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1、5-4-4.完全平方数及应用（一）教学目标1.学习完全平方数的性质；2.整理完全平方数的一些推论及推论过程3.掌握完全平方数的综合运用。知识点拨一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数p整除完全平方数a2，则p能被a整除。2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇
2、数因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且p2n-1|N，则p2n|N性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方
3、数。3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)5-4-4.完全平方
4、数及应用（一）.题库教师版page1of9例题精讲模块一、完全平方数计算及判断【例1】已知：123456765432149是一个完全平方数，求它是谁的平方?【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】解答【解析】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121112；123211112；123432111112，于是，我们归纳为1234n4321=(1111)2，所以，n个11234567654321：11111112；则，123456765432149=1111111272=77777772所以，题中原式乘积为7777777的平方【答案】77777
5、77【例2】1234567654321(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)是的平方【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】填空【关键词】祖冲之杯【解析】1234567654321=11111112，1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=72，原式=(11111117)2=77777772【答案】7777777【例3】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，第9题【解析】（法1）先将12！分解质因数：12!=2103552711，由于12!除以n得到一
6、个完全平方数，那!42么这个完全平方数是12的约数，那么最大可以为21035，所以n最小为12!2103452=3711=231。（法2）12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数，所以n的最小值是3711=231。【答案】231【例4】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】平方数的末尾只能是0，1，4，5，6，9，因为111，444，555，666，999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数考察1111，1444可以知道1444=3838，所以满足条
7、件的最小正整数是1444【答案】1444【例5】A是由2002个“4”组成的多位数，即4444，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由2002个4【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】A=4444=221111如果A是某个自然数的平方，则1111也应是某个自然数的平方，2002个42002个12002个1并且是某个奇数的平方由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而1111-1=11110不是4的倍数，矛盾，所以A不是某个自然数的平方2002个12001个15-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page2of
8、9【巩固】A是由2008个“4”组成的多位数，即444，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由2008个4【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】不是A=444=22111假设A是某个自然数的平方，则111也应是某个自然数的平方，并且2008个42008个12008个1是某个奇数的平方由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而111-1=1110不是4的倍数，与假设矛盾所以A不是某个自然数的平方2008个12007个1【例6】计算11112222=AA，求A2004个11002个2【考点】完全平方数计算及判断【难度】4
9、星【题型】解答【解析】此题的显著特征是式子都含有1111，从而找出突破口.11112222=1111000n个1011112004个11002个2=1111（10001002个11002个00-1）1002个1所以，A3333.1002个11002个0=1111（9999）1002个11002个9=1111（111133）=A21002个11002个1【答案】33331002个3【例7】4441002个3488889=A2，求A为多少?2004个42003个8求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？【考点】完全平方数计算及判断【难度】4星【题型】解答【解析】本题直接求解有点难度，但是其
10、数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：注意到有444488889可以看成444488889，其中n2004；2004个42003个8寻找规律：当n=1时，有49=72；n个4n-1个8当n=2时，有4489=672；当n=3时，有444889=6672于是，类推有444488889=6666722004个42003个82003个6方法二：下面给出严格计算：444488889=44440000+8888+1；2004个42004个42004个02003个82004个8则44440000+8888+11111（410000+8）+12004个42004个02004个82004个
11、12004个011114（9999+1）+8+12004个12004个911114（9999）+12+12004个12004个9(1111)236+121111+12004个12004个15-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page3of9(1111)236+2（61111）+12004个12004个1(66666+1)2=(66667)22004个62003个6由知444488889666672，于是数字和为(4n+8n-8+9)=12n+1；令12n+1=2005n个4n-1个8解得n=167，所以4444888n-1个6672。所以存在这样的数，是44489=666488889
12、167个4【答案】（1）666672,（2）444166个84888166个689=666672167个4166个8167个4166个82003个6166个6模块二、平方数特征（1）平方数的尾数特征【例8】下面是一个算式：1+12+123+1234+12345+123456，这个算式的得数能否是某个数的平方？【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都
