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1、椭圆及其标准方程编稿：张林娟责编：孙永钊【学习目标】1知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导2过程与方法目标：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力3情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神【要点梳理】要点一：椭圆的定义平面内到两个定点F、F的距离之和等于常数(大于FF)的点的集合叫椭圆这两个定点F、F叫做121212
2、椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距要点诠释：（1）F、F是椭圆上不同的两个顶点；12（2）若P是椭圆上任意一点，则PF+PF=常数；12（3）当常数FF12时，轨迹为椭圆；当常数=FF，则轨迹为线段FF；1212当常数b0)，其中c2=a2-b2；当焦点在y轴上时，y2x2+a2b2=1(ab0)，其中c2=a2-b2要点诠释：1这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有ab0和c2=a2-b2；3椭圆的焦点总在长轴上当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(-c,0)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为
3、(0,c)，(0,-c)；4在两种标准方程中，a2b2，可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上2标准方程的推导：由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简以焦点在x轴上的方程x2y2+a2b2=1(ab0)为例(1)建系建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的以两个定点F，F所在直线为x轴，线段FF的垂直平分线1212为y轴，建立平面直角
4、坐标系(如图)（2）设点设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)(2)列式由于点M(x,y)为椭圆上任意一点，则由定义不难得出椭圆集合为：+=1P=MMF+MF=2a（称此式为几何条件）12即(x-c)2+y2+(x+c)2+y2=2a（实现集合条件代数化）(4)化简为化简这个方程，将等号左边的一个根式移到右边，得(x+c)2+y2=2a-(x-c)2+y2，将这个方程两边平方，得(x+c)2+y2=4a24a(x-c)2+y2+(x-c)2+y2，整理得a2-cx=a(x-c)2+y2上式两边再平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x
5、2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)方程结构较复杂，不便记忆，继续化简由椭圆的定义可知2a2c，即ac，所以a2-c20，将方程两边同除以a2(a2-c2)，得x2y2a2a2-c2令a2-c2=b2，那么所得的椭圆方程可化为：因此，方程x2y2+a2b2x2y2=1，(ab0)+a2b2=1(ab0)即为焦点在x轴上的椭圆的标准方程要点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下两种方法：a=，c=1，b2=a2-c2=-1（1）待定系数法：“若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：先定
6、型，再定量”由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：mx2+ny2=1(m,n0且mn)（2）定义法：“先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即先定型，再定量”利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题【典型例题】类型一：椭圆的定义例1若一个动点P(x，y)到两个定点A（1，0）、A（1，0）的距离的和为定值m（m0），试求P点的轨迹方程【解析】|PA|+|PA|=m，|AA|=2，|PA|+|PA|AA|，（1）当0m2时，P点的轨迹不存在；（2）当m=2时，P点的轨迹就是线段AA其方程为y=0（1x1）；（3）当m
7、2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A、A为焦点的椭圆2c=2，2a=m，mm224点P的轨迹方程为x2y2-m2m2-144=1【总结升华】平面内一动点到两定点的距离和等于常数时，动点的轨迹不一定是椭圆当动点到两点的距离和小于两定点之间的距离时，动点的轨迹不存在；当动点到两点的距离和等于两定点之间的距离时，动点的轨迹是线段；当动点到两定点的距离和（常数）大于两定点之间的距离时，动点的轨迹是椭圆举一反三：0【变式1】已知圆A:(x+2)2+y2=36，圆A内一定点B(2，)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程点P的轨迹方程为+=1【答案】+=1例2椭圆+=1的焦距是，焦点坐标是；若AB
8、为过椭圆的一个焦点F1的【答案】设圆P的半径为r，则|PB|=r，圆P与圆A内切，圆A的半径为6，两圆的圆心距|PA|=6r，即|PA|+|PB|=6（大于|AB|）点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆2a=6，2c=|AB|=4a=3，c=2，b2=a2c2=3222=5x2y295【高清课堂：椭圆的方程356766例2】【变式2】设动圆P与圆M:(x-3)2+y2=4外切，与N:(x+3)2+y2=100内切，求动圆圆心P的轨迹方程x2y23627类型二：椭圆的标准方程x2y210036一条弦，F2为另一个焦点，则DABF2的周长是【答案】16F(-8,0),F(8,0)4012【解析】由
