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1、精品文档用心整理中考总复习：实数知识讲解（提高）【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用；4.逐步形成数形结合、分类讨论、建模思想.【知识网络】正整数有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数无理数正无理数无限不循环小数【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：自然数整数零负无理数2.按性
2、质符号分类：资料来源于网络仅供免费交流使用正无理数负整数负实数负分数精品文档用心整理正整数正有理数正实数正分数实数零负有理数负无理数有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如无理数：无限不循环小数叫无理数实数：有理数和无理数统称为实数要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：mn（m，n是整数n0）”的数叫有理数、等都是无理数，而不是分数；（1）字母型：如是无理数，pp24可用式子表示为：a=0(a=0)-a(a0)（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数用式子表示：若a是实数，则|a|03
3、.倒数（1)实数a(a0)的倒数是1a；0没有倒数；（2)乘积是1的两个数互为倒数a、b互为倒数ab=1.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根a（a0）的平方根记作a（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根a（a0）的算术平方根记作a资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0要点诠释：若a=a,则a0；a=-a,则a0；a-b表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的
4、点之间的距离.考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a、b，若a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0ab，bc，则ac.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果ab0，a2b2abab；或利用倒数转化：如比较17
5、-4与4-15.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号
6、由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负几个数相乘，有一个因数为0，积就为0乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数都得05.乘方与开方资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，an所表示的意义是n个a相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数（2)正数和0可以开平方，负数不能开
7、平方；正数、负数和0都可以开立方（3)零指数与负指数a0=1(a0)，a-p=1(a0).ap要点诠释：（1）加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算这三级运算的顺序是三、二、一如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算（2）实数的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc考点六、有效数字和科学记数法1.近似数（一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位精确度的形式有两种：1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.
8、2.有效数字一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字3.科学记数法把一个数用a10n（其中110，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a10n，其中1a10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a10n，其中1a10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.考点七、数形结合、分类讨论、建模思想1.数形结合思想实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多
9、时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口；2.分类讨论思想（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏；3.从实际问题中抽象出数学模型以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个考点来解决问题，然后有的放矢.【典型例题】类型一、实数的有关概念1（2015春杭锦后旗校级期末）在下列各数中，无理数有（）.，0，0.5757757775（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理A2个B3个C4个D5个【答案】D；【解析】无理数有：，0.5757757775（相邻两个5之间的7的个数逐
10、次加1）共有5个故答案是：D【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001，等有这样规律的数举一反三：【课程名称：实数：369214经典例题2-4】【变式】（2015安徽）与1+最接近的整数是（）A4B3C2D1【答案】B.459，23又5和4比较接近，最接近的整数是2，与1+最接近的整数是3，故选：B类型二、实数有关的计算【课程名称：实数：369214经典例题8-9】2(1)有一列数-1234,-,，那么依此规律，第7个数是_；251017+=,a=+=,a=+=,a=+=,1232323438345415456524
11、（2）已知a=1234112113114115依据上述规律，则a=99100【答案】(1)750；（2）.9999【解析】(1)符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是11100+=.（2）a=99100101100999999750.【点评】(1)规律：(1)nnn2+1（n为正整数）；（2）规律：举一反三：11n+1+=n(n+1)(n+2)n+1n(n+2)（n为正整数）.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理称为a的差倒数如：2的差倒数是=-1，-1的差倒1-2【变式
12、】a是不为1的有理数，我们把11-a1=已知a=-，a是a的差倒数，a是a的差倒数，a是a的差倒数，1-(-1)23数是1111213243依此类推，则a2009=3，21-43【答案】因为a=-1a=1111-(-)3.=3,a=4311-34.=-.=4,a=11,4.=3,a=431-(-)4a=1511-(-)3611-4.=4,.三个一循环，因此a2009=a=21313=.类型三、实数大小的比较，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小20093若a=200720082008【答案与解析】a=20072009(2008-1)(2008+1)=2008200920082009=
13、20082-1220082，b=，200820092008200920082-1220082，ab【点评】通过通分进行比较.举一反三：【变式】当b0时，比较1b与1的大小.（【答案】1）b0时，b0或b0当b0时，1b1，当b0时，1b1.类型四、平方根的应用4已知a+1+2b+1+(c-2)2=0，求abc的值.3【答案与解析】a+110，2b+10，(c-2)20，a+2b+1+(c-2)2=0.33资料来源于网络仅供免费交流使用1a=-a+3=032b+1=0解得b=-则abc=(-)-1=-3.c-2=0A1精品文档用心整理11123c=2【点评】利用a0，a0，a2n0（n为自然数）
14、等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得a、b、c的值，代入后本题得以解决。举一反三：【变式】已知x、y是实数，且3x+4+（y26y+9）=0，若axy3x=y，则实数a的值是（）177BCD4444【答案】A.3x+4+（y3）2=0，3x+4=0，y3=0，x=43，y=3axy3x=y，4413a3（）=3，a=答案选A.334类型五、实数运算中的规律探索5在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了下面两个图框是用法国“小九九”计算89和67的两个示例（1）用法国“小九九”计算78，左、右手
15、依次伸出手指的个数是多少？（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算ab的正确性？【答案与解析】（1）按照题中示例可知：要计算78，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指；（2）按照题中示例可知：要计算ab，左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为5-（a-5）=10-a；资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理右手应伸出（b-5）个手指，未伸出的手指数为5-（b-5）=10-b两手伸出的手指数的和为（a-5）+（b-5）=a+b-10，未伸出的手指数的积为（10-a）（10-b）=100-10a-10b+ab根据题中的规则，ab的结果为1
16、0（a+b-10）+（100-10a-10b+ab）而10（a+b-10）+（100-10a-10b+ab）=10a+10b-100+100-10a-10b+ab=ab所以用题中给出的规则计算ab是正确的【点评】此题是定义新运算题型通过阅读规则，得出一般结论解题关键是对号入座不要找错对应关系6探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新
17、的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（）A363B153C159D456【答案】B；【解析】把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153故选B【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数可以任意找一个3的倍数，如6第一次立方后得到216；第二次得到225；第十次得到153；开始重复，则可知T=153举一反三：【变式1】下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形是由n个正方形组成的，通过观察可以发现：n=1n=2n=3n=4（1）第四个图形中火柴棒的根数是；（2）第n个图形中火柴棒的根数是.（【答案】1）13；（2）3n+1.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【变式2】有一列数1、2、3、4、5、6、，当按顺序从第2个数到第6个数时，共数了个数；当按顺序从第m个数到第n个数（mn）时，共数了个数。【答案】5；(n-m+1).资料来源于网络仅供免费交流使用