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1、不确定关系 物理082 任传辉 叶品昭摘 要：对海森堡不确定关系的建立与相关实验做了简单介绍，不确定关系的一些简单的运用与计算，一点不确定关系的体会与其他几条不确定关系。关键词：不确定关系 波粒二象性 波函数 统计规律正文不确定关系又名“不确定性原理” ,“测不准原理”，是德国物理学家海森伯在1927年提出的, 它反映了微观粒子运动的基本规律, 是物理学中又一条重要原理。它是自然界的客观规律，不是测量技术和主观能力的问题。是量子理论中的一个重要概念。不确定关系是制约着自然界的一条基本原理。但作为量子力学原理初学者,往往觉得不确定关系很难捉摸,自从海森堡在1927年提出并论证了这一原理后，对它的
2、解释在国内外学者中一直存在着原则的争论。海森堡不确定关系海森堡不确关系（有时也译成成海森堡测不准原理）是指在一个量子力学系统中，一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。位置的不确定性和动量 的不确定性是不可避免的： 其中是约化普朗克常数。1、不确定关系的建立1927年2月，爱因斯坦向海森堡指出：“在原则上试图单靠可观察量去建立理论，那是完全错误的。实际上刚好相反，正式理论决定我们能观察到的东西。只有理论，自然规律的知识，才能使我们从感官印象中推断出基本现象。”海森堡马上领悟到：云室里的一条电子轨迹只是一长串颗粒状的，其尺寸比电子大得多的小水珠，并不代表电子真正通过的一条精确地电子轨迹。接着海森
3、堡用射线显微镜这一理想实验，对位置和速度进行一番操作和分析，结果发现了著名的“不确定原理”，即：在微观领域里谈论一个例子同时具有确定的速度和位置，是毫无意义的。要想准确度知道位置，就不能同时知道其动量p；要想准确知道动量p，就不能同时准确知道其位置；如果我们放松一点，让粒子的位置有个间隙，动量就有个间隙，那他们之间的关系就满足下面公式：（为普朗克常量）诸如位置和动量，能量和时间这些物理量的不确定关系，正是量子力学中出现统计关系的根本原因。2、电子单缝衍射电子单缝衍射实验说明了电子的波粒二象性，并验证了不确定关系。图一、单狭缝衍射简图我们可以用波粒二象性来讲述位置和动量之间的互补性。用平面波来描
4、述粒子。假若，这平面波遇到一座有一条狭缝的不透明挡墙，平面波会穿过狭缝，在档墙后面的探测屏障，显示出干涉现象。从中心点（最大波强度之点）到第一个零点（零波强度之点）的夹角，根据单狭缝衍射公式，可以表达为sin；其中,是波长，是狭缝宽度。是衍射现象的一种估量。狭缝越窄，衍射现象越宽阔，越大；狭缝越宽，衍射现象越窄缩，越小。当粒子穿过狭缝之前，在 y 方向（垂直于粒子前进方向，x 方向）的动量是零。穿过狭缝时，粒子的遭到改变。可以由粒子抵达探测屏障的位置计算出来。的不确定性大约是当粒子穿过狭缝时，我们可以相当有信心的说，粒子的位置不确定性是狭缝宽度：所以，从德布罗意假说，其中,h是普朗克常数，p是
5、动量。所以，它的物理意义是，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。粒子位置的不确定量越小，动量的不确定量就越大，反之亦然。因此不可能用某一时刻的位置和动量描述其运动状态。轨道的概念已失去意义，经典力学规律也不再适用。从电子的衍射实验可以看出:电子所呈现的粒子性,只是经典粒子概念中的主要部分颗粒性,即电子具有一定的质量、电荷等属性. 但并没有严格地确定的位置、速度(轨道) ;电子的波粒二象性实际上主要是指物质具有颗粒性和相干性. 应当指出:经典粒子和经典波都是在宏观条件下,物质的理想模型. 在某些情况下,有些物质仅显示其粒子性,而其波动性受到抑制. 而在另一些情况下,有些物质却只显示波动性,其
