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1、20062007-2高等数学A2试题A卷一、填空题（每小题3分，共15分）1函数f(x,y)在点(x,y)可微分是f(x,y)在该点连续的条件.2半径为a的均匀半圆薄片（面密度为r）对其直径边的转动惯量为.3L为圆周x+y=a222，则L(x2n+y2)ds=.x,0xp-x,-px0;(B)I=0;(C)I0;(D)I的符号与a有关.8下列各式中正确的是（）(A)Lxdy-ydxx2+y2=0，其中L:x2+y2=1，沿逆时针方向；P+2Q+23RdSP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=555Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=R-Qdx+P-Rdy
2、+Q-PdzGyzzxxy3(B)SS其中S是平面3x+2y+23z=6在第一卦限的部分的上侧。(C)S其中G是S的边界曲线，且G的方向与S侧符合右手法则；(D)向量场rrrrA(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k1/6的散度divA=i+j+kvRQrPRvQPr-yzzxxy.(-1)n9级数n=1b+nn2为（）。z=x3+y3-3x2-3y2(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)收敛性与b的取值有关；(D)发散.三、计算题（共70分）11（7分）求函数的最小值.12（7分）z=f(x,xyz)2z,其中f具有二阶连续偏导数求:xy。x2dy13（7
3、分）计算积分I=10dx1xy1+y3。(14（7分）计算积分计算积分I=Wdxdydz1+x+y+z)3，其中W是由平面x+y+z=1及三个坐标面围成的四面体。15（7分）计算曲线积分：I=axdy-bydxLx+y，其中L:x+y=2沿逆时针方向。，其中为抛物面介于z=0和16（7分）计算曲面积分z=1之间的下侧。x2dydz+zdxdySz=x2+y2nxn2n17（7分）求幂级数n=1的收敛域。18（7分）将函数f(x)=1x2+4x+3展开成(x-1)的幂级数，并求f(n)(1)。2/6高等数学A2试题A卷参考答案及评分标准填空题（每小题3分共15分）p1.充分2.8ra43.2pa
4、2n+1p24.85.y=ecx二.选择题（每小题3分共15分）6.（A）7.（C）8.（B）9.（B）10.(D)三.计算题（每小题7分共70分）z=x3+y3-3x2-3y211（7分）求函数的最小值.z=3y2-6y=0解：由z=3x2-6x=0xy(1分)得驻点：(0,0)(0,2)(2,0)(2,2)(2分)，zxx=6x-6，zxy=0，zyy=6y-6(3分)在驻点(0,0)处：A=-60，B=0，C=-6且B2-AC=-360，故(0,2)不是极值点，5分A=6，B=0，C=-6且B2-AC=360，故(2,0)不是极值点，6分在驻点在驻点在驻点(0,2)(2,0)(2,2)处
5、：处：处：()()A=60，B=0，C=6且B2-AC=-360，故(2,2)为极小点，其极小值z(2,2)=0(7分)12（7分）z=f(x,xyz),其中f2z具有二阶连续偏导数求:xy。z解：x=f1+f2yz(3分)2zxy=xzf+xyz2f+zf12222(7分)13（7分）计算二次积分I=1dx1xy0x21+y3dy。3/61+y3dy=1dy解：I=1dx1xy0x200yxy1+y3dx(3分)=dy11y2201+y3(5分)=13(2-1)(7分)14（7分）计算积分I=Wdxdydz(1+x+y+z)3，其中W是由平面x+y+z=1及三个坐标面围成的四面体。dx解：I
6、=11-x00dy1-x-y0dz(1+x+y+z)3(3分)=dx)2-8dy(11-x001121+x+y(5分)-(1-x)-dx=1(111021+x)84ln2-=1528(6分)(7分)15（7分）计算曲线积分：I=Laxdy-bydxx+y，其中L:x+y=2沿逆时针方向。解：方法一L=L+L+L+L1234L1:y=2-xL1:y=2-x=10)axdy-bydx=axdy-bydx(-ax-2b+bxdx=a+bx+y222，(3分)L2:y=2+xL2:y=2+xaxdy-bydxaxdy-bydx1=(-ax+2b+bx)dx=a+bL3:y=-2-xL3:y=-2-xL
7、4:y=-2+xL4:y=-2+x=12)axdy-bydx=axdy-bydx(ax-2b-bxdx=a+bx+y2200=x+y22-2=12)axdy-bydx=axdy-bydx(ax+2b-bxdx=a+bx+y220(4分)(5分)(6分)I=axdy-bydx=4(a+b)Lx+y(7分)4/6I=axdy-bydx=axdy-bydx方法二1Lx+y2L(3分)=12(a+b)dxdyx+y2(6分)=4(a+b)(7分)16（7分）计算曲面积分Sx2dydz+zdxdyz=x2+y2，其中为抛物面介于z=0和z=1之间的下侧。解：添加辅助面S:z=1,x2+y211，取其上侧
8、，(1分)()x2(0)(z)x2dydz+zdxdy=dxdydz=2x+1dxdydzS+S1Wx()=dqrdr(2rcosq+1)dz=dqr(2rcosq+1)1-r2dr+()yz(3分)W2p112p1=cosq+dq=00r2002p41p15420(4分)(5分)x2dydz+zdxdy=Sp2-xS1上2dydz+zdxdyp=2-zdxdyS1上=p2-dxdyDXY(6分)=p2-p=-p2(7分)17（7分）求幂级数n=12nnxn的收敛域。n+1=解：R=limn2nn/2n+112(2分)2n-1n=(-1)n12时，n=1n2当x=-1n=1n，收敛(4分)2n
9、1n=12时，n=1n2n1x=n=1当，发散(6分)5/6-2,2(7分)故幂级数n=12nnxn的收敛域为1118（7分）将函数f(x)=1x2+4x+3展开成(x-1)的幂级数，并求f(n)(1)。x-18x-124(2分)解：f(x)=111111=-=x2+4x+32x+12x+34111-1+1+=(-1)n(x-1)n1+1x-12n=02n，-1x3；（3分）1+1x-14=(-1)n(x-1)n4nn=0，-3x5(4分)1(11(f(x)=(-1)n-x-1)n=(-1)nx-1)n1-2n+224n+12n+22n+12n+22n+1(7分)1n=0n=1，(6分)1-f(n)(1)=(-1)nn!1(-1x3)6/6