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1、第 10 讲 能控性和能观测性Controllability & Observability,课程要求:,能控性和能观性的定义 能控性和能观性的判据 能控和能观规范型 对偶原理,10.1 能控性和能观性的定义,能控性研究系统内部状态是否可由输入影响,能观性研究系统内部状态是否可由输出反映,例子,状态可由输入影响,状态不能由输出完全反映,能控,不能观,若在一个有限时间间隔内施加一个无约束的控制向量u，使得系统由初始状态x0转移到原点，则称系统在t0时刻是能控的。,系统能控性,若系统在任意时刻的所有状态都是能控的，称此系统完全能控。,P,P1,P2,Pn,若系统的初始状态x0在有限时间内可由输出的
2、测量值确定，则称系统在t0时刻是能观测的。,系统能观性,若系统在任意初始时刻都能观测，称此系统完全能观。,10 .2 能控性判据,格拉姆（Gram） 矩阵判据,连续时间线性时不变系统为完全能控的充分必要条件为，存在时刻t10,使得如下定义的矩阵为非奇异。,Jrgen Pedersen Gram (June 27, 1850 April 29, 1916)丹麦数学家。 应用： 如果向量是随机变量，所得格拉姆矩阵是协方差矩阵。 在量子化学中，一组基向量的格拉姆矩阵是重叠矩阵（Overlap matrix）。 在控制论，可控性格拉姆矩阵（controllability Gramian）与可观测性格拉
3、姆矩阵（observability Gramian）确定了线性系统的性质。 在有限元方法中，格拉姆矩阵出现在从有限维空间逼近函数时；格拉姆矩阵的元素是有限维子空间的基函数的内积 GramSchmidt正交化,PBH秩判据,LTI系统状态完全可控的充要条件为: 状态矩阵的任意特征值都满足 rankA-I | B=n,秩判据,对n维线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为,例 考查如下系统的能控性,故此系统的状态完全可控。,特征值规范型判据,若线性系统的状态矩阵A具有相异特征值，则系统能控的充要条件为，系统经线性非奇异变换，A阵变换成为对角标准型后，对应的B阵不包含元素全为0的行。,若线性系统
4、的状态矩阵A具有重特征值，且对应于每个重特征值只有一个约当块，则系统完全能控的充要条件为:系统化为约当标准型后，与每个约当块最后一行对应的B阵中的行的元素不全为零。,不能控,能控,不能控,状态图,可以为零,不能为零,注意：,状态矩阵A为对角型但含有相同元素 状态矩阵A的约当标准形有两个约当块的特征值相同,不能应用约当判据,不能控,讨论：,线性系统经过线性非奇异变换后，状态能控性保持不变,输出完全能控,若在有限时间内，存在适当的控制u，使得系统能从任意的初始输出y（t0)转移到任意指定的最终输出y(t1),则称系统是输出完全能控的。,系统输出完全能控的充分必要条件是 rankCB CAB CA2
5、B CAn-1B=q q为输出向量维数,10.3 能观性判据,格拉姆（Gram） 矩阵判据,连续时间线性时不变系统为完全能观的充分必要条件为，存在时刻t10,使得如下定义的矩阵为非奇异。,模态判据,LTI系统状态完全可观的充要条件: 状态矩阵的任意特征值都满足,秩判据,对n维线性时不变系统，系统完全能观的充分必要条件为,例,约当规范型判据,若线性系统的状态矩阵A具有相异特征值，则系统能观的充必条件为:系统经线性非奇异变换，A阵变换成为对角标准型后，对应的C阵不包含元素全为0的列。,若线性系统的状态矩阵A具有重特征值，且对应于每个重特征值只有一个约当块，则系统完全能观的充要条件为:系统化为约当标
6、准型后，与每个约当块第一列对应的C阵中的列的元素不全为零。,能观,注意：,状态矩阵A为对角阵但含有相同元素 状态矩阵A约当标准型有两个约当块的特征值相同,不能应用约当判据,不能观,鲁道夫卡尔曼（Rudolf Emil Kalman），匈牙利裔美国数学家，1930年出生于布达佩斯。 1953年MIT获得电机工程学士，翌年硕士学位。 1957年于哥伦比亚大学获得博士学位 1964年至1971年任职斯坦福大学。 1971-1992佛罗里达大学数学系统理论中心主任。 1972起任瑞士苏黎 世联邦理工学院数学系统理论中心主任直至退休。 2009年获美国国家科学奖章。 U.S. National Acad
7、emy of Sciences, the American National Academy of Engineering, and the American Academy of Arts and Sciences.,Kalman 滤波,卡尔曼滤波是一种高效率的递归滤波器(自回归滤波器), 它能够从一系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。 卡尔曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑便使用了这种滤波器。,In late November 1958, not long after coming to RIAS, K
