《学而思初一数学暑假班第15讲.乘法公式(二).教师版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学而思初一数学暑假班第15讲.乘法公式(二).教师版.docx（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、15乘法公式(二)基础知识常用公式(二)：三元完全平方公式：示例剖析8a3-27b3=(2a-3b)(4a2+6ab+9b2)=(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac立方差（和）公式：(2x+y)3=8x3+6x2y+6xy2+y3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)完全立方公式：(ab)3=a33a2b+3ab2b3常见变形：a2+b2+c2-ab-bc-ac12a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)模块一三元完全平方公式填空：a2+b2+c2+ab+bc+ca=(_+_+_)2；
2、夯实基础【例1】计算：(a+b+c)2；(a-b-c)2；(a-2b+3c)211111191646434m2+n2+16p2-4mn-8np+16pm=(_-_+4p)2【解析】原式=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc原式=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc第15讲尖端预备班教师版1a，b，c原式=a2+2b3+3c2-4ab+6ac-18bcn1113422m，【例2】已知(x+y)2-2x-2y+1=0，则(x+y)999=_已知三个数a，b，c满足方程c2+2ab=29b2+2ac=14，求a+b+ca+2bc=212【解析】解法一：由已知条件可知，x2+y2+1+2xy-
3、2y-2x=(x+y-1)2=0，故x+y=1，(x+y)999=1解法二：由已知条件可知，(x+y)2-2(x+y)+1=(x+y-1)2=0，故x+y=1，(x+y)999=1三式相加，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=64，所以(a+b+c)2=64，a+b+c=8已知a-b=b-c=，a2+b2+c2=1，求ab+bc+ca的值=(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=(-1)2+(-2)2+(-1)2=3故ab+bc+ca=(a2+b2+c2)-1(a-b)2+(b-c)2+(c-a)22能力提升【例3】若a=1990，b=1991，c=1992，则a2+b2+c2-ab
4、-bc-ac=35【解析】a2+b2+c2-ab-bc-ac1212由a-b=b-c=3可知，a-c=6，55199362=1-(+)=-225252525【例4】已知3a+2b+c=24，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a3+b2+c=_如果a，b，c是DABC三边的长，且a2+b2-ab=c(a+b-c)，那么DABC是()A等边三角形B直角三角形C钝角三角形D形状不确定【解析】由a2+b2+c2=ab+bc+ca，可得a=b=c;则a=b=c=4a3+b2+c=84已知关系式可化为a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，即1(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=0，
5、22第15讲尖端预备班教师版3b-2c=0所以1(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0，故a=b，b=c，c=a即a=b=c选A2【备选】若14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，求a:b:c【解析】14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，13a2+10b2+5c2-4ab-12bc-6ac=0，即(4a2-4ab+b2)+(9a2-6ac+c2)+(9b2-12bc+4c2)=0，亦即(2a-b)2+(3a-c)2+(3b-2c)2=02a-b=03a-c=0，解得b=2a，c=3a，a:b:c=1:2:3模块二立方公式计算：(a-)(a+)(a2-a+)(a2+a+)
6、(2a+b)24a2-(2a-b)b2夯实基础【例5】计算：(2m+n2)(4m2-2mn2+n4)；(3x2-2y)(9x4+6x2y+4y2)；(xm+xn)(x2m-xmn+x2n)；填空：(b-_)(4a2+2ab+b2)=b3-8a3；(x+3y)(x2-_+9y2)=x3+27y3【解析】(2m+n2)(4m2-2mn2+n4)=8m3+n6；(3x2-2y)(9x4+6x2y+4y2)=(3x2)3-(2y)3=27x6-8y3(xm+xn)(x2m-xmn+x2n)=(xm)3+(xn)3=x3m+x3n2a；3xy；【例6】计算：(a+2b)(a-2b)(a4-8a2b2+1
7、6b4)计算：(2a+b)24a2-(2a-b)b2111111333939【解析】(a+2b)(a-2b)(a4-8a2b2+16b4)=(a2-4b2)3=a6-12a4b2+48a2b4-64b6=(2a+b)2(4a2-2ab+b2)2=(8a3+b3)2=64a6+16a3b3+b6；(a-1)(a+1)(a2-1a+1)(a2+1a+1)=(a3-1)(a3+1)=a6-1；3339392727729第15讲尖端预备班教师版3模块三公式的应用a2+b2=(a+b)+(a-b)=13，ab=(a+b)-(a-b)=-6，a2+b2+ab=7故a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
