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1、复 旦 学 报 (自然科学版)第 38 卷 第 3 期 1999 年 6 月V o l. 38 N o. 3Jo u rn a l o f F u dan U n ive r s ity (N a tu ra l Sc ien ce) J u n. 1999 推广的刘维尔定理和刘维尔方程3陆全康(复旦大学李政道物理学综合实验室)摘 要由推广的含 N 个原时的正则变换群导出推广的刘维尔定理和刘维尔方程, N 为粒子数.关键词分类号推广的刘维尔定理; 推广的刘维尔方程; 正则变换群O 53; O 414122相对论统计力学分成广义相对论和狭义相对论统计力学, 前者适用于宇宙天体物理, 后者适用于等
2、离子体物理. 从 015109 K 至 210109 K 范围的等离子体, 由于动能大, 德布罗意波的波长短, 在相对稀薄 的等离子体体系, 经典相对论统计是适用的. 当温度更高时, 由于电子对出现, 量子效应和费米能应予考虑. 当温度超过 107 K ,等离子体虽然不是完全相对论的, 但相对论修正必须考虑. 尤其考虑辐射效应时,相对论理论是最好的处理方法.随着惯性约束聚变和激光器功率的迅速增大, 相对论等离子体统计力学的重要性将日益显著.文献1建立了推广的哈密顿原理和正则变换群. 关于体系随时间的演化, 文献2采用粒子流系综的 方法. 本文则与此不同, 我们仍采用粒子系综, 通过正则变换群来
3、讨论体系随时间的演化.文献 3指出, 在关于狭义相对论统计力学, 只有少数文献采用完全明显的协变理论讨论. B a le scu 等 的系列工作先选择一个偏爱的时间 t 坐标, 以 Po in ca re群作为物理空间的基础, 但相空间的演化虽然采用正则变换, 但其形式不是明显协变的.本文与此不同, 我们的相空间正则变换群采用 8N 维完全协变的形式分析讨论.1正则变换群的产生子文献1的 (61) 式给出44P ldx l - P dx =lldG l (x l , x .l )( )1= 1= 1它反映正则变换群C 1(x l , P l ) (x , P .l )( )2l, 4, 同理,
4、 P l 表示 (P l) , x 表示 (x l)这里 x l 表示 (x l) , = 1,式的产生子 (产生函数). (1) 式可以改写成, P l 表示 (P l . G l x l , x l ) 是正则变换群 (2)(lP ldx l - dP lx l + x ldP l = dG l (x l , x l ).(3)引入新的产生子G l (x l , P G l x l , x + P x .l )(l )(4)l l(3) 式化成收稿日期: 1998206225作者陆全康, 男, 1935 年生, 教授, 博士生导师; 复旦大学物理学系, 上海 200433P ldx l +
5、 x ldP l = dGl (x l , P .l )( )5由 (5) 式给出采用新产生子 G l 得到的正则变换群 C 1 的坐标变换关系为5G l (x l , P 5G l x l , P l )(l )(6)P l =,x l =.5x5P ll2推广的含 N 个原时 l 的刘维尔定理文 献 1, N .指出, 我们采用每个粒子 l 有自己独立的原时 1 来描述的系综, 即 x l = x l ( l ) , P l = P l (l ) , l= 1,从正则坐标 (x l (l ) , P l (l ) ) 变换成新的正则坐标 x l , P ll ( )l ( ) )的雅可比行
6、列式为5 x l1 5 x l4 5 P l1 5 P l4 5x l15 x l1 5x l15x l15x l1x 5(x l , P l )l , P l(7)J l.5(x l P l )x Pl l5 x l4 5 P l1 5 P l4 5P l45P l45P l45P l4根据雅可比行列式的性质x 5(x l , P l )5(x l , P l ) l , P l=,(8)J l5(x l P 5 x l P l )(l )x Pl l(7) 式可化成5x 5x l | P J llnl(9)J l = J .5P 5P |ll x lld(9) 式中的下列 P 表示对 x
7、l 求偏导数时, 变量 P 保持不变, J ln 中的第 ik 个元素为ll5 x l i J ik(10)ln =.5xlk利用 (6) 式, 从 (10) 式得到2 5 G l J ikln =.(11)5 Pl i 5x lk类似地, 还可导得2 5P l i 5 G l J ikld =.(12)5P lk5x l i 5 P lk 由 (11) , (12) 式得出J ikk i(13)ln = J ld.(13) 式表明, 行列式 J ln 和 J ld 的差别只是行和列的交换, 这不影响行列式值, 于是 (9) 式化成J lnJ l =1.(14)Jld整个相对论经典等离子体体系