9、椭圆方程知a2=100,b2=36c2=a2-b2=64，c=8,2c=16两焦点为F(-8,0),F(8,0)12又因为三角形的周长为为【变式1】椭圆+=1(mn0)的焦点坐标是_【变式2】方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_【答案】m25m，即m所以m的取值范围为9m0，故m5)，它的两焦点分别是F1，F2，且|F1F2|=8，弦AB过【变式3】已知椭圆的标准方程是x2y2a225例3当3k9时，指出方程+=1所表示的曲线点F，则ABF2的周长为_【答案】441【解析】因为F1F28，即即所以2c8，即c4，所以a2251641，即a=41，所以ABF2的周长为4a441x
10、2y29-kk-3【解析】3k0且k-30（1）若9-kk-3，即3k6时，则方程表示焦点在x轴上的椭圆；（2）若9-k=k-3，即k=6时，方程表示圆x2+y2=1；（3）若9-kk-3，即6k0)表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是【答案】0kb0)=1(ab0)由椭圆的定义知，2a=(-)2+(+2)2+(-)2+(-2)2=210，所求椭圆的标准方程为+=135352222a=10又c=2，b2=a2c2=104=6y2x2106【总结升华】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（ab0），并且判断焦点所在的坐标轴当焦点在x=1；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为轴上时，椭圆的标准方程为
11、x2y2y2x2+a2b2a2b2=1【答案】+=1举一反三：【变式1】已知椭圆的焦点是F1(0，1)、F2(0，1)，P是椭圆上一点，并且|PF1|PF2|2|F1F2|，则椭圆的标准方程是_y2x243【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆+x2y294，=1有相同的焦点，并且经过点（3，2）【答案】+=1求此椭圆的方程x2y21510例5求经过点P（3，0），Q（0，2）的椭圆的标准方程【解析】设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m0，n0，mn）99m=1,n=1.所求椭圆方程为+=1【变式1】过点(3，2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程是_【答案】+=1【答案】+y
12、2=1或+=1例6设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|2，则PF1F2的故1F2的面积为1PF1PF2244【变式1】已知P为椭圆+=1上的一点，F,F是两个焦点，FPF=60O，求DFPF的面积169椭圆经过点P（3，0）和Q（0，2），1m=,4n=1.4x2y294【总结升华】在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程在无法判断焦点的位置n时可设mx2+ny2=1（m0，n0，m），而不规定m与n的大小关系，从而避免讨论焦点的位置举一反三：x2y294x2y21510【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标
13、准方程x2y2x29819类型四：椭圆的综合问题x2y294面积等于_【答案】4【解析】由椭圆方程，得a3，b2，c=5，PF1PF22a6又PF1PF221，PF14，PF22，由2242(25)2可知1F2是直角三角形，122【总结升华】解决椭圆焦点三角形有关问题的关键在于充分利用椭圆的定义以及余弦定理、正弦定理举一反三：x2y2121212【答案】33【变式2】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F,F在x轴上，离心率为12的直线l交C于A，B两点，且DABF的周长为16，那么椭圆C的方程为_222过点F1例ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，6），另两边AB、
14、AC的斜率的乘积是-，顶点A的轨迹方程为+=1(x0)【变式1】已知A、B两点的坐标分别为（0，5）和（0，5），直线MA与MB的斜率之积为-，则A+=1B+=1(x5)x2y2+=1【答案】168类型五：坐标法的应用49求顶点A的轨迹方程【解析】设顶点A的坐标为（x，y）y+6=-由题意得y-64(x0)，xx9x2y28136【总结升华】求出曲线方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件举一反三：49M的轨迹方程是（）x2y2x2y2251002510099+=1D+=1(x0)Cx2y2x2y22252522525【变式2】ABC
15、两顶点的坐标分别是B（6，0）和C（6，0），另两边AB、AC的斜率的积是-，A+=1(y6)B+=1(y6)C+=1(x6)D+=1(x6)44【答案】D49则顶点A的轨迹方程是（）x2y2y2x281368116x2y2x2y216363616【答案】D【高清课堂：椭圆的方程356766例3】【变式3】如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，求线段PP中点M的轨迹【答案】设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x,y)，00yP2得x+4y=4即+y2=122则x=x,y=y00因为P(x,y)在圆x2+y2=4上，所以x2+y2=40000将x=x,y=2y代入上方程00x24所以点M的轨迹是一个椭圆