8、=(a+b)(a+b)2-3ab=125-15ab由xy=1(x+y)2-(x2+y2)=-1，22能力提升【例7】已知a+b=3，ab=12，求下列式的值：a2-ab+b2=；(a-b)2=已知实数a、b满足(a+b)2=1，(a-b)2=25，求a2+b2+ab的值若a+b=5，求a3+b3+15ab的值【解析】a2-ab+b2=a2+2ab+b2-3ab=(a+b)2-3ab=45(a-b)2=a2-2ab+b2=a2+2ab+b2-4ab=(a+b)2-4ab=57222224解法一：由a+b=5，从而可知，a3+b3+15ab=125解法二：由a+b=5，故(a+b)3=a3+3a2
9、b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)=a3+b3+15ab=125【例8】若x+y=m+n，x2+y2=m2+n2，求证：x2012+y2012=m2012+n2012【证明】因为x+y=m+n，所以(x+y)2=(m+n)2，即x2+2xy+y2=m2+2mn+n2；因为x2+y2=m2+n2，所以2xy=2mn，于是x2-2xy+y2=m2-2mn+n2，即(x-y)2=(m-n)2，所以x-y=m-n或者x-y=n-m；于是x=m，y=n或者x=n，y=m；无论哪种情况，都有x2012+y2012=m2012+n2012【例9】已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y
10、2的值已知x+y=1，x2+y2=2，求x6+y6的值【解析】由x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，得1000-3xy10=100，即xy=30所以x2+y2=(x+y)2-2xy=40x6+y6=(x2)3+(y2)3=(x2+y2)3-3x2y2(x2+y2)=132【例10】若(x+2)2+(x-3)2=13，则(x+2)(3-x)=已知(2012-a)(2010-a)=2011，那么(2012-a)2+(2010-a)2=【解析】令x+2=a，3-x=b，问题变为：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值4第15讲尖端预备班教师版易知(x+2)(3-x)=ab=(a+b)2-(
11、a2+b2)1=62令2012-a=x，2010-a=y，问题变为：x-y=2，xy=2011，求x2+y2的值易知x2+y2=(x-y)2+2xy=22+22011=4026a=5，则a2=_【例11】已知a+1a4+a2+1a的值已知：a2+1a2=7，求a+1【解析】a+1=5a2+1=23，a+a+1=a2+1+1=2442aa2a2a2a2+1=7，a2+1+2=9，即(a+1)2=9，a+1=3a2a2aax；x2+x2；x4+x4的值【例12】已知：x2-7x+1=0，求x+111【解析】x2-7x+1=0，x0，x-7x+1=0，即x+1=72xxx=7，x2+x+111x2+
12、2=49，x2+x2=47x2=47，x4+x2+111x4+2=2209，x4+x4=2207x2-x+1=7，则x4+x2+1=_【备选】若xx2x2-x+1=7x=x+1x-1【解析】x118134=7x+x2+=-7x249=1=49x4+x2+1=x211x2+1+11-341515x24949第15讲尖端预备班教师版52x-y-z2x-y-z=2x+(-y)+-z=4x2+y2+z2-4xy+yz-2zx实战演练知识模块一三元完全平方公式课后演练【演练1】计算：(3x-y+5z)2(x-5y-9)2122【解析】(3x-y+5z)2=9x2+y2+25z2-6xy-10yz+30z
13、x；122(x-5y-9)2=x2+25y2+81-10xy+90y-18x12124x+20，b=x+19，c=x+21，【演练2】已知a=111202020故a2+b2+c2-ab-bc-ca=1(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=16=322求代数式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值【解析】由a=1x+20，b=1x+19，c=1x+21，可知，a-b=1，b-c=-2，c-a=1202020【演练3】若a，b，c均为正数，且满足a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2，那么a，b，c之间有什么关系？【解析】由a4+b4+c4=a2b2+b2c2+c2a2，得2(a4+b
14、4+c4)=2(a2b2+b2c2+c2a2)故(a4-2a2b2+b4)+(b4-2b2c2+c4)+(c4-2c2a2+a4)=0即(a2-b2)2+(b2-c2)2+(c2-a2)2=0，得a2-b2=0,b2-c2=0,c2-a2=0即a2=b2=c2，又由a，b，c为正数，即得a=b=c6第15讲尖端预备班教师版【演练6】已知x+y=1，x3+y3=，求x6+y6的值知识模块二立方公式课后演练【演练4】填空：(m+2n)(_-2mn+_)=m3+8n3计算：(b+3a)(9a2-3ab+b2)计算：(x+2y)2(x2-2xy+4y2)2【解析】m2，4n2；(b+3a)(9a2-3
15、ab+b2)=(b+3a)(b2-3ab+9a2)=b3+(3a)3=b3+27a3；(x+2y)2(x2-2xy+4y2)2=(x+2y)(x2-2xy+4y2)2=(x3+8y3)2=x6+16x3y3+64y6知识模块三公式的应用课后演练【演练5】已知a+b=3，a2b+ab2=-30，则a2-ab+b2+11=【解析】a2b+ab2=ab(a+b)=3ab=-30，所以ab=-10，a2-ab+b2+11=(a+b)2-3ab+11=5013【解析】由于x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=1-3xy=1，得到xy=2；39于是：x6+y6=(x3+y3)2-2x3y312=()2-2()339=65729a的值【演练7】已知：a2+1a2=3，求a-1【解析】a2+1=3，a2+1-2=1，即(a-1)2=1，a-1=1a2a2aa第15讲尖端预备班教师版7