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1、精品文档课题教学目标重点、难点考点及考试要求教师辅导讲义一元二次方程的解法1.理解一元二次方程及其有关概念2.会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解1.一元二次方程的判定，求根公式2.一元二次方程的解法与应用1.一元二次方程的定义,一般形式，配方式2.熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去3.一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容考点一、概念2(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：ax2+bx+c=0(a0)注：当b=0时可化为ax2+c=0这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1
2、)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为ax2+bx+c=0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a0）(4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A3(x+1)2=2(x+1)B11x2+x-2=0Cax2+bx+c=0Dx2+2x=x2+1变式：当
3、k时，关于x的方程kx2+2x=x2+3是一元二次方程。例2、方程(m+2)xm+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。精品文档变式：若a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，则a+的值为。精品文档应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y2+y-3的值为2，则4y2+2y+1的值为。例2、关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的系数满足a+c=b，则
4、此方程必有一根为。说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例4、已知a,b是方程x2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。例5、已知ab，a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，求a+b=bba6、方程(a-b)x2+(b-c)x+c-a=0的一个根为（）A-1B1Cb-cD-a7、若2x+5y-3=0,则4x32y=。考点三、方程解法（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。（2）方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法类型一、直接开方法：就是用直接开平方求解一元二次方程的
5、方法。,用直接开平方法解形如x2=m(m0)其解为：x=m对于(x+a)2=m，(ax+m)2=(bx+n)2等形式均适用直接开方法典型例题：(例1、解方程：1)2x2-8=0;（2）（3x+1)2=71(3)(-x)2-9=0;（4）9(x-1)2=16(x+2)2（5）9x2-24x+16=11例2、解关于x的方程：ax2-b=03.下列方程无解的是（）A.x2+3=2x2-1B.(x-2)2=0C.2x+3=1-xD.x2+9=0类型二、配方法精品文档精品文档基本步骤:1.先将常数c移到方程右边2.将二次项系数化为13.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式
6、：在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明x2-2x+3的值恒大于0，-10x2+7x-4的值恒小于0。例2、已知x、y为实数，求代数式x2+y2+2x-4y+7的最小值。变式：若t=2-3x2+12x-9，则t的最大值为，最小值为。例3、已知x2+y2+4x-6y+13=0，x、y为实数，求xy的值。-x-4=0，则x+=.变式1：已知x2+1x2变式2：如果a+b+11xxc-1-1=4a-2+2b+1-4,那么a+2b-3c的值为。例4、分解因式：4x2+12x+3类型三、因式分解法:把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项
7、式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法x(x-x)(-x)=0x=x,或x=x1212方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，xx方程形式：如(ax+m)2=(bx+n)2，(x+a)(+b)=(x+a)(+c)，x2+2ax+a2=0分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法针对练习：例1、2x(x-3)=5(x-3)的根为（）Bx=3Cx=,x=3Dx=25Ax=521252例2.（1）4a2-169b2(平方差)(2)-8x4y
8、+6x3y2-2x3y(提公因式)（3）(m+n)2-4(m-n)2（平方差)（4）a2+6a+9(完全平方式)(5）-12xy+x2+36y2(完全平方式)（6）(a+b)2+5(a+b)+4（十字相乘法）（7）p2-7pq+12q2（十字相乘法）（8）5n(2m-n)2-2(n-2m)3(提公因式)精品文档精品文档例3、若(4x+y)2+3(4x+y)-4=0，则4x+y的值为。例4、方程x2+x-6=0的解为（）A.x=-3，x12=2B.x=3，x=-2C.x=3，x=-3D.x=2，x121212=-2()例5、解方程：x2+23+1x+23+4=0例6、已知2x2-3xy-2y2=
9、0,则x+y的值为。x-y变式：已知2x2-3xy-2y2=0,且x0,y0,则例7、解下列方程x+yx-y的值为。523(1)(2x3)2=(3x2)24x+14x-52(2)-=x+2条件：a0,且b2-4ac0公式：x=,a0,且b2-4ac0)2(4)5m217m+14=0(5)(x+x+1)(x2+x+12)=42(6)2x+(3a-b)x2a2+3ab-b2=0例8、解关于x的方程x2+x2+k(x2+2x)=0（对k要讨论）类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式,就可得到方程的根。()-bb2-4
10、ac(2a典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：(x3231+x)2=6.(x+3)(+6)=-8.x2-4x+1=03x2-4x-1=03(x-1)(x+1)=(x-1)(x+5)说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。例2、在实数范围内分解因式：（1）x2-22x-3；（2）-4x2+8x-1.2x2-4xy-5y2说明：对于二次三项式ax2+bx+c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这精品文档精品文档种方法首先令ax2+bx+c=0，求出两根，再写成ax2+bx+c=a(x-x)(x-x).12分解结果
11、是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用主要内容：求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：例1、已知x2-3x+2=0，求代数式(x-1)3-x2+1x-1的值。例3、已知a是一元二次方程x-3x+1=0的一根，求的值。例2、如果x2+x-1=0，那么代数式x3+2x2-7的值。a3-2a2-5a+12a2+1说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：能对已知式进行灵活的变形；能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。2x-y=6,例4、用两种不同的方法解方程组x2-5xy+6y2=0.(1)(2)说
12、明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.主要内容：x+x=-,xx=aa考点四、根与系数的关系前提：对于ax2+bx+c=0而言，当满足a0、D0时，才能用韦达定理。bc1212应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2-8x+7=0的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.3B.3C.6D.6aa说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握a+b、-b、ab、2+b2之间的运算关系.例2、解方程组：精品文档(1)(2)x+y=2
13、.精品文档x+y=10,x2+y2=10,xy=24;说明：一些含有x+y、x2+y2、xy的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.例3、已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x,x，12（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。变式：若a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，则a+的值为。例4、当k取何值时，方程x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0的根与m均为有理数？例5、小明和小红一起做
14、作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例6、已知ab，a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，求a+b=bba例7、已知a,b是方程x2-x-1=0的两个根，那么a4+3b=.测试题目：一、选择题1解方程：3x2+27=0得（）.(A)x=3(B)x=-3(C)无实数根(D)方程的根有无数个2方程（2-3x）+（3x-2）2=0的解是（）.(A),x=-1(B),2精品文档精品文档(C)x=x=(D),x=11223.方程(x-1)2=4的根是().(A)3
15、,-3(B)3,-1(C)2,-3(D)3,-24.用配方法解方程:正确的是().(A)(B)(C),原方程无实数解(D)原方程无实数解5.一元二次方程用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的是().(A)a=1,b=(B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=-,c=-2(D)a=-1,b=,c=26用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是（）.（A）（B）（C）（D）都不对二、填空7方程9x2=25的根是_.8.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=_,另一个根是_.9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为_.精
16、品文档精品文档10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为_.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=_.三、用适当的方法解下列关于x和y的方程12（x+2）（x-2）=1.13.(3x-4)2=(4x-3)214.3x2-4x-4=0.15.x2+x-1=0.16.x2+2x-1=0.17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18.2x2-19.x2-bx-2b2=0.20.a2x2+2abx+b2-4=0(a0).21（b-c）x2-（c-a）x+（a-b）=0（ac）22用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x
17、-3=0.（A）因式分解法（B）配方法（C）公式法精品文档精品文档23解方程：（1）（2）24解关于x的方程：x2-2x+1-k（x2-1）=025已知|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x226、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？27、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少?精品文档