8、1 的正则坐标 (x l , P l ) , l=式, N , 变换成正则坐标 (x , P 的雅可比行列l )1,lx 1 (1 ), x N (N ) , P 1 (1 ) , P N (N )x 1 (1 ) , P l (1 )N=.(15)Jx 1 (1 ), x N (N ) , P 1 (1 ) , P N (N )x 1 (1 ) , P l (1 )l= 1利用 (14) 式, 从 (15) 式得到J = 1.(16)这就是多原时的刘维尔定理.第 3 期陆全康: 推广的刘维尔定理和刘维尔方程3393产生运动的作用量考虑在原时间隔 (l1 , l1 + l1 ) 运动的作用量
9、(作用积分)l1+ l1L l (x l , x l ) d l.S l (l1 , l1 +l1 ) =(17)l1整个体系的作用量 S为N= S l.(18)Sl= 1藉助于文献 1的 (21) 式, (17) 式可改写成l1+ l1l144d x ldx l P l0H d l - P l d -S l (l1 , l1 + l1 ) =H d l.(19)-dll= 1= 10我们在这里引入P l = P l (l ) ,从 (19) 式得到P =x =P l (T l1 +l1 ) ,x l = x l (l ) ,l x l (T l1 + l1 ).(20)l44dS ldx l
10、dx lP l+ (H - H ).dl =-(21)P ldld l= 1= 1对于相对论经典等离子体体系, 由文献 1( 8) 式与 ( 27) 式, H 不显含时间. 当选择正则变换的产生子不显(60) 式 H = H , 因而, (21) 式化成4含时间, 由文献14dS l = P l dx l - P ldx l.(22)= 1l= 1上述讨论得到结论: 作用量 S是随时间演化的物理运动的产生子; 随时间的无限小运动是一个正则变换; 由正则变换的群性质1 , 体系演化就是随时间延伸的正则变换.体系演化过程中NNNdP dx =(23)l l J dP l dx l =dP l dx
11、 l.l= 1l= 1l= 1这就证明了在 8N 维相空间中, 8N 维相空间中的体积元在演化中保持不变.48N维坐标和粒子动量相空间上面讨论的是在 8N 维广义坐标和广义动量的相空间. 广义坐标就是普通坐标, 广义动量 P l 与粒子动量 P l 的变换关系如文献1比行列式值为( 26) 式所示. 由文献 1( 26) 式, 4 维粒子动量与 4 维广义动量变换的雅可P l= 1, =1, 4.(24)J lPl因而P l, P N P l()J=J ll= 1.25P l, P N P l这样, 从 (25) 式得出NNNNdP dx =dP dx , dP l dx l =dP l dx
12、 l.(26)l ll ll= 1l= 1l= 1l= 1由 (23) 和 (26) 式得NNdP dx =(27)dP l dx l.lll= 1l= 1(p l , x l ) 空间中的刘维尔方程设在 8N 维 (p l , x l ) 相空间中体系代表点密度分布函数为 m D (p l ( l ) , x l ( l ) , l ) , l= 1,综代表点的总数, D (p l (l ) , x l (l ) , l ) 为代表点几率分布函数.5, N , m 为系NN由于代表点演化时的轨迹 ( 世界线) 不会相因 而在相体积元 dp l dx l 中的代表点数为 mdp l dx l.
13、l= 1l= 1N交, 相体积元中的代表点数保持不变. 既然相体积元 dp l dx l 保持不变, 因而l= 1N dD= 0.(28)dll= 1由 (28) 式得到N44 5 dp l 5u l 5x+()Dl 5p = 0.29d lll= 1= 1= 1(29) 式可改写成N5D5el5D5p l el ( 5D )5tl +v r+el F +vl B ) r+ ivl r E=0,()30Dl5x l5p l4ccl= 1其中D =D (p l ( tl ) , p l4 ( tl ) , x l ( tl ) , tl ).(31)引入f (P l ( tl ) , x l (
14、 tl ) , tl ) = D (P l ( tl ) , x l ( tl ) , tl ) dP l4(32)dP N 4 ,利用5D5P l4 d(33)P l4 = 0,从 (30) 得出N5f V r 5f el 5f(el E +V l B ) r5tl += 0.(34)l5x l5P lcl= 1这就是协变的刘维尔方程.6 刘维尔方程的另一种推导方法8N 维分布函数 D (x l , p l ) , l= 1, N , 具有下列性质D 0, D (当 P l ).(34)维相空间中运8N 维相空间由 N 个 8 维子相空间的直积构成. 当 N 个粒子运动时, 体系代表点就在
15、8N动. 可以采用下述分析方法, 即先固定 N 1 个粒子, 只考虑体系中一个粒子 l 的运动. 粒子 l 在 8 维子相空间的运动可分析如下: 如图 1 所示, 8 维子空间中的 4 维 x 1 空间中有一个 3 维超曲面. 当粒子 l 运动时,下述表式D (x l, P l) u ldld4 P l(35)表示粒子 l 的世界线越过在 x l (带有 P l) 的超曲面的面元素 dl的几率; 式中 d4 P l= dP l1 dP l2 dP l3 dP l4 , 内乘 u ldl为u ldl = u l1 dx l2 dx l3 dx l4 +(36)+ u l4 dx l1 dx l2