13、有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方【答案】不是【例9】一个数与它自身的乘积称为这个数的平方各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有_个【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第10题【解析】49=1+4+9+25，1,2,3,5全排列共有24个。【答案】24【例10】用19这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数那么，其中的四位完全平方数最小是【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，复试，11题【解
14、析】四位完全平方数12343521225，所以至少是3621296当四位完全平方数是1296时，另两个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位只能是2，但数字2在1296中已经使用当四位完全平方数是3721369时，另两个平方数的个位只能分别为4,5，个位为5的平方数的十位一样只能是2，还剩下7,8，而784恰好为282所以，其中的四位完全平方数最小是1369【答案】1369【例11】称能表示成1+2+3+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数，N=。【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5星【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14题
15、【解析】N=k(1+k)/2=m2，4位数的话2000=k(k+1)20000,45=k=140，k=2nn*(2n+1)=N。n与2n+1互质，所以要均为平方数。平方数末尾149650。满足要求的是4950。23=n=70发现没有：k=2n-1，n(2n-1)=N同上，满足要求是1650找到25所以k=49，N=1225，m=35。【答案】12255-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page4of9（2）奇数个约数指数是偶数【例12】在22=4，33=9，44=16，55=25，66=36，等这些算是中，4，9，16，25，36，叫做完全平方数。那么，不超过2007的最大的完全平方
16、数是_。【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第4题，5分【解析】4545=2025；4444=1936，所以最大的是1936.【答案】1936【例13】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】解答【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23527,所以它的约数有(3+1)(2+1)(1+1)=432=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1
17、后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数由以上分析知,我们所求的为360630之间有多少个完全平方数?1818=324,1919=361,2525=625,2626=676,所以在360630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625【答案】361,400,441,484,529,576,625【例14】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最
18、小值是_【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】填空【解析】先将1016分解质因数：1016=23127，由于1016a是一个完全平方数，所以至少为241272，故a最小为2127=254【答案】254【巩固】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】填空【解析】3528=233272，要使3528a是某个自然数的平方，必须使3528a各个不同质因数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以a为2可以使3528a是完全平方数，故a至少为2【答案】2【例15】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平
19、方数的数共有多少个？【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】3星【题型】解答【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现而72=2332=266，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于23131=1922200823232=2048，所以212、222、2312都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个【答案】31【例16】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级【解析】（法1）先将12！分解质因数：12!=2103552711，由于12!除以n得到一个完全平方数，那么!4这个完全平
20、方数是12的约数，那么最大可以为21035，所以n最小为5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page5of912!2103452=3711=231。（法2）12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的幂次是奇数，所以n的最小值是3711=231。【答案】231【例17】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星【题型】填空【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的设中间数
21、是x,则它们的和为5x,中间三数的和为3x5x是平方数，设5x=52a2,则x=5a2，3x=15a2=35a2是立方数，所以a2至少含有3和5的质因数各2个,即a2至少是225,中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123【答案】1123【例18】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星【题型】解答35【解析】为使所求的数最小，这个数不能有除2、之外的质因子设这个数分解质因数之后为2a3b5c，由于它乘以2以后是完全平方数，即2a+13b5c是完全平方数，则(a+1)、b、c都是2的倍数；
22、同理可知a、(b+1)、c是3的倍数，a、b、(c+1)是5的倍数所以，a是3和5的倍数，且除以2余1；b是2和5的倍数，且除以3余2；c是2和3的倍数，bc且除以5余4可以求得a、的最小值分别为15、20、24，所以这样的自然数最小为215320524【答案】215320524【例19】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】60=345是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60任何三个连续正整数，必有一个能为3整除，所以，
23、任何美妙数必有因子3若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子4另外，由于完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，若其个位是0和5，则中间的数能被5整除；若其个位是1和6，则第一个数能被5整除；若其个位是4和9，则第三个数能被5整除所以，任何美妙数必有因子5由于3，4，5的最小公倍数是60，所以任何美妙数必有因子60，故所有美妙数的最大公约数至少是60综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，所以，只能是60【答案】60【例20】考虑下列32个数：1!，2!，3!，32!，请你去掉其中的
