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1、用于机器人受力分析的雅可比矩阵及应用1997年第2期天津轻工业学院JOURHALOFTIANJlNlNSITUTEOFUGHTINDUSTRY/尸厂7尸烈肿用于机器人受力分析的雅可比矩阵及应用(机械工程系)摘要:根据雅可比矩阵,导出了一种用于机器人坐标系间静力变换的一种简便而实用的方法分析了在稳定平斯状态下,由于替端效应器上的作甩力而在各个关节上产生的力和力矩,从而为合理地确定各关节的动力元件理力控制提供了可靠的依据以作者所研究的LLET型机器人为倒,蛤出了试方法的具体应用.关簟词:机器人雅可比阵静力分析,.一/JACoBIMATRIXF0RTHEF0RCEANALYSISOFR0BoTAND
2、ITSAPPLICATIoNZhouYunxiangZhangJianguoAbstract:BasedDnJacobimatrix,asimpleandusefulmethodforthestarictransf0rmationbetweencoordinatestemsofrobotisdevelopedTheauthorsanalysisforcesandmomentsactingonallthejointscausedbythef0r.esofend-effectorinthestateofstableequilibrium.therebyprovidereliabletheotica
3、lgroundsforreasonablydeterminingthecomponentsofallthejointsandcontrollingtheforces,ThispaperexemplifiestheLL-ETcuttingrobotwhichisbeingdevelopedbytheauthorsthemselves,andgivestheconcreteapplicationofthemethodforillustration.Keywords:robot,jacobimatrix,staticforceanalysis引言机器人是一个有源多刚体动力学系统,其特点是各连杆作为一
4、个运动刚体,都由单独的驱动机驱动作受控运动,相应的关节力(或力矩)通过连杆传递到终端效应器,克服外界作用力和力矩,因此终端效应器上的作用力和力矩取决于各关节的驱动力和力矩.机器人在承受静态外力负载,或是终端效应器和环境作静态接触时,都处于静力操作状态.?天津市自然科学基金资助项目收稿日期:1996一1023t19970901收到修改穑r,卜天津轻工业学院1997年10月在进行机器人机构设计过程中,首先必须要在静力学的范围内进行初步分析,以便为确定机构方案,选定合理的结构参数和驱动源提供一定的依据.特别是在初估原动机功率,初选关节轴承和确定自重平衡方案的过程中,静力分析是必不可少的.同时,这种计
5、算也是进行机构动力学分析的基础.由于问题只限于静力学范围,大大地缩小了问题的规模,简化了算法,从而可以较快较易地为整个机器人的设计提供比较可靠的资料.本文提出了任意两坐标系间静力变换的雅可比矩阵,该矩阵简单,计算方便,迅速.该方法是以系统为研究对象的,不必进行内部约束的分析,通过静力变换即可将终端效应器上的力简化到任一关节上,从而根据力(或力矩)平衡条件即可求出各驱动力和力矩,由此则可求得各驱动电机的功率,为选定电机提供了比较可靠的依据.1力和力矩的坐标变换机器人的雅可比矩阵(q)通常是指关节空间向操作空间运动速度传递的广义传动比啪.即矿一X(;);(1)式中关节速度矢量操作速度矢量q关节运动
6、矢量由于速度可以看成是单位时间内的微分运动,因此雅可比矩阵也可看成是关节空间的微分运动与操作空间的微分运动之间的转换矩阵,即:一J(;)(2)式中终端微分运动矢量幽关节微分运动矢量雅可比矩阵依赖于机器人关节坐标系间的形位关系,即它是一个依赖于;的线性变换矩阵.根据式(2)进行进一步的推导,就可以得到在终端效应器上所受的外力作用下,每个关节所受到的力和力矩.根据力平衡条件,就可确定每个关节所受的约束反力(或力矩).1.1求单个关节所受的力和力矩围l齐旋坐标变换设有两个坐标系A(OXYZ),B(0一XYZ)如图1所示j,;,;,j,分别为坐标系A,B的,y,z,y,z轴方向的单位矢量,f.为坐标系
7、的B的原点在A中的坐标,于是坐标系B对A的齐次变换矩阵为:第2期周运洋等:用于机器人受力分析的雅可比矩阵及应用=j?;,i.ji.t?一j?jj矗一r?;.j?t0OO1其中,础是33方向余弦方阵,它是齐次变换的转动分量,;是平移分量31列阵,则有:dxdydz如8记D可写为:i?.,?.J(;i,).;?j.j蔫?jr(;j)矗,矗,i?,(;一)000?iOOO?j000;.ir.(;),(;j),d茁),?ij?jj矗一(;,).(;j,)(;杰一).+k.i?j一暮.J(3)(),式中,是微分移动矢量,是微分转动矢量,则(3)式一式中s(P)为反对称阵,定义为:s(P月)fOt3f21