6、粒子性又受到抑制. 例如,当电子穿过云室时,显示出有一定的质量,电荷等粒子的属性,其波动性就没有明显地表露出来,所以可以看作经典粒子. 而宏观电磁场,则主要显示波动性,而不是显示粒子性,因此可视为经典的波. 可见经典粒子与经典波动实际上都是分别忽略了波动性和粒子性的理想模型。对经典力学的质点, 只要我们知道质点的初始条件, 即t= 0时质点的坐标X0,和动量P0 (或初速度v0) 则t0的任意时刻质点的坐标X和动量P由牛顿力学方程可以唯一确定, 而对微观粒子体系中的粒子则不然, 我们不能说在某时刻粒子在某一地点出现,而只能说粒子在该点可能出现, 出现的几率决定于状态波函数的绝对值平方|2这是微
7、观粒子波粒二象性决定的。微观粒子的运动, 坐标和动量不是同时可以确定的, 也就是微观粒子的坐标和动量之间存在不确定关系, 正是微观粒子有波粒二象性的反映。不确定关系尽管有着各种不同的导出方法,但它们共同的依据都是物质的二象性. 从而充分表明波粒二象性的确是不确定关系的物理基础。3、海森堡显微镜实验用来定位电子位置的海森堡伽马射线显微镜。波长为的入射伽马射线，被电子散射后，进入显微镜的孔径角。在经典光学里，分辨电子位置的不确定性是。为了辩解不确定性原理，海森堡设计了一个想像的伽马射线显微镜实验。在这实验里，一个测量者朝着电子射出一粒光子，想要测量一个电子的位置和动量。波长短的光子可以很精确地测量
8、到电子位置；但是，这光子的动量很大，而且会因为被散射至随机方向，转移了一大部分不确定的动量给电子。波长很长的光子动量很小，这散射不会大大地改变电子的动量。可是，我们也只能大约地知道电子的位置。电子位置的不确定性是其中，是显微镜的焦距，是光子的波长，D是孔径的直径。假设，电子原本的位置是在显微镜的焦点，那么，D其中,是孔径角。所以，由于动量守恒定律，光子的碰撞会改变电子的动量。根据康普顿散射理论，电子动量的不确定性是其中，是普朗克常数。所以，不论光子波长和孔径尺寸为何，位置测量的不确定性和动量测量的不确定性，其乘积必定大于或等于一个下界，普朗克常数的数量级。海森堡并没有给予不确定性原理一个精确界
9、。他比较喜好将不确定性原理用为一个启发性的数量宣告，正确至小因子。而经过严格的数学推导，不确定关系表示为：4、对不确定关系的一些理解（1）“不确定”与“测不准”不确定关系说成“测不准”，容易使人认为，不确定关系是对测量过程的一种限制，似乎粒子本身是具有确定的坐标和动量的，只是我们没有能力精确地测量它们而已。这是一个很大的误解。不确定关系的确切含义是：粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量，因而，不能同时精确地测量它们。“测不准”是不确定关系的必然结果。（2）不确定关系是统计规律的定量结果不确定关系表明，对微观粒子的位置和动量进行测量时，不能同时具有确定值。这是对微观体系处于态进行多
10、次测量的统计偏差。事实上，在严格推导不确定关系时，应用的正是这种方法，所以不确定关系正好是描写微观粒子统计性规律的定量反映。（3）摒弃“轨道”概念。由于不确定关系给出了微观粒子的坐标和动量不能同时确定的限制，这实际上指出了：“轨道”概念不适用于微观粒子。“轨道”概念在经典力学中是以坐标和动量同时有确定值为前提的。这种说法与讨论波粒二象性时所指出的微观粒子的粒子性与经典粒子性的区别在于对微观粒子“轨道”不再适用相一致。现在不确定关系给出同样的结果，这说明不确定关系是微观粒子波粒二象性的反映。（4）的作用若h可以忽略，则回到了经典力学，即经典力学是量子力学当时的极限。换言之，不确定关系在宏观世界的
11、效果，就好象上微观世界里当时产生的效果。正如对应大批量中所提到的，当时，量子物理过渡到经典物理。5、不确定关系的简单应用 （1）估算氢原子可能具有的最低能量电子束缚在半径为r 的球内，所以按不确定关系取，则氢原子的能量：代入得：基态能应满足： 由此得出基态氢原子半径：0.5310m基态氢原子的能量 -13.6eV（2）解释谱线的自然宽度例如：原子中某激发态的平均寿命为10s则1.5910Hz6、其他的不确定关系（1）能量-时间不确定性原理不仅坐标和动量，凡是两个量乘积的量纲等于作用量量纲的共轭量均有不确定关系，时间和能量之间也有这种关系。表示为：尽管它在形式上与相似，但是，不表示时间的不确定量
