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1、1. 平面向量基本概念1. 已知,，其中，给出以下命题：（1）；（2）；（3）；（4）.其中准确的命题是_（写出准确命题的序号） 1、2、42. 当满足_时，使得平分的夹角 模相等且不共线1. 已知向量=(sin2x,-f(x),=(-m,cos2x+m-)(mR) 且与互为相反向量.(1) 求f(x)的表达式;(2) 若x0,),f2(x)-lf(x)+1的最小值为-2,求实数l的值.（二）平面向量基本定理1. 已知点E，F是正ABC的边BC上的两个三等分点，若AB = 3，则= 2. A B C D M P Q （第16题） 如图，在ABCD中，已知，M为边CD的中点，P，Q分别是边AB，
2、CD上的动点（1）用a，b表示向量与；（2）若，求x + y的值（1），（2）设，则又由分解的惟一性定理，得x + y = 1 3. 正三角形的边长为15，（1）求证：四边形为梯形；（2）求梯形的面积.解：（1）略；（2）向量线性分解：得4. 在ABC中，角的对边长分别是（1）若，求；（2）若是边的中点，且，试判断的形状【解】（1）（方法1）因为， 所以，即， 4分亦即，故 8分（方法2）由条件得 4分两式相加得，即，故 8分（方法3）设A，B，C的对边依次为a，b，c，则由条件得 4分由余弦定理得，两式相加得，故 8分（2）由，知 11分因为是边的中点，所以，所以 13分因为，不共线，所以且
3、所以，即是等边三角形 16分2. 平面向量坐标运算1. 在梯形ABCD中,AD/BC,ABC=,AD=1,BC=2,P是腰AB所在直线上的动点,则|3+2|的最小值为 . 方法：特殊化思想，可考虑直角梯形2. 在直角坐标系中，分别是与轴，轴正方向平行的单位向量，若直角三角形中，则实数 3. 在平面直角坐标系中，已知点，其中.（1）若，求证：；（2）若，求的值.解：（1），-2分， -5分，,，.-7分（2） 由（1），若则，-10分， ， -12分 .-14分4. 已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若，则= 答案：变式：设每个小正方形为单位正方形，则的数量积为_.3. 平面向量的数
4、量积（一）平面向量数量积的射影解释ABCEFD（第9题）1. 已知正方形的边长为1，若点是边上的动点，则的最大值为 _.1变式：（2012,9）如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是 _ （二）平面向量数量积引例1：已知椭圆C的标准方程为，点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EPEQ，则的取值范围为_， ， 设，则，即 ， ，则的取值范围为引例2：已知为椭圆的两个焦点，若点P在椭圆上，且满足，Q是轴上的一个动点，则= -20优化方法：注重到求值，暗示我们是一个常数，和Q点的位置关系无关，可取特殊，当点Q位于坐标原点时，此时计算得到结果为优化：评注
5、：求向量数量积的值或者取值范围时，有时需要对向量实行线性分解时，看能否利用垂直关系？练习：1. 在平行四边形ABCD中 ,APBD,垂足为P,且= _.答：18 提示：设AC与BD相交于点O，2. 两个半径分别为的圆，公共弦，则9连接圆心交于点，则为公共弦的中点，设为线段的中点，故3. 已知的外心为，且，则-84.（2013年南京高三数学二模）在中，已知AB=2，BC=3，BDAC，D为垂足，则的值为_ 5. 如图，正六边形的边长为，则_6. 已知是平面上不共线的三点，设为线段垂直平分线上任意一点，若，则引例3. 已知向量，满足，且对一切实数，恒成立，则与的夹角大小为_ 思考：能否从数、形两角
6、度分别给出解法？ 类题比较：（2006年全国联赛）已知，若对任意，则为 _ 三角形（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）已知向量，向量是与垂直的单位向量（1）求向量；（2）若向量与向量的夹角为锐角，且与向量垂直，求的最小值. 已知平面内的四点O，A，B，C满足，则 = -5（三点共线）已知平行四边形中，对角线与交于点，且若动点满足，则的最小值是 （2014年高考江苏卷 第12题）ABDCP如图，在平行四边形中，已知，则的值是 .【思路探究】向量是高中阶段数与形结合的完美典范，向量教学中尽可能的引导学生从代数和几何两个角度审视和考查向量问题，数一般指向量的坐标法，形一般指向量的基底法.【解法探究】