16、 dx l3.这里, dx l2 dx l3 dx l4 表示其法线方向平行于 u l1 的超曲面的面元 dl1.此外, 如图 2 所示, 8 维子空间中的 4 维 P l 空间中有一个 3 维超曲面, 乘积D (x l, P l) P dld4 x l(37)l第 3 期陆全康: 推广的刘维尔定理和刘维尔方程341表示粒子 l 的世界线穿越过在 P l (带有 x l) 的超曲面的面元 dl的几率. 这里 P = dP ldl.l图 1 中的超曲面lx 是一个封闭超曲面. 粒子 l 运动时, 进入封闭曲面lx 的世界线的纯通量等于零,因而d4 P l D U ld l = 0.(38)lx利
17、用 4 维高斯定理, (38) 式可改写成4 5 d4 Pl d4 x l (D u l) = 0.(39)5x l= 1同理, 对于图 2 的情况, 有4 5 d4 x l D P dl = d4 xld4 P l (D P l) =0.(40)l5P l= 1lp图 1在子空间 (x l) 中, lx 是一个 3 维封闭超曲面, 粒子 l的世界线穿越过lx图 2在子空间 (P l) 中, lp 是一个 3 维封闭超曲面, 粒子 l的世界线穿越过lpF ig. 1 In sub sp ace x l, lx is a 32d im en t io na l enc lo sed su2F i
18、g. 2 I n su bsp ace P l, lp is a 32d im en t io na l enc lo sed su2p e r su rface, th e w o r ld t im e o f p a r t ic le th ro ugh lxp a sse sp e r su rface, th e w o r ld t im e o f th ro ugh lpp a r t ic lep a sse sll当只有粒子 l 运动, 其余粒子不动, 在 8N维相空间中, (39) 式对应于44 5 ( 5 (Nj l d P j d xj d P l d x l 5x
19、 D u l = ld P l d x l D u l = 0.4 4 4 4同理, (40) 式对应于)4 4)()415x ll= 1= 1= 144 5 N 5 l d x j d Pjd x l d P l 5P (D P l) = ld x l d P lj 4 44 44 4(D P l) = 0.(42)5P l= 1l= 1= 1显然, 当 N 个粒子运动时, 应把 (41) 和 (42) 式表示的公式对 l= 1 至 l= N求和. 于是得= 0.N4N55(D Pl= 1 d4 x l d4 P l (D u l) +l)(43)5x l5P ll= 1 = 1取的积分区域
20、趋于零, 得N455(D P(D u ) +l)(44)= 0.l5x l5P ll= 1 = 1当粒子间的作用力为洛仑兹电磁力时,4 5 5P lP l =0.(45)= 1利用 (45) 式, 方程 (44) 式就化成 (29) 式, 这又重新得到 8N维的刘维尔方程.作者感谢八六三高科技项目惯性约束聚变主题、国家自然科学基金委、A A A T P ( 亚非等离子体培训协会) 和中国等离子体研究会的资助和支持.参考文献陆全康. 推广的 N 个时间的哈密顿原理和正则变换群. 复旦学报 (自然科学版) , 1998, 37 (6) : 699 707Fo ldy L L. R e la t i
21、v ist ic p a r t ic le sy stem s w ith in te rac t io n. P hy s R ev , 1961, 122 (1) : 275 288Israe l W . N o nequ ilib r ium sta t ist ica l m ech an ic s in th e gene ra l th eo ry o f re la t iv ity (I ) a gene ra l fo rm a lism. A nna ls ofP hy s ics, 1984, 152: 30 84123Gen era l ized L iouv ill
22、e Theorem an dL iouv ille Equa t ionL u Q ua nka ng(T . D . L ee P hy s ics L a bora tory , F u d a n U n iv e rs ity )A bstrac t L io uv ille th eo rem and L io uv ille equa t io n fo r re la t iv ist ic c la ssica l p la sm a h ave been de r ived f rom m u lt it im ecano n ica l t ran sfo rm a t io n g ro up in th is p ap e r.Keywords gene ra lized L io uv ille th eo rem ; gene ra lized L io uv ille equa t io n; cano n ica l f ran sfo rm a t io n g ro up