8、alman was returning by train to Baltimore from a visit to Princeton. At around 11 P.M., the train was halted for about an hour just outside Baltimore. It was late, he was tired, and he had a headache. While he was trapped there on the train for that hour, an idea occurred to him: Why not apply the n
9、otion of state variables to the WienerKolmogorov filtering problem? He was too tired to think much more about it that evening, but it marked the beginning of a great exercise to do just that. He read through Loeves book on probability theory and equated expectation with projection. That proved to be
10、 pivotal in the derivation of the Kalman filter. In 1985, Kalman was awarded the Kyoto Prize, considered by some to be the Japanese equivalent of the Nobel Prize. On his visit to Japan to accept the prize, he related to the press an epigram that he had first seen in a pub in Colorado Springs in 1962
11、, and it had made an impression on him. It said:,Little people discuss other people Average people discuss events Big people discuss ideas,2008 National Medal of Science to Dr. Rudolf E. Kalman, Swiss Federal Institute of Technology, for his fundamental contributions to modern system theory, which p
12、rovided rigorous mathematical tools for engineering, econometrics, and statistics, and in particular for his invention of the Kalman filter, which was critical to achieving the Moon landings and creating the Global Positioning System and which has facilitated the use of computers in control and comm
13、unications technology,2009.10.7,10.4 能控-能观规范型,能控和能观规范型是指适当选择状态空间的基底，对系统进行线性变换，把状态空间表达式的一般形式化为标准形式。,能控标准型,若系统是能控的，则必存在一非奇异变换，可将其变换为能控标准型。,能观标准型,若系统是能观测的，则存在非奇异变换，将系统变成能观标准型。,讨论,对单输入-单输出系统，系统状态空间变换为能控或者能观标准形时，其表示方法是唯一的。,10.5 对偶原理,对偶系统,对偶原理,系统的能控性等价于对偶系统的能观性 系统的能观性等价于对偶系统的能控性,状态观测 估计,状态控制,10.6 定常系统的结构分
14、解,结构分解的实质是将不完全能控/能观系统区分为能控和不能控,能观和不能观部分,以深入了解系统结构特征,揭示状态空间和输入-输出描述之间的关系.,按能控性的系统结构分解,对不完全能控n维多输入-多输出LTI系统,通过引入线形非奇异变换,可使系统实现能控性结构分解.,按能观测性的系统结构分解,对不完全能观测多输入多输出LTI系统,通过引入线性非奇异变换,可使系统实现按能观测性的结构分解.,卡尔曼标准分解定理,一个既不完全能控又不完全能观的线性系统，经线性状态变换后，可以将系统分解为四个子系统,能控能观,能控不能观,不能控能观,不能控不能观,C -O,C- NO,NC-O,NC-NO,能观能测与传递函数矩阵的关系,单输入-单输出,定理 系统能控能观的充分必要条件是传递函数中没有零极点的对消现象。,一个系统的传递函数阵所表示的是该系统既能控又能观的那一部分子系统。,例,传递函数,选择状态变量,能控性,能观性,