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1、寻根溯源 活水长流浅谈对数列求和中错位相减法运用的探究教学研究>教学反思数学教学通讯(教师版)投稿邮箱:sxjkvip.163.coro浅谈对数列求和中错位相减法运用的探究王建鹏福建惠安高级中学362100罗增儒老师在数学解题学引论一书中曾对数学的解题方法作了非常精辟地诠释.罗老师认为.我们探讨解题方法的实质.就是要透过那机械操作的形式去弄清每一个解题方法与什么样的数学知识相联系,与什么样的数学方法相结合.简而言之,数学方法应重在理解,重在本质.目前,高中新课程数列求和的教学主要强调通解通法,强调不同求和方法各自的使用背景.比如说.教师在平时的讲题中经常强调等差乘等比型数列求和问题只能用
2、错位相减法来解决,似乎成了自古华山一条道的绝法:并且,错位相减法的存在价值似乎也仅仅在于用来解决等差乘等比型数列求和问题,别无它用.然而正所谓横看成岭侧成峰,远近高低各不同,不同视角的切人让我带来了不同的发现.笔者认为.倘若我们能从问题的根源人手,则这些问题可全盘皆活,水到渠成.引例求&-1?20+2?2+3?2z+?+n?2.法一显然,an=n?2为等差乘等比型数列,可选择采用错位相减法.法二注意到nn?型以及()-n?,可选择以导数为工具.采用构造函数法.解析令)=1.0+2?+3?2+?,不难观察到,(矿)=n.1.所(一Xn+l_X卜可知Js,l厂(2)=n?2-(n+1)?2
3、1=(,卜1)?2l|法三不妨换个角度理解,如果我们能构造出一个新的数列,使得%2Lbt,n=l2,显然s=(6一6,卜)+(6)+(b2-b)+6,因此可选择采用裂项相消法.解析令=n?2=(帆+6)?2n_0(n一1)+6?2=(2an+2b-an+a-b)?2=cm+(叶6)?2,可得a=l,6=一1,即cbn?2.-I=(n一1)?2一(n一2)?2,所以S=1+(1?22O)+(2?23-I?22)+(3?24-2?23)+?+(n-1)?2-(n一2)?2=(n-1)?21.j疑点用裂项法解决等差乘等比型数列的求和问题,听起来有点不可思议,但我们做到了.在此笔者并无意鼓励大家要改弦
4、易辙,削弱错位相减法的作用,只希望我们借此能更深刻地体会裂项思想同样作为数列求和的种重要通法的魅力.正如一千个读者就有一千个哈姆雷特,我们学习数列更应关注的是其数学本质.错位相减法绝非解决等差乘等比型数列求和问题的唯一途径.只能说是典型方法.反之思考,错位相减法是否只能解决等差乘等比型数列的求和问题呢?正所谓不识庐山真面目,只缘身在此山中.对于错位相减法这位老朋友,我们又了解多少呢?探究案例1(2010届厦门高三质量检查第15题)自等相一槲一一一一一一一一一一一一一一投稿邮箱:数学教学通讯(教师版)教学研究>教学反思已知数列%的通项为%=(2n一1)?2,求其前rt项和时,我们用错位相减
5、法,即由|s卜2+3?22+5?23+(2n一1)?2得2S=1.22+3?23+5?2+(2凡一1)?2叶.两式相减得一S.-2+2?2z+2?2+2?2(2n1)?2.求出S=(2n一3)?2+&类比推广以上方法,若数列b的通项为6n?2,则其前/,项和.解析S:1?2+2?2+3?2+n?2n2S=1?22+2?2+3?2+(n一1)?2%n?2,则一.s,=1?2+3?22+5?2+(2n1)-2卜n?2n+l=(2n一3)?2+6一n?2.所Sn=(n2-2n+3)21-6.案倒2(自编题)执行如图1所示的程序框图.则输出的结果为.图1解析不难发现,这个框图事实上可看成是个递
6、推数列.问题可以化归为:若数列满足广2:凡+1且1=1,求%的通项公式.考虑到该递推数列的特征,可采用迭代法对%进行求解,即当2时,(口2n)+2(口一2)+2(珥r2口)+22(a2-2a1)+2.-t.nl=n?2o+(n,一1)?2+(n2)?22+2?2-%1?2.显然.之后的运算过程可用错位相减法来完成.(反思案例l与案例2有何共通之处?从形式上看.两个案例都不是等差乘等比型数列的求和问题.但通过化简都可以成功化归为等差乘等比型数列的求和问题.可见,正磺I的说法应该是:错位相减法能解决本质上为等差乘等比型数列的求和问题.然而,我们探究的目的绝非纯粹地强化错位相减法或者裂项相消法,而是
7、希望借助这样的共同反思,加深对数列求和方法的本质理解,加深对教学过程中从发散到回归的教学理念的升华.正所谓解需有法.而解无定法,在解决问题时,首先要对相关知识与方法寻根溯源,总结一套切实可行的解题思路,更要在此基础上打破思维定式,见机行事,才能在我们的脑海中活水长流.(上接第30页)利为止,形成一个比赛过程.问其中中方获胜的所有可能出现的比赛过程有多少种?变式5一座桥上有编号为1,2,3,l7,18的l8盏灯,为了节约用电,又不影响照明.可以把其中的6盏灯关掉,但不能同时关掉相邻的灯.也不能关掉两端的路灯,问不同的关灯方法有多少种?以上问题的答案都是C,放在同一节课让学生探究,非常有助于其对挡
8、板法的掌握.4.变结论在题目条件不变的前提下,不断变化结论.逐层挖掘题目深沉含义.可以培养学生的发散思维,让学生通过一道题目的解答,既巩同所学知识,又增强知识间的应用,挖掘思维的深度和广度,有效提高其解题能力和探究能力.下面的例题条件相同,结论却不同,把它们放到一起进行对比研究.可以从本质上理解以不变应万变.案例8设a,b,c都是正数,且a+b+c=1,求证:+三+1>t9.abc变式1设0,b,c都是正数,且n+6十c=1,求证:a2+b>9abc.变式2设,b,c都是正数,La+b十c=l,求证:(1)(1-b)(1_-c)>8abc.变式3设a,b,c都是正数,Ha+b
9、=,求证:(一)(一)(一)s.变式4设a,b,c都是正数,且0+6.c=t,求证:(+?)(+)(+)通过结论形式的变式,让学生感受万变不离其宗,可以加深学生对问题本质特征的理解,巩固和掌握.5.调换条件与结论条件和结论的换位思考.主要是为了考查学生的逆向思维能力,这对学生的思维品质要求教高.学生若能借助顺向思维去进行逆向思维.则他们的辩证思维能力就一定能得到提高.案例9过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P,Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点,求证:直线MQ平行于抛物线的对称轴.变式设抛物线y=2px(p>O)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于P,Q两点,点在抛物线的准线z上,KMQ轴,求证直线经过原点.通过变换命题的条件与结论,产生一个既类似又有区别的问题,可以让学生产生浓厚的兴趣,在挑战中寻找乐趣,使逆向思维得到发展.总之,变式教学可以让教师有目的,有意识地引导学生从变的现象中发现不变的本质,从不变的本质中探究变的规律,在无穷变化中领略数学的魅力.体会学习数学的乐趣.047