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1、2(1)若k10，k20，证明：FMFN2p；(1)证明由题意知，抛物线E的焦点为F0，22点M的坐标为pk1，pk1，FM(pk1，pk1)同理可得点N的坐标为pk2，pk2，2FN(pk2，pk22)，222于是FMFNp(k1k2k1k2)220k1k21，故FMFN0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2且k1k22，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.7552p直线l1的方程为yk1x2.p由yk1x2，1设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的
2、两个实数根，从而x1x22pk1，y1y22pk2p，p2p2k1k22，k10，k20，k1k2，(2)解由抛物线的定义得pp|FA|y12，|FB|y22，11|AB|y1y2p2pk22p，从而圆M的半径r1pk2p.31故圆M的方程为x2y22pk1xp(2k21)y4p20，p|2k21k11|5.由已知得，解得p8.85高效复习3同理可得圆N的方程为x2y22pk2xp(2k21)y4p20，1直线l的方程为(k2k1)x(k2k2)y0，即x2y0.点M到直线l的距离为d17p故当k14时，d取最小值85.7p755故所求抛物线E的方程为x216y.2已知椭圆C：221(ab0)
3、的两焦点分别是F1(2，0)，F2(2，0)，点E2，x2y2ab322(2)设P是y轴上的一点，若椭圆C上存在两点M，N，使得MP2PN，求以F1P为直径的圆面在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；积的取值范围解(1)由已知，得半焦距c2，222a|EF1|EF2|932842，所以椭圆C的方程是1.得到t6，t2.则由MP2PN得x12x2，所以a22，所以b2a2c2826，x2y286(2)设点P的坐标为(0，t)，当直线MN斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，233当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为ykxt，M(x1，y1)，N(x2，y2)，ykxt，联立x2y2861，得
4、(34k2)x28ktx4t2240，x1x234k2高效复习由题意，得64k2t24(34k2)(4t224)0，整理得t28k26，由根与系数的关系得342x1x28kt，4t224，t26由，消去x1，x2得k212t28，t60，12t8t8t66，12t8解得t26，由2222223综上t26，又因为以F1P为直径的圆面积S42所以S的取值范围是，2.1相交于A，B两点，定点M，1.232t2，33(2018浙江“超级全能生”联考)如图，已知直线y2mx2m2m与抛物线C：x2y2(1)证明：线段AB被直线yx平分；(2)求MAB面积取得最大值时m的值(1)证明设A(x1，y1)，B
5、(x2，y2)，y2mx2m2m，联立方程组yx2，得x22mx2m2m0，x1x22m，x1x22m2m，x1x2m，则2y1y2x21x22(x1x2)22x1x22m，22MAB的面积S|AB|d11又0t，St2t30t，1令f(t)t2t30t，则f(t)16t2，高效复习线段AB的中点坐标为(m，m)，线段AB被直线yx平分(2)解|AB|(x1x2)2(y1y2)214m24m24m(0m1)，|12m22m|点M到直线AB的距离为d，14m212m2m|12(m2m)|(0mb0)，A，B是椭圆与x轴的两个交点，M为椭圆C的上顶点，2设直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2
6、，k1k23.(1)求椭圆C的离心率；面积最大时，求椭圆C的方程baabbb22c3，ek1k2aaa23a3.(2)由(1)知eca33，得a23c2，b22c2，可设椭圆C的方程为2x23y26c2，设直线l的方程为xmy3，2x23y26c2，由xmy3，又DP3QD，所以y13y2，所以OPQ|OD|y1y2|222m2312|m|2|m|233|m|当且仅当m2时，等号成立，此时c2，所以椭圆C的方程为1.(2)若过点M(2,0)的直线与轨迹C相交于A，B两点，设点Q在直线xy10上，且满足OAOBtOQ(O为坐标原点)，求实数t的最小值高效复习得(2m23)y243my66c20，
7、因为直线l与椭圆C相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，所以48m24(2m23)(66c2)0，43m66c23由根与系数的关系得，y1y22m23，y1y22m2.36m23代入上述两式得66c22m2，1383m126，2|m|3522代入，此时0成立，2x2y21555已知在平面直角坐标系中，动点P(x，y)(x0)到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1.(1)求动点P的轨迹C的方程；解(1)方法一因为点P(x，y)(x0)到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以|PN|1|x|，将点N的坐标代入，并整理得y24x.故点P的轨迹C的方程是y24x.方法二因为平面上动点P
8、到点N(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以点P到点N(1,0)的距离与点P到直线x1的距离相等，即点P的轨迹是以原点为顶点，焦点到准线的距离为2，并且为开口向右的抛物线，所以点P的轨迹C的方程为y24x.(2)由题意知直线AB的斜率存在且斜率不为0且与抛物线y24x有两个交点，设直线AB：yk(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x，y)，由0(k0)16(2k21)0恒成立，4(k21)所以x1x2k2，x1x24，yk(x2)，y24x，得k2x24(k21)x4k2因为OAOBtOQ，所以(x1x2，y1y2)t(x，y)，x1x24(k21)yy2k(x12)k(x22
9、)k(x1x2)4k4即x，y1，kttk所以t4k2k14k233.6.如图，过椭圆M：y21的右焦点F作直线交椭圆于A，C两点高效复习tk2tttttk又点Q在xy10上，4(k21)4所以10.211112故实数t的最小值为3.x22则y1y2，y1y22t22t2x1qx2qy2y1(1)当A，C变化时，在x轴上求定点Q，使得AQFCQF；(2)设直线QA交椭圆M的另一个交点为B，连接BF并延长交椭圆于点D，当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线AC的方程解(1)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，Q(q,0)，当A，C不在x轴上时，设直线AC的方程为xty1，代入椭圆M的方程，
10、可得(2t2)y22ty10.2t1，由意题知kAQkCQ2ty1y2(1q)(y1y2)(x1q)(x2q)y1(x2q)y2(x1q)(x1q)(x2q)y1(ty21q)y2(ty11q)(x1q)(x2q)0，即2ty1y2(1q)(y1y2)0，整理得2t2t(1q)0，由题知无论t取何值，上式恒成立，则q2，当A，C在x轴上时，定点Q(2,0)依然可使AQFCQF成立，所以点Q的坐标是(2,0)(2)由(1)知AQFCQF，BQFDQF.所以B，C关于x轴对称，A，D关于x轴对称，(t22)2(t22)3令S(t)0，可得t2，高效复习所以四边形ABCD是一个等腰梯形则四边形ABCD的面积S(t)|x1x2|y1y2|t|y1y2|2(t21)|t|8.t43t22由对称性不妨设t0，求导可得S(t)8，3172317由于S(t)在0，上单调递增，2，上单调递减，所以当t2时，四边形ABCD的面积S取得最大2在3173172此时，直线AC的方程是x317y1.值2