7、解法1：基底法，考虑将条件中涉及的向量用基底表示，而后实施计算.，则因为则，故解法2：坐标法，不妨以点为坐标原点，所在直线作为轴建立平面直角坐标系，可设，则由，得，由，得，则,所求.（三）平面向量数量积的应用1. 已知O是ABC的外心，AB = 2a，AC = ，BAC = 120，若 = xy，则xy的最小值是 22. 在ABC中，则角A的最大值为_解：转化为边的关系（余弦定理）；余弦定理结合基本不等式. 是等腰直角的两腰的中点，则为_4. 变式1：在RtABC中，A90，ABAC2，点D为AC中点，点E满足，则_变式2：是内一点，则= 1. 已知点E，F是正ABC的边BC上的两个三等分点，
8、若AB = 3，则= 2. 在平行四边形ABCD中 ,APBD,垂足为P,且 _.变式：两个半径分别为的圆，公共弦，则3. 已知的外心为，且，则4. 如图，正六边形的边长为，则_5. 在平面四边形中，若， 则 .6. 向量，满足，且对一切实数，恒成立，则与的夹角大小为_ 7. 已知向量，满足，则的最小值为 变式：已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a+c)(b+c)0，则|c|的最大值是 8. 若，若两向量夹角为钝角，则实数的取值范围是_9. 已知的重心为，且，则10. 已知是平面上不共线的三点，设为线段垂直平分线上任意一点，若，则11. 将函数的图像按向量平移后，得到函数
9、的图像，则向量=_12. 直角三角形中，斜边长为2，是平面内一点，点满足，则= .13. 等边ABC中，P在线段AB上，且，若，则实数的值是 14. 三角形ABC中AP为BC边上的中线，=3，则|= 15.扇形半径为，圆心角AOB60，点是弧的中点，点在线段上，且则的值为 16. 向量，设向量，则 .17. 如图，在中，已知为线段上的一点，（1）若，求的值；（2）若，且与的夹角为时，求的值。18. 已知（1）若，求；Ks5（2）若的夹角为60，求；（3）若，求的夹角19. 已知,若,(1) 试求当为何值时，点在第三象限内.(2)求的余弦值.(3) 过作交于点,求点的坐标.(4)求20. 已知在
10、直角坐标系中（O为坐标原点），,.() 若点A、B、C是一个三角形的三个顶点，求x的取值范围；（）当x=6时，直线OC上存有点M，且,求点M的坐标.21. 如图，平行四边形中，。（1）用表示；（2）若，分别求和的值。解（1）： (2)： ， 由（1），得， 22. 如图, 在等腰三角形中, 底边, , , 若, 则=_.（方法：坐标法、基底法）23. 已知两个单位向量，的夹角为60，= t+（1 - t）若= 0，则实数t的值为 （将向量等式转化为数量等式）24. 在平面四边形中，已知，点分别在边上，且，若向量与的夹角为，则的值为 解： *2+得：原型题：在平面四边形中，已知，点分别是线段上的
11、中点，若向量与的夹角为，则的值为 DCBA25. 如图，ABAC，AC = 2，则= 26. 在ABC中，已知BC = 2，= 1，则ABC面积的最大值为 27. 在正ABC中，点D在边AB上，AD = 1，点E在边BC上，CE = 2，点M，N分别为线段DE，AC的中点，则MN = _ （四）平面向量模问题的应用1. 已知向量，满足，则的最小值为 坐标法、特殊化、向量方程的转化2. 已知a,b,c是平面内的三个向量，其中a=（1,2）。（1） 若，且c/a，求c的坐标；（2） 若，a+2b与2a-b垂直， 求a,b的夹角。3. 集合D=平面向量，定义在D上的映射f满足对任意xD，均有（1）
12、若，且a,b不共线，试证明：（2） 若A（1,2），B（3,6），C（4,8），且求4. 已知平面向量，若，则 .35. 已知向量，则 26. （2012年华约）向量，若对任意的，则_.（填满足条件的序号）（1）；（2）；（3）（4） 34. 向量的基本概念及向量的线性运算（一）向量的基本概念的考察1. 已知向量与不共线，若存有，使，则2. 若向量与满足，则的取值范围是_3. 已知点是内一点，若，则点是的_心4. 与同向的单位向量可表示为_；与共线的单位向量可表示为_；研究：已知是所在平面上一定点，动点P满足：（1），点形成的图形一定通过的 心（填外心、内心、重心、垂心） 内心（2），点形成的
13、图形一定通过的 _ 心 重心（3），点形成的图形一定通过的 _ 心 垂心5. 表述并证明向量的共线定理.（存有性和唯一性）6. 证明向量的三角不等式：，并交待等号成立的条件.（同号相等是同向，异号相等是反向）7. 三个重要的向量模型：（1）三角形中线模型：（2）三点共线模型：若是平面内的任意一点，则三点共线（证明充要条件）（3）重心模型：若是的重心，结论有：（1）若，则（2）；（3）（4）结合中线模型：等价变形：变式：的重心为，的中点分别是则8. 在平行四边形中，设则向量的基本运算抓住两条主线：形与数。一是基于形，通过作出向量，使用平行四边形法则或三角形法则求和（差）；二是基于数的对上述操作的
