0a1e时，2个零点.（目测），f=ln-1-=0e.（放缩）f(1)=-a011a1a，其中11-0.-a-=ln-aaaaaf2211111=-ae2e.（用到了lnx1)）x（4）当a0时，1个零点.f(x)=1x-a0
10、，单调递增.f(1)=-a0，1=a+-aefea+1aa+1aa+a1-ae2a11=1-2a+0.eaf(ea)=a-aea=a(1-ea)0.【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例1：f(x)=lnx-ax）：m1.讨论f(x)=lnx-mx的零点个数（令x=t，2=a）；2.1讨论f(x)=x-mlnx的零点个数（令m=a）；3.讨论f(x)=xlnx-mx的零点个数（考虑g(x)=f(x)x）；讨论f(x)=lnx-mx的零点个数（考虑g(x)=xf(x)，令t=x2，3m=a）；4.3x25.讨论f(x)=lnx-mx2的零点个数（令t=x2，2m=a）；6.讨论f(x)=
11、ax-ex的零点个数（令ex=t）.全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790经典模型二：y=ex或y=ex成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：18215571552（罗老师）、微信同号xx【例2】讨论函数f(x)=ex-ax的零点个数.（1）a0，f(x)=ex-ax单调递增.1且f(0)=1-a0，f=ea（2）a=0时，无零点.1a1-10恒成立；（3）0a0；（4）ae时，2个零点.a1f=e-101a()=e-aa(e-2)0.【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2：f(x)=ex-ax）：1.讨论f(x)=e2xm-mx的零点个数（令2x=
12、t，2=a）；2.讨论f(x)=-的零点个数（去分母后与1等价）；emxxex3.讨论f(x)=ex-mx的零点个数（移项平方后与1等价）；4.讨论f(x)=ex+mx2的零点个数（移项开方后换元与1等价）；5.讨论f(x)=ex-1-mx的零点个数（乘以系数e，令em=a）；lnx6.讨论f(x)=x-mx的零点个数（令x=et，转化成2）7.讨论f(x)=emx+1-mx+m的零点个数（令x-1=t，e2=a）；全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：18215571552（罗老师）、微信同号经典模型三：y=xlnx或y=
13、xexa【例】讨论函数f(x)=lnx-的零点个数.xx+aaf(x)=x20，f(x)=lnx-x单调递增.a1af(1)=-a1-1+a-1+a=0.（2）a=0时，1个零点（x0=1）.（3）a0e时，1个零点.x0=.f(x)min=（5）-1ea0时，2个零点.111f=ln+1=0eee，f=-1-ea0，f(a2)=lna2111-a-=-a0a-aa1e【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3：f(x)=lnx-ax）：1.讨论f(x)=1x-alnx的零点个数；2.讨论f(x)=m+xlnx的零点个数（考虑g(x)=fx，令x=t）；()xa3.讨论f(x)=x-ex的零点个数（令exa4.讨论f(x)=ex-x的零点个数；=t）；全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面Go高考家长群235649790成都高二、高三寒假班、春季班联系电话：18215571552（罗老师）、微信同号练习题1.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点，求a的取值范围.2.设函数f(x)=e2x-alnx，讨论f(x)的导函数f(x)的零点的个数.3.已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2有两个零点，求a的取值范围.m4.已知函数f(x)=ex-2x2-mx-1.当m0时，试讨论y=f(x)的零点的个数.全国最优秀的高考备考资源都在群文件里面