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1、5-5-4.余数性质（二）教学目标1.学习余数的三大定理及综合运用2.理解弃9法，并运用其解题知识点拨一、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+1639除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+1942除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以
2、23167除以5的余数等于2，两个余数差312.当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23149除以5的余数等于4，两个余数差为35443.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以2316除以5的余数等于313。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以2319除以5的余数等于34除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么an与bn除以m的余数也相同二、弃九法原理在公元前
3、9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234+1898+18922+678967+178902=8899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为05-5-4.余数性质（二）.题库教师版page1of6这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如
4、果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正
5、确，但不能保证一定正确。例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。例题精讲模块一、余数性质的综合运用【例1】22003与20032的和除以7的余数是_【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】南京市，少年数学智力冬令营【解析】找规律用7除2，22，23，24，25，26，的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是
6、3的倍数多2时，用7除的余数为4因为22003=23667+2，所以22003除以7余4又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同而2003除以7余1，所以20032除以7余1故22003与20032的和除以7的余数是4+1=5【答案】5【巩固】22008+20082除以7的余数是多少？【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】23=8除以7的余数为1，2008=3669+1，所以22008=236691=(23)6692，其除以7的余数为：16692=2；2008除以7的余数为6，则20082除以7的余数等于62除以7的余数，为1；所以22008+20082
7、除以7的余数为：2+1=3【答案】3【巩固】(3130+3031)被13除所得的余数是多少？【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，时5n被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1以4为周期循环出现，所以530被13除的余数与52被13除的余数相同，余12，则3130除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，时，4n被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6为周期循环出现，所以431被13除所得的余数等于41被13除所得的余数，即4，故3031除以13的
8、余数为4；5-5-4.余数性质（二）.题库教师版page2of6所以(3130+3031)被13除所得的余数是12+4-13=3【答案】3【例2】M、N为非零自然数，且2007M+2008N被7整除。M+N的最小值为。【考点】余数性质的综合运用【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第7题，10分【解析】2007除以7的余数是5，2008除以7的余数是6，所以5M+6N能被7整除，经试算，M+N最小值为3+2=5【答案】5【例3】11+22+33+44+20052005除以10所得的余数为多少？11+22+33+44+202的个位数字，【考点】余数的加减法定理【难度】3星【题型
9、】解答【解析】求结果除以10的余数即求其个位数字从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的首先计算0为1+4+7+6+5+6+3+6+9+0+1+6+3+6+5+6+7+4+9+0=94的个位数字，为4，由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是4100=400的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1+4+
10、7+6+5=23的个位数3，所以原式的个位数字是3，即除以10的余数是3【答案】3【例4】已知n是正整数，规定n!=12n，令m=1!1+2!2+3!3+2007!2007，则整数m除以2008的余数为多少？【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【关键词】清华附中【解析】m=1!1+2!2+3!3+2007!2007+=1!（2-1）2!（3-1）3!（4-1）+2007!（2008-1）=2!-1!+3!-2!+4!-3!+2008!-2007!=2008!-12008能够整除2008!，所以2008!-1的余数是2007【答案】2007【例5】设n为正整数，k=2004n，k被
11、7除余数为2，k被11除余数为3，求n的最小值【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】2004被7除余数为2，被11除余数也为2，所以2n被7除余数为2，被11除余数为3由于21=2被7除余2，而23=8被7除余1，所以n除以3的余数为1；由于28=256被11除余3，210=1024被11除余1，所以n除以10的余数为8可见n+2是3和10的公倍数，最小为3,10=30，所以n的最小值为28【答案】28【例6】试求不大于100，且使3n+7n+4能被11整除的所有自然数n的和【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】通过逐次计算，可以求出3n被11除的余数，
12、依次为：31为3，32为9，33为5，34为4，35为1，因而3n被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，；类似地，可以求出7n被11除的余数10个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，；于是3n+7n+4被11除的余数也是10个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，；这就表明，每5-5-4.余数性质（二）.题库教师版page3of6一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，即n=3,4,6,13,14,16,.,93,94,96时3n+7n+4能被11整除，所以，所有满足条件的自然数n的和为：3+4+6+13+14+16
13、+.+93+94+96=13+43+.+283=1480【答案】1480【例7】对任意的自然数n，证明A=2903n-803n-464n+261n能被1897整除【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】略7【答案】1897=7271，与271互质，因为29035(mod7)，8035(mod7)，4642(mod7)，2612(mod7)，所以，A=2903n-803n-464n+261n5n-5n-2n+2n0(mod7)，故A能被7整除又因为2903193(mod271)，803261(mod271)，464193(mod271)，所以A=2903n-803n-464n+
