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1、思维论文：浅谈数学中的逆向思维摘要：本文主要介绍了什么是逆向思维，何时运用逆向思维。分析法、反证法都是逆向思维的方法，着重介绍了逆向思维方法的运用。关键词：思维 逆向思维1 什么是逆向思维人的思维过程是可逆的。如果我们把a?圯b的思维过程属于正向思维（正向思考）的话，那么b?圯a的思维过程则属于逆向思维（逆向思考）。人们习惯于正向思维，但在有些时候，逆向思维却更有利于问题的解决。从正向思维转向逆向思维是思维灵活性的一种表现。那么，什么时候考虑逆向思维呢？一般来说，当顺推不行时考虑逆推，直接解决不行时考虑间接解决，探讨可能性发生困难时考虑探讨不可能性所有这些都属于逆向思维的范畴。当我们反复考虑某
2、个问题陷入困境时，逆向思维往往能使我们茅塞顿开，帮助我们找到解决问题的思路或办法。2 分析法、反证法都是逆向思维的方法数学证明中的分析法、反证法都是逆向思维的方法。在数学证明中，按照逻辑推理本身的顺序和要求来说，应该是从题设条件出发，根据已知的定理条件逐步推出所要证明问题的结论，这是我们证明中常用的综合法。然而在某些时候，用综合法很难解决问题，比如很多无理不等式的证明就是如此。若反其道而行之，从要证明的结论出发进行倒推，逐步推到已知条件或明显成立的事实，从而得到结论的证明，这就是我们证明中常用的分析法。显然分析法是一种逆向思维的方法，这种方法在不等式的证明中占有重要的位置。另外，我们常用分析法
3、探索解题途径，用综合法形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法，也是训练逆向思维的一种途径。反证法也是一种逆向思维的方法。当我们直接证明一个问题发生困难时，常常考虑用反证法。反证法是先证明原命题的否定为假，进而肯定原命题为真。也就是说，反证法是考虑了两个方面，即原命题的反面与真实（成立）的反面，经过两次否定才完成整个证明的。虽然反证法的逻辑依据是排中律，但其思想方法却可以说是双重的逆向思维。3 逆向思维方法运用举例关于逆向思维方法的运用，举下面几个例子：注：此题若用综合法就比较困难，因为我们很难想到从“1516”入手。事实上，很多含有根式的不等式的证明，用分析法比用综合法简便。例2
4、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数。解：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为a103，其中以0开头的排列数为a92，所以它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的3位数的个数。所以所求3位数个数是：a103-a92=1098-98=648答：可以组成648个没有重复数字的三位数。注：此解法是一种逆向思维的方法。它不是直接求没有重复数字的三位数的个数，而是先求不是三位数的3个不重复数字的排列数a92，然后从所有不重复的三个数字的排列数a103中将它减去，得到 所求三位数的个数。例3直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线就
5、和这个平面平行。已知：a，bc且ab(如图)求证：a。此定理若直接证明的话，需证明直线a和平面没有公共点（线面平行定义），这是非常困难的。若用反证法证，据已知条件，只需证a=p不可能，这一点很容易做到。证明：（反证法）假设直线a和平面不平行，a a=pa，过a、b作平面，则a=bpb，此与ab相矛盾。a例4有4位同学，每人买1张体育彩票，求至少有2位同学彩票号码的末位数相同的概率。4位同学中至少有2位同学的彩票号码的末位数相同，这包括其中恰有某2位同学彩票号码的末位数相同、恰有某3位同学彩票号码的末位数相同、4位同学彩票号码的末位数都相同等多种互斥情况，逐一求其概率相当麻烦。若用逆向思维方法，
6、即先求4位同学所买彩票末位数号码各不相同的事件的概率。再求其对立事件至少有2位同学彩票号码的末位数相同的概率就比较简单。注：若事件b发生所包含的情况较多，而它的对立事件a（b不发生）所包含的情况较少，利用p（b）=1-p(a)计算b的概率则比较简便。这不仅体现了逆向思维，同时对培养思维的灵活性是很有益的。例5求sn=135+357+579+（2n-1)(2n+1)(2n+3)按照习惯的思维是将和式sn中的通项展开，把sn分解成自然数与一个常数列之和。如果对自然数的立方数列与平方数列的求和不熟，一切将从头做起，十分麻烦。现在考虑一个比sn的数列更为复杂，但结构与其相似的数列（这是一个表面上与“简
7、单化”方向完成相反的大胆做法）sn*=1357+3579+57911+（2n-1)(2n+1)(2n+3)（2m+5)记ak=（2k-1)(2k+1)(2k+3)（2k+5)(*)，（k=1，2，n）由ak+1-ak=8(2k+1)(2k+3)（2k+5)(*)可知，sn*中每相邻两项之差的八分之一正好就是sn中的各项，于是令（*）中的k=1，2，n，得a2-a1=8357a3-a2=8579a4-a3=87911an-an-1=8（2n-1)(2n+1)(2n+3)将以上n个式子相加得an-a1=8357+579+（2n-1)(2n+1)(2n+3)=8（sn-135）=8(sn-15)又a
8、n=（2n-1)(2n+1)(2n+3)（2m+5)，a1=1357，sn=n(2n3+8n2+7n-2)通过考虑一个比sn中的数列更为复杂的数列与sn间的关系，反而简捷地求出sn的值。总之，逆向思维方法的应用十分广泛，用法灵活，在数学中占有非常重要的位置。因此，教师在教学过程中不仅要重视正向思维的培养，还应重视逆向思维的训练。培养学生的逆向思维（逆向思考）贵在平时，贵在坚持。只有这样，才能更好地提高学生的数学素质，提高学生分析问题、解决问题的能力。参考文献:1中学数学教学参考.2007.5下期.高中.2中等职业教育国家规划教材数学（基础版）第二册.邱维声主编.3全日制普通高级中学教课书数学（必修）第二册（下b）人民教育出版社.