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1、精品文档用心整理沪教版初一数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习整式全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.理解并掌握单项式与多项式的相关概念；2.理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；3.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；4.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；5.掌握整式的加、减、乘、除、乘方等较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；6.理
2、解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】精品文档用心整理【要点梳理】要点一、整式的相关概念1单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和2多项式：几个单项式的和叫做多项式在多项式中，每个单项式叫做多项式的项要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项（2）多项式中次数最高的项的次数，就是
3、这个多项式的次数（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式3.多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列4整式：单项式和多项式统称为整式要点二、整式的加减1同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项所有的常数项都是同类项要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无
4、关”：（1）“两相同”是指：所含字母相同；相同字母的指数相同；精品文档用心整理（2）“两无关”是指：与系数无关；与字母的排列顺序无关2合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变，3去括号法则：括号前面是“”把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“”，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变4添括号法则：添括号后，括号前面是“”括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“”，括号内各项的符号都要改变5整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个
5、整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项要点三、幂的运算1.同底数幂的乘法：2.幂的乘方：3.积的乘方：4.同底数幂的除法：(m，n为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.(m，n为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.(n为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.(a0,m，n为正整数，并且mn).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：a0=1(a0).即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点四、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘
6、，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即m(a+b+c)=ma+mb+mc(m,a,b,c都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“”连结，最后写成省略加号的代数和的形式根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：
7、(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.精品文档用心整理5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：(am+bm+cm)m=amm+bmm+cmm=a+b+c要点五、乘法公式1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a，b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2
8、.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点六、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反
9、复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】类型一、整式的相关概念1指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式(1)a-3(2)5(3)1(a+b)h(9)2x2x-b(4)-y(5)3xy(6)(7)2apm+n5(8)1+a%【答案与解析】整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)单项式：(2)、(5)、(6)，其中：5的系数是5，次数是0；3xy的系数是3，次数是2；多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：x1的系数是，次数是1.ppa-3是一次二项式；xm+n-y是一次二项
10、式；25是一次二项式；1+a%是一次二项精品文档用心整理式；1(a+b)h是二次二项式.2【总结升华】分母中出现字母的式子不是整式，故2a-b不是整式；是常数而不是字母，故xp是整式，也是单项式；(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项m+nmn111式中不能有加减如其实质为+，(a+b)h其实质为ah+bh555222举一反三：【变式1】(1)-xy3的次数与系数的和是_；(2)已知单项式6x2y的系数是等于单项式-2xmy5的次数，则m_；(3)若manb是关于a、b的一个五次单项式，且系数为9，则-m+n_【答案】(1)3(2)1(3)5【变式2】多项式2y4-y3+3y2