24、一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星【题型】填空【解析】设这32个数的乘积为AA=1!2!3!32!=(1!)22(3!)24(31!)232=(1!3!31!)2(2432)=(1!3!31!)221616!，所以，只要划去16!这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数另外，由于16!=1615!，而16也是完全平方数，所以划去15!也满足题意【答案】16!或15!，答案不唯一5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page6of9n2an，因此(2a+1)(2a+1)(2a+1)=39故该数的约数个数为(1+1)(
25、6+1)=14个；【例21】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星【题型】解答【解析】设该数为pa1pa2pan，那么它的平方就是p2a1p2a2p12n1212n由于39=139=313，所以，2a+1=3，2a+1=13，可得a=1，a=6；1212或者，2a+1=39，可得a=19，那么该数的约数个数为19+1=20个11所以这个数的约数个数为14个或者20个【答案】14个或者20个【例22】有一个不等于0的自然数，它的1是一个立方数，它的1是一个平方数，则这个数最小23【解析】设为2a3bc（c为不含质因子2，3的整数），则它的
26、是2a-13c是立方数，所以a-1是3的倍数，b是【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第9题，5分12是3的倍数，另外它的1即2a3b-1c是一个平方数，所以a是偶数，b是奇数，符合以上两个条件的a3的最小值为4，b的最小值为3，这个数最小为432【答案】432（3）平方数的整除特性【例23】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第11题，10分【解析】任何三个连续正整
27、数，必有一个能为3整除所以，任何“美妙数”必有因子3若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除所以，任何“美妙数”必有因子5上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是6060=345是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60所有的美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，只能是60
28、。【答案】60【例24】证明：形如11，111，1111，11111，的数中没有完全平方数。【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数【例25】记S=(123n)+(4k+3)，这里n3当k在1至100之间取正整数值时，有个不同的k，使得S是一个正整数的平方5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page7of9为1或3，那么综上，nn+2002不可能全是完全平方数200的倍数，设25k2-1=200m，
29、则(5k)=25+25k2-1=25+200m，所以它与105的乘积2()【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】3星【题型】填空【关键词】少年数学智力冬令营【解析】一个平方数除以4的余数是0或1当n4时，S除以4余3，所以S不是平方数；当n=3时，S=4k+9，当k在1至100之间时，S在13至409之间，其中只有8个平方数是奇数：52，72，92，112，132，152，172，192，其中每1个平方数对应1个k，所以答案为8【答案】8【例26】能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由【考点】平方数特征之
30、平方数的整除特性【难度】4星【题型】解答【解析】略234【答案】因为偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，因此任一正整数的平方n2被4除余0或1假设存在四个正整数n、n、n、n，使得nn+2002=m2(i，j=1，ij)又2002被4除余2，1234ij故nn被4除余2或3ij若n、n、n、n中有两个偶数，如n、n是偶数，那么nn是4的倍数，nn+2002被4除余2，12341212ij所以不可能是完全平方数；因此n、n、n、n中至多只有一个偶数，至少有三个奇数设n、n、n为奇数，n为偶数，那么12341234n、n、n被4除余1或3，所以n、n、n中至少有两个数余数相同如n、n被4除
31、余数相同，同12312312nn被4除余1，所以nn+2002被4除余3，不是完全平方数；1212ij【例27】1351991的末三位数是多少？【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】5星【题型】解答【解析】首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于135991的平方再乘以993995997999的末三位而993995997999=993999995997=(993000-993)(995000-9953)=(993000-993)(995000-2985)，其末三位为715=105；然后来看前者它是一个奇数的平方，设其为(5k)2(k为奇数)，由于(5k)2=25k2=25+25(k2-1
32、)，而奇数的平方除以8余1，所以k2-1是8的倍数，则25(k2-1)是()(5k)2105=(25+200m)105=21000m+2625，所以不论m的值是多少，所求的末三位都是625【答案】625【例28】求所有的质数P，使得4p2+1与6p2+1也是质数【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】5星【题型】解答【解析】如果p=5，则4p2+1=101，6p2+1=151都是质数，所以5符合题意如果P不等于5，那么P除以5的余数为1、2、3或者4，p2除以5的余数即等于12、22、32或者42除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况如果p2除以5的余数为1，那
33、么4p2+1除以5的余数等于41+1=5除以5的余数，为0，即此时4p2+1被5整除，而4p2+1大于5，所以此时4p2+1不是质数；如果p2除以5的余数为4，同理可知6p2+1不是质数，所以P不等于5，4p2+1与6p2+1至少有一个不是质数，所以只有p=5满足条件【答案】5【例29】古时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉，每头牛买得的钱数正好等于牛的头数。他们把所得的钱买回了一群羊，每只羊10文钱，钱的零头又买了一只小羊。他们平分了这些羊，结果5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page8of9第一个人多得了一只大羊，第二人得到了那只小羊。为了公平，第一个人应补给第二个人
34、_文钱。【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】5星【题型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛，第15题【解析】根据题意，设每头牛的价钱为10a+b（a、b不同为0，a、b为自然数），因为题目中明显给出“每头牛卖的钱数正好等于牛的头数”可知买牛人所得到钱数为：(10a+b)2=100a2+20ab+b2，由题意得这个总数的十位数字必为奇数否则不会达到“平分这些羊，并且一个人得到一只大羊，第二个人得到了那只小羊”，而100a2+20ab的十位必为偶数，所以只要看b2的值，尝试得到只有16和36满足条件，所以小羊的价格应该为6，那么第一个人应该补给第二个人：(10-6)2=2（文）【答案】2文钱5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库教师版page9of9