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1、1有理数与数轴满分晋级阶梯实数3级有理数的混合运算实数4级有理数与数轴实数5级有理数综合运算暑期班第三讲秋季班第一讲秋季班第二讲漫画释义长度单位知识、题型切片初一秋季第1讲尖子班教师版1知识点切片（3个）2+1+1知识点目标有理数与数轴（2）相反数与数轴（1）绝对值与数轴（1）1、点表示数；2、比较大小1、相反数的几何意义1、绝对值的几何意义题型切片（6个）对应题目题型目标用数轴表示数数轴上点、线段的移动利用数轴比较大小利用数轴性质建立方程求点对应的数数轴折叠周期问题与数轴例1、练习1例2、例3、练习2例4、练习3例5、练习4例6、练习5例7、练习6【例1】在数轴上画出表示2.5，-4，0，-
2、2，5各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用思路导航数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数，如p.0相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数特别地，的相反数是0.数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数.绝对值：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离数a的绝对值记作a正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的
3、绝对值是它的相反数数轴上的点，对应的数绝对值越大，离原点越远.用数轴表示数12“”连接起来.如图，数轴上表示数-2的相反数的点是（）NMQPA点PB点QC点MD点N210123数轴的单位长度为1，点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（）A-4B-2C0D4AB【解析】分别将数的对应点在数轴上画出，如图，按数轴上从左到右的点对应从小到大的实-4-21202.55数，得到-4-2102.55A.B.2-5-4-3-2-1012345数轴上点、线段的移动【例2】数轴上有一点A，它表示的有理数是-3，将点A向左移动3个单位得到点B，再向右移动8个单位，得到点C，则点B表示的数是，点C表示的
4、数是2初一秋季第1讲尖子班教师版1、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2013厘米的线段在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2013厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点至少有个，至多有个+【解析】由数轴的基本定义可知为-6，2.2013；2014针对例2的铺垫：1、在数轴上，表示-1999和1999的两个点之间有个整数（含-1999和1999）在数轴上，表示-1999.1和1999.9的两个点之间有个整数【解析】3999；3999针对例2的拓展：12AB，则线段AB盖住的整点至少有个，至多有个2、设数轴的单位长度是1厘米
5、，若在这个数轴上随意画出一条长M（M为正整数）厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点至少有个，至多有个3、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长M（mMm+1，m为正整数）厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点至少有个，至多有个【解析】1、2013；2014.2、M，M+1.3、m，m+1.【例3】一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，x表示第n秒时机器人n在数轴上的位置所对应的数.求x、x的值.35比较x与x的大小.20132014电子跳蚤在数轴上的某一点K，第一步由点K向左跳1个单位到点
6、K，第二步由点001K向右跳2个单位到点K，第三步由点K向左跳3个单位到点K，第四步由点K向12233右跳4个单位到点K，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K所4100表示的数恰好是19.94求电子跳蚤的初始位置点K所表示的数0【解析】x=3，x=1.x=405，x=404，xb，那么用数轴上的点来表示ba，正确的应该是哪一个（）Aa0bBb0aCa0bDb0abb【解析】根据a，在数轴上的位置可知，a0，且a的绝对值比2b的绝对值大，所以a-baa+b-bb-a.bC，根据题意，a0，且在数轴上a的对应点与原点的距离较b的对应点大.利用数轴的性质建立方程求点对应的数【例5】如图
7、，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A、B、C、D对应的数分别为整数a、b、c、d，且d-2a=4试问：数轴上的原点在哪一点上？MABCabcDdN如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a、b、c、d若a+b+c+d=-2，那么与数轴原点最接近的点是（）AA点BB点CC点DD点若a+b=7，那么与数轴原点最接近的点是（）ABCDAA点BB点CC点DD点如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长，有理数a、b、c、d所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示，已知3a=4b-3，求c+2d的值.abcd【
8、解析】由数轴可知，d=a+3，代入d-2a=4得a+3-2a=4，解得a=-1所以原点应在点B处Ca+(a+3)+(a+4)+(a+7)=-2，a=-4，b=-1，c=0，d=3Aa+a+3=7，a+a=4，a0，a=2-2.提示：b=a+2.数轴折叠【例6】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面01若1表示的点与-1表示的点重合，则-2表示的点与数表示的点重合：若-1表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为c个单位长度，点A表示的有理数是a，并且A、4初一秋季第1讲尖子班教师版B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解
9、析】2；-3；此时折线与数轴的交点表示的有理数是a1c.2周期问题与数轴【例7】如图所示，数轴被折成90，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2013将与圆周上的数字重合？98013324567【解析】20134=503L1，则与数字0重合针对例7的铺垫：如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数-1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数-2012将与圆周上的数字重合