14、概括（或称形式化），向量的多边形法则。注意“形”与“数”的结合与印证。9. 若是所在平面内一点，且满足，则的形状为_ 直角三角形；10. 若点是内一点，若，且，则的形状为_ 正三角形；11. 如图所示，已知的面积为，分别是边上的点，且，则的面积为_ 12. 已知点分别是和的重心，且，则解：对向量实行算三次，利用重心模型，可得结论.13. 平面内有一个和一个点，线段的中点分别为，边的中点分别是，设（1）试用表示向量（2）证明：线段交于一点且互相平分.（二）线性运算问题的考察1. 已知是一对不共线的非零向量，若,，且共线，则 变式1：已知是一对不共线的非零向量，若，若三点共线，则 -8变式2：已知
15、是一对不共线的非零向量，若，若，证明：三点共线变式3：已知向量,，其中是一对不共线的非零向量，向量,问是否存有实数，使与共线2. 已知是平面上的三个点，直线上有一个点，满足，则（用表示） 插点法3. 已知向量满足,则平行四边形的对角线的平方和等于四边平方之和4. 在中，点是的中点，若则5. 若是平面内的任意一点，则三点共线变式1：若是平面内的任意一点，若，试确定点的位置.解：，线段上或的延长线上；，在线段的反向延长线上时，点与点重合.变式2：已知是所在平面内一点，且（）（1）若点在直线上，则应满足什么条件？（2）若，证明：点必在内可优化的一类问题：引例1. 如图，在正方形中，为的中点，为以为圆
16、心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为 引例2. 是圆上三点，的延长线与线段的延长线交于圆外的点，若，则的取值范围是_1.（2009年全国高中数学联赛湖北省预赛题）已知为锐角三角形的外心，若，且，则2.在梯形ABCD中，DA=AB=BC=CD=1.点P在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围是 . 3. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向若且，C点所有可能的位置区域的面积为 4. 若内接于以为圆心，以1为半径的圆，且，则该的面积为 5. 在中，已知，为线段上的点，且，则的最大值为_ 3由题易得：，求的最大值（可考虑三角换元或直接基本不等式）6. 在中，设是的中点，是所在平面内一
17、点，且，则的值是_.1另解1：坐标法；另解2：加上一个向量,也能够完成；另解3：或者将三个向量同时插入一个点也能够；6. 在任意四边形中，分别是的中点，求证：（算两次的数学思想，教材习题，三种方法）7. 已知是线段外一点，且（1）若点是线段的三等分点，试用向量表示；（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.教材习题，倒序求和方法的思路来源8. 已知是单位向量，向量的模为2，若，则实数的值为_9. 在中，点为的中点，则10. 已知所在平面内一点（点与点不重合），且,则与的面积之比为_ 作图发现规律：2变式1 是内一点，则= 变式2 已知为内的两点，且，则与的面积之比为_
18、变式3 设在内，且，则_；_变式4 内接于以为圆心，以1为半径的圆，且，则该的面积为 变式5 ABC的面积为1，三角形内点P满足,则PAC的面积为 .11. 在中，两条对角线与交于点，是平面内任意一点，求证：12. 已知O为ABC的外心，AB = AC = 2，x + 2y = 1，若，则ABC的面积等于 变式：已知O是锐角ABC的外心，AB = 6，AC = 10，若 = xy，且2x10y = 5，则cosBAC的值为 13. 如图，在ABC中，BO为边AC上的中线，设，若，则的值为 （三）算两次思想在向量问题中的应用1. 在中，为角平分线，点为的中点，交于点，若，且，用表示出解：由内角角平分线定理可得，故，由向量的三角形中线模型得：，得：，故,2. 在中，点分别在边上，且，与交于点，求及的值 及3. 在中，交于点，设试以为基底表示（）变式：在中，是边上的中点，点在边上，且，与交于点，是的中点，则 .将函数的图像按向量平移得到函数的图像，则向量等于_1. 如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为，与的夹角为，且，;(1)求的角度;(2)设.若，则求实数的值;若，则求实数的值.;在平面直角坐标系xOy中，已知向量e =，设，向量（1）若，求向量与的夹角；（2）若 对任意实数都成立，求实数的取值范围