12、。认为测量时间越短，能量的不确定度越大是不正确的。因为，时间不是力学量，它对每一系统都适用，是具有确定意义的描写各种过程演变的共同参数。所以，只能表示状态变化快慢的特征时间,或表示，当体系的物理性质有明显变化时所需的最小时间间隔。（2）薛定谔关系式给予了两个不相容可观察量的不确定性关系式：处于一个一维位势，一个粒子的能量与位置的不确定性关系式为角动量算符的两个互相垂直的分量算符的不确定性关系式为其中，标记沿着-轴的角动量。这关系式意味着，在做实验时，一次只能测量角动量的一个分量，通常是平行于外磁场或外电场的分量。根据金兹堡-朗道方程，在一个超导体内的电子数量和相位的不确定性关系式为7、总结 你
13、要测量一个质子的位置和当前的运动速度，你就要去“看”它，就要用（至少）一个光子去照它，但你一照，也就改变了那个质子的本身状态你可以用某种照射方法（比如用不同粒子，或不同强度的光）测得尽可能精确的质子位置，但不可避免会把它“打飞”，所以它原来的速度你就得不到了。你也可以另一种方法去测它的速度，但代价是改变了它的位置。总之不可能速度位置都精确得到。 其本质区别在于：经典物理的测量是去了解一个已经存在在那里的确定了的量。而量子力学中，测量前并不存在一个确定的状态，测量实际上是“参与其中”，不同的测量方法会导致原先的“不确定状态”变成某几个可能的“确定状态”之一，然后让你观察到。这是量子世界的办事法则
14、。-是不是像概率那样？所谓几率性,是指由于微观客体运动时没有确定的连续轨道,我们只能估计在某个时刻某个范围内出现微观粒子的可能性大小,即几率的大小。量子力学中的薛定湾方程正好给人们提供了确定这种几率的方法。薛定鄂方程是一个微分方程,利用这个方程可以由反映系统初始状态的波函数来确定该系统在以后任一时刻的波函数。有了波函数,再求其几率密度,就可以确定微观粒子在某个时刻出现在某一点附近单位体积内的几率。（1）在经典力学中，一个粒子的位置和动量是可以同时确定，遵从牛顿定律，有确定的轨道。波粒二象性的“粒”不同于经典的牛顿粒子，因为它抛弃了轨道概念。（2）波粒二象性的“波”不同于经典的波，它是服从统计规
15、律的概率波。经典的波动是一种运动形式，连续传播能量，在双缝干涉实验中，不管入射波强度如何小，经典的波在缝后的屏上都“应该”显示出条纹。对于非经典的光波，在双缝干涉实验中，入射波强度减小到一定程度，在缝后的屏上却是一些点，光子的波动性体现在它是概率波。概率波不同于经典的波，经典的波的能量将弥散到所传播的空间去；伴随着概率波的微观粒子的能量是不会弥散开来的。（3）在非经典粒子中，它是集粒子性与波动性于一身的物质，且其粒子性与波动性是有内在联系的。例如光子能量Eh，运动质量mh/c2 ，动量pmch/c h/ 。在这些表达式中，等式左边表示光的粒子性的量，等式右边表示光的波动性量。光的粒子性和光的波
16、动性是同一事物的两种属性，谁也没否定谁，只是在不同场合表现出的属性的侧重点不同。总之，光是具有几率波的波动性，又具有能量不连续分布的粒子性的两重特点的特殊物质。量子力学的任务只给出可观察量之间的概率关系，而不回答为什么是这样的问题。不能用位置、动量描述其力学状态，也不能用有实在物理意义的经典波动方程描述其波动性。概率波概念能够比较全面反映“波粒二象性”的本质特征，一方面粒子一旦出现就一定是以完整粒子出现，概率波维护了粒子的整体性。同时，粒子出现在空中各处带有统计性的特征，也就是具有一定概率分布出现在各处。不确定关系的理解也许只能在量子力学中理解。在现实生活中我们完全也没有必要去担心他，或者说他
17、是适用于一切物质的，但是它对我们现实中的生活没有丝毫意义。因为它的量在现实中变得微不足道。不要人意的说出这个关系，也许只有在微观的告诉领域有很大的作用。你要知道我们的现实世界大多处在经典力学中。参考文献俞伟钧 不确定关系的简明推导与正确理解 盐城工学院学报(自然科学版) 2006年3月厚宇德 不确定关系的确立及相关争论 台州学院学报 2005年6月蒋德瀚 施树春 不确定关系式的简易推导 甘肃高师学报 第10 卷第5期( 2005) 何维杰 不确定关系物理基础及物理含义 长江大学学报 2009年9月姜波，刘红欣 关于不确定关系的几个问题 潍坊学院学报 2009年11月李兴盛 漫谈不确定关系 甘肃科技 2008年11月