10、-5-4-3-2-102031【解析】20124=503，则与数字0重合针对例7的拓展：1、如图所示，一数轴被折围成长为3，宽为2的长方形，圆的周长为4且圆上刻一指针，若1在数轴固定的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与7接触的时候，指针的方向是（）7-10126543ABCD2、如图，边长为1的等边三角形ABC从图示的位置开始在数轴上顺时针无滑动地向右滚动，当三角形的一个顶点落在x=2013处时，三角形停止滚动.落在x=2013处的点是ABC的哪个顶点？说明理由.在滚动过程中，点A走过的路程是多少？BCA012013初一秋季第1讲尖子班教师版53、把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位
11、长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，点O处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A接触时，指针指向（东、南、西、北），当圆与2009接触时，指针指向（东、南、西、北）北西O-10南A【解析】1、C2、顶点C；894p.3、在直的数轴上，线段AO=41，41=410+1，指针指向北；2009-(-14)=2023，因为6364=2016，2023-2016=7，故2009在点O的西边，20234=505+3，2指针指向西东6初一秋季第1讲尖子班教师版思维拓展训练(选讲)训练1.已知a+b与a-b互为相反数，求a2000+b
12、2000+a2003-b2003b【解析】0.因为a+b与a-b互为相反数，所以a+b+a-b=0，从而得到a=0，=0所以原式等于0.训练2.在数轴上任取一条长度为19991的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的9个数为.【解析】2000.训练3.设a是大于1的有理数，若a，a+2，2a+1在数轴上对应的点分别记作A，B，C，33则A，B，C三点在数轴上自左至右的顺序是.（人大附中期中）【解析】BCA.训练4.a、b、c、d分别为有理数，a是绝对值最小的有理数，b是最小的正整数，c的相反数是其本身，d为负数且它的倒数是本身求：ab的值；a+b+c-d的值非零整数m，n满足|m|+|
13、n|-5=0，所有这样的有序（即(m,n)和(n,m)不同）整数组(m，n)共有组（清华附中期中）【解析】ab=0，a+b+c-d=2；m+n=5，11若m=1，n=4，有(1，4)，(-1，4)，(1，-4)，(-1，-4)；若m=2，n=3，有(2，3)，(2，-3)，(-2，3)，(-2，-3)；若m=3，n=2，有(3，-2)，(3，2)，(-3，2)，(-3，-2)；若m=4，n=1，有(4，)，(4，-1)，(-4，-1)，(-4，).所以共有16组初一秋季第1讲尖子班教师版7复习巩固用数轴表示数【练习1】一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向前走了1.5km到达小颖
14、家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置.小明家距离小彬家多远？货车一共行驶了多少千米？【解析】如图所示：西小明家-6-5-4-3-2-1超市01小彬家小颖家2345东小明距离小彬家8km货车共行驶了3+1.5+9.5+5=19km.数轴上的点、线段的移动【练习2】在数轴上，点A和点B都在与-向154对应的点上，若点A以每秒3个单位长度的速度右运动，点B以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A和点B所处的位置对应的数是什么？这时线段AB的长度是多少？在数轴上表示整数的点称为整数点，
15、某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长2007cm的线段AB被线段AB盖住的整数有（）个A2005或2006B2006或2007C2007或2008D2008或2009【解析】点A对应的数是69，点B对应的数是-71，线段AB的长度是35；C.44利用数轴比较大小bcBC【练习3】数a，d所对应的点A，D在数轴上的位置如图所示，那么a+c与b+d的大小关系为.【解析】a+cb+d.AD0CB利用数轴性质建立方程求点对应的数【练习4】如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的整数a、b、c、d，且b-2a=9，那么数轴的原点对应点是（）AA点BB点C
16、C点DD点ABCD【解析】Cb-2(b-4)=9，b=-18初一秋季第1讲尖子班教师版数轴折叠【练习5】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面01若-1表示的点与5表示的点重合，则7表示的点与数表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8个单位长度，点A表示的有理数是-10，并且A、B两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解析】-3；此时折线与数轴的交点表示的有理数是-6或-14.周期问题与数轴【练习6】如图，圆的周长为3，在圆的三等分点处标上数字0、1、2.圆从图示的位置向右滚动，那么数轴上的2013将与圆上哪个数字重合？20110122013【解析】1.数学史
17、数轴是谁最先发现的？勒内笛卡儿1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡儿得名），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者且提出了“普遍怀疑”的主张。黑格尔称他为“现代哲学之父”。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。数学活动动手操作，你需要哪些工具，能在数轴上找到.试着画出-3-
18、2-101234初一秋季第1讲尖子班教师版9第十三种品格：公平为自己拥有的而欣喜一个小男孩几乎认为自己是世界上最不幸的孩子，因为患脊髓灰质炎而留下了瘸腿和参差不齐且突出的牙齿他很少与同学们游戏或玩耍，老师叫他回答问题时，他也总是低着头一言不发在一个平常的春天，小男孩的父亲从邻居家讨了一些树苗，他想把它们栽在房前他叫他的孩子们每人栽一棵父亲对孩子们说，谁栽的树苗长得最好，就给谁买一件最喜欢的礼物小男孩也想得到父亲的礼物但看到兄妹们蹦蹦跳跳提水浇树的身影，不知怎么地，萌生出一种阴冷的想法：希望自己栽的那棵树早点死去因此浇过一两次水后，再也没去搭理它几天后，小男孩再去看他种的那棵树时，惊奇地发现它不
19、仅没有枯萎，而且还长出了几片新叶子，与兄妹们种的树相比，显得更嫩绿、更有生气父亲兑现了他的诺言，为小男孩买了一件他最喜欢的礼物，并对他说，从他栽的树来看，他长大后一定能成为一名出色的植物学家从那以后，小男孩慢慢变得乐观向上起来一天晚上，小男孩躺在床上睡不着，看着窗外那明亮皎洁的月光，忽然想起生物老师曾说过的话：植物一般都在晚上生长。何不去看看自己种的那颗小树当他轻手轻脚来到院子里时，却看见父亲用勺子在向自己栽种的那棵树下泼洒着什么顿时，一切他都明白了，原来父亲一直在偷偷地为自己栽种的那颗小树浇水、施肥！他返回房间，任凭泪水肆意地奔流，不再为自己的不幸而悲伤，反而为自己拥有的而欣喜。几十年过去了，那瘸腿的小男孩虽然没有成为一名植物学家，但他却成为了美国总统，他的名字叫富兰克林罗斯福今天我学到了10初一秋季第1讲尖子班教师版