11、-y+1是_次_项式，常数项是_，三次项是_【答案】四，五，1，-y3.类型二、整式的加减2、（1）直接化简代入已知x=12，y=-1，求5(2x2y-3x)-2(4x-3x2y)的值（2）条件求值若3xm+5y2与x3yn的和是单项式，则mn=_（3）整体代入已知x2-2y=1，那么2x2-4y+3=_【答案与解析】解：（1）5(2x2y-3x)-2(4x-3x2y)10x2y-15x-8x+6x2y16x2y-23x当x=12，y=-1时，原式16(-1)-23=-4-=-12123312222精品文档用心整理（2）由题意知：3xm+5y2和x3yn是同类项，所以m+5=3,n=2，解得，
12、m=-2,n=2，所以mn=(-2)2=4（3）因为2x2-4y+3=2(x2-2y)+3，而x2-2y=1所以2x2-4y+3=21+3=5【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系举一反三：【变式1】若实数a满足a2-2a+1=0，则2a2-4a+5=_【答案】3；【：整式的加减单元复习388396经典例题7】【变式2】已知-m+2n=5，求5(m-2n)2+6n-3m-60的值.【答案】解：5(m-2n)2+6n-3m-60=5(m-2n)2+3(2n-m)-60-m+2n=2n-m=5原式552+35-60=80类型三、幂的运算3、计算下列
13、各题：（1）(3102)3(-103)4（3）(-2xy2)6+(-3x2y4)3（2）3(m+n)23-2(m+n)32（4）(-2a)6-(-3a3)2+-(2a)23【答案与解析】解：（1）(3102)3(-103)4=33(102)3(103)4=271018=2.71019（2）3(m+n)23-2(m+n)32=33(m+n)6(-2)2(m+n)6=27(m+n)64(m+n)6=108(m+n)12（3）(-2xy2)6+(-3x2y4)3精品文档用心整理=(-1)626x6y12+(-1)333x6y12=64x6y12-27x6y12=37x6y12（4）(-2a)6-(-
14、3a3)2+-(2a)23=(-1)626a6-(-1)232(a3)2+(-1)3(26a6)=64a6-9a6-64a6=-9a6【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为1时“”号、括号里的“”号及其与括号外的“”号的区别举一反三：【变式】当a=11，b4时，求代数式a3(-b3)2+(-ab2)3的值42解：a3(-b3)2+(-ab2)3=a3b6-a3b6=a3b6=46=56.【答案】11771328884类型四、整式的乘除法运算4、已知ax3my123x3y2n=4x6y8，求(2m+n-a)n的值【答案与解析】解：由已知ax3my123x3y2n=4x6y
15、8，得ax3my12=4x6y83x3y2n=12x9y2n+8，即a=12，3m=9，2n+8=12，解得a=12，m=3，n=2所以(2m+n-a)n=(23+2-12)2=(-4)2=16【总结升华】利用除法与乘法的互逆关系求出m、n、a的值即可代入求值举一反三：【变式】（1）已知27m-132m=27，求m的值（2）已知10a=20，10b=15，求9a32b的值（3）已知2m=3，2n=4，求23m-2n的值【答案】解：（1）由题意，知(33)m-132m=2733(m-1)-2m=33精品文档用心整理3m-3-2m=3，解得m=6（2）由已知10a=20，得(10a)2=202，即
16、102a=400由已知10b=11，得102b=525102a102b=400125，即102a-2b=1042a-2b=49a32b=32a32b=32a-2b=34=81（3）由已知2m=3，得23m=27由已知2n=4，得22n=1623m-2n=23m22n=2716解：原方程组化简得x-2y=3x-3y=-2y=5类型五、乘法公式5、对任意整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)是否是10的倍数？为什么？【答案与解析】解：(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)=(3n)2-1-(32-n2)=9n2-1-9+n2=10n2-10=10(n2-1)10(n2-
17、1)是10的倍数，原式是10的倍数【总结升华】要判断整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)是否是10的倍数，应用平方差公式化简后，看是否有因数10举一反三：【变式】解下列方程(组)：(x+2)2-(y+4)2=(x+y)(x-y)x-3y=-2【答案】x=13，解得6、已知a+b=3，ab=-4，求：(1)a2+b2；(2)a3+b3【答案与解析】解：(1)a2+b2=a2+2ab+b2-2ab=(a+b)2-2ab精品文档用心整理a+b=3，ab=-4，a2+b2=32-2(-4)=17(2)a3+b3=a3+a2b-a2b+b3=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b
18、)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b)2-3aba+b=3，ab=-4，a3+b3=332-3(-4)=63.【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路.类型六、因式分解7、分解因式：(1)2a2bc2+8ac2-4abc；(2)m(m+n)3+m(m+n)2-m(m+n)(m-n)【答案与解析】解：(1)2a2bc2+8ac2-4acb=2ac(abc+4c-2b)(2)m(m+n)3+m(m+n)2-m(m+n)(m-
19、n)=m(m+n)(m+n)2+(m+n)-(m-n)=m(m+n)(m2+2mn+n2+2n)【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否举一反三：【变式】下列各式中，分解因式错误的是（）A3x2y-9xy2=3xy(x-3y)B-6m3+9mb2-15mc2=-3m(2m2-3b2+5c2)C2a2y+12a2y2-8ay=2ay(a+6ay)精品文档用心整理D14pqx-8xpq2+6px=2px(7q-4q2+3)【答案】C；提示：C选项出现了漏项，原式2a2y+12a2y2-8ay=2ay(a+6ay-4)，错误.