14、261n193n-261n-193n+261n0(mod271)，故A能被271整除因为7与271互质，所以A能被1897整除【例8】若a为自然数，证明10(a2005-a1949)【考点】余数性质的综合运用【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】10=25，由于a2005与a1949的奇偶性相同，所以2(a2005-a1949)a2005-a1949=a1949(a56-1)，如果a能被5整除，那么5a1949(a56-1)；如果a不能被5整除，那么a被5除的余数为1、2、3或者4，a4被5除的余数为14、24、34、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四1个数除
15、以5均余1，所以不管a为多少，a4被5除的余数为1，而a56=(a4)4，即14个a4相乘，所以a56除以5均余1，则a56-1能被5整除，有5a1949(a56-1)所以5(a2005-a1949)由于2与5互质，所以10(a2005-a1949)【例9】有一位奥运会志愿者，向看台上的一百名观众按顺序发放编号1，2，3，100，同时还向每位观众赠送一个单色喇叭他希望如果两位观众的编号之差是质数，那么他们拿到的喇叭就是不同颜色的为了实现他自己的愿望，他最少要准备种颜色的喇叭【考点】余数性质的综合运用【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第11题【解析】编号1、3、6、8这四个
16、编号两两之间的差都是质数，所以这四个编号的观众应该使用不同颜色的喇叭所以他最少应该准备4种不同颜色的喇叭，然后按编号被4除后的余数分派不同颜色喇叭【答案】4种模块二、弃九法【例10】将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以9的余数【考点】弃九法【难度】3星【题型】解答【解析】以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于(1+9+9+9+2+0+0+0)被9除的余数，但是由于1999与(1+9+9+9)被9除的余数相同，2000与(2+0+0+0)被9除的余数相同，所以91999200
17、0就与(199+)0020被9除的余数相同由此可得，从1开始的自然数1234567891011121320072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同根据等差数列求和公式，这个和为：(1+2008)20082=2017036，它被9除的余数为1另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质，将原多位数分成123456789，5-5-4.余数性质（二）.题库教师版page4of625除以9的余数为25除以9的余数，即为5除以9的余数为1，所以22009=26334+5=26()101112131415161718，1999200020012002200320042005
18、20062007，2008等数，可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同因此，此数被9除的余数为1【答案】1【巩固】连续写出从1开始的自然数，写到2009时停止，得到一个多位数：123456789101119992000，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？【考点】弃九法【难度】3星【题型】解答【关键词】希望杯【分析】因为连续3个自然数可以被3整除，而且最后一个自然数都是3的倍数，因为1998是3的倍数，所以12345678910111998是3的倍数，又因为123456789101119992000=1234567891011199800000000+1998+1+1998
19、+2，所以123456789101119992000除以3，得到的余数是0【答案】0【例11】将12345678910111213.依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是_【考点】弃九法【难度】3星【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和19共有9个数字，1099共有90个两位数，共有数字：902=180(个),100999共900个三位数，共有数字：9003=2700(个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(1997-9-180)3=602.2，即有602个三
20、位数，第603个三位数只写了它的百位和十位从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：7029=78(组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-2=7【答案】7【例12】有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。【考点】弃九法【难度】3星【题型】解答【解析】本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和
21、已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为，那么1031除以9的余数也必须为，只能是3.将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即31031=311001=143217所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360【答案】360【例13】设20092009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D，那么D=【考点】弃九法【难度】3星【题型】填空【解析】由于一个数除以9的余数与它的各位
22、数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A、B、C、D除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与22009除以9的余数相同，而26=64334另一方面，由于20092009100002009=108036，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过98036=72324，即A72324；那么A的各位数字之和B95=45，B的各位数字之和Cbc)，在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问原式中的abc是多少？【考点】弃九法【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】由于2342352862+3
23、+4+2+3+5+2+8+68(mod9)，abcbcacab(a+b+c)3(mod9)，于是(a+b+c)38(mod9)，从而(用a+b+c0,1,2,.,8(mod9)代入上式检验)a+b+c2,5,8(mod9)(1)，对a进行讨论：如果a=9，那么b+c2,5,8(mod9)(2)，又cab的个位数字是6，所以bc的个位数字为4，bc可能为41、72、83、64，其中只有(b,c)=(4,1),(8,3)符合(2)，经检验只有983839398=328245326符合题意如果a=8，那么b+c3,6,0(mod9)(3)，又bc的个位数字为2或7，则bc可能为21、43、62、76、71，其中只有(b,c)=(2,1)符合(3)，经检验，abc=821不合题意如果a=7，那么b+c4,7,1(mod9)(4)，则bc可能为42、63，其中没有符合(4)的(b,c)如果a6，那么b5，c4，abcbcacab700600500=210000000222334586，因此这时abc不可能符合题意综上所述，abc=983是本题唯一的解【答案】9835-5-4.余数性质（二）.题库教师版page6of6