8、j.Jlf0J比较式(1)与(4)得:,.f(Ri)一(R)rS(P)1f(R量)一R量(P)1【0(硝)Jl0删J于是可得:D一以D(5)为计算方便,将,B坐标系中的力系简化到各自原点处,并设所受的力和力矩分别为一(7),一=()r,根据虚功原理则有_3;.D,一.Dr由式(5)则有:F一()F(6)即(至)一fiP,RRolin,)c根据式(7),则可由一个坐标系的受力情况求出另一个坐标系的受力,并且不需考虑内部约束和求导.对于机器人来说,在已知终端效应器的受力情况下,则可求出任一关节的受力情况,从而可以合理地选择驱动源,受力构件等,反之,若已知某一关节的受力极限条件,就可方便地求出在极限
9、条件下终端效应器的工作状况,从而可确定加工条件.1.2求机器人所有关节的驱动力由式(7)可以方便地求出每个关节的受力状况.对于一个具有个自由度的机器人来说,如果只要求出所有关节的驱动力,显然,按上述方法,我们必须要利用式(7)进行次计算.实际上每次计算中只有一个力是我们所需的,其它五项则可不必求出.于是我们就考虑建立一个有效的雅可比矩阵,使其中包含我们所需的项,即把所有关节中与驱动力有关的项放在一个矩阵中,形成一个新的雅可比矩阵.分析式(7),我们将其写成如下形式:天津轻工业学院Imll,JjlU,式中前三行与力有关,后三行与力矩有关,其中一(;?i?i?00O)一(j?,j?jj?i000)
10、一(?,?00O)R1一巴,月.Ji?矗t3(?i)一f(?;)(?j,)一(乏?了)(;?荟)一(?盖)JJ一(?i)+f1(?i(8)(9)(1O)(11)(13)(14)显然,要求某一方向的驱动力,只需考虑矩阵中相应的行即可.如果已知终端效应器上的作用力为,则由式(7)就可求出任一关节在各个方向上所.受力的大小及方向.显然,如果要在该关节外加一驱动力(或力矩),则该驱动力(或力矩)必须与外界作用在该处的力(或力矩)相平衡,即它们大小相等,方向相反.因此对于一个具有n个自由度的机器人来说,其所有关节的广义驱动力为;.即:芦一一一圈(15)t三砸埘撕+.)r,;._._.一一一)_._.十十
11、.r,.l;(22一r=_=_一I._第2期周运祥等:用于机器人受力分析的雅可比矩阵及应用式中声代表广义驱动力,对于移动关节,它是力,对于转动关节,它是力矩.J.是16行阵,如果是移动关节,根据其控制方向,按式(9)(11)来确定,如果是转动关节,则根据其转动器的坐标原点上.圈2与的关系2LLET型机器人的运动方程方向,按式(12)(14)计算.,是由丁来确定的,它们之间的关系如图2所示.在计算时,应将各外力(包括重力)都简化到终端效应器的坐标原点上.在简化过程中,应该注意到,对于作用在构件i上的力(包括重力),它对其以远的构件没有影响,因此在计算构件i关节驱动力时,只需考虑作用在构件i,i+
12、1,上的作用力,并将这些力简化到终端效应LLET型刻花机器人是作者近年来所研究的在平面玻璃上进行刻花的机器人,其机构简图如图3所示”-.该机器人由工作台和加工臂组成,共有四个自由度.待加工工件依靠真空吸力固定在工作台上,工件可分别沿x,y两轴线方向移动.刀具(砂轮)安装在加工臂上,除本身的切削转动外,刀具还可沿z轴上下移动,绕z轴旋转(其转角称为角).为保证四个自由度精确定位,这四个运动(x向,y向,z向,角)分别由四台步进电机拖动.这四个关节运动相配合即可在工件上刻制出各种花纹图案.下面利用齐次变换矩阵来推导出LLET型机器人的运动学方程.如图3所示,有关坐标系及各参量说明如下:(1)坐标系
13、ooxoyoZo为固定在机架上的基础坐标系,o一xyz,一yz,oaxsya乙,o一xyz分别为固定在构件1,2,3,4上的坐标系:(2)L,Lz,La,L为机器人的有关结构参量,R为砂轮半径;(3)S.为零时刻时,坐标系o一xyz坐标原点01在基础坐标系o.一x.y.Zc中的y向坐标值;为零时刻时,坐标系o一xyz坐标原点o在工件坐标系o一xyz中的向坐标值;(4)S,SS,n为机器人的关节运动量.其方向规定如下:当运动方向与基础坐标系o.一yo相应的x轴,y轴,z轴方向相同时,x,r,为正,反之为负.以绕z.逆时针旋转为正:(5)A,A2,AA.为各运动关节.天津轻工业学院1997年lO月
14、围3LLET型刘花机器人机构运动简围根据齐次变换关系则有:厂1000l100;:一J=:L0001Jl000=匿;厶+厶01So0001+R+s,=l:.厶+厶+R+s,fIl3求各关节的驱动力SISx一(S.+S)1S口口00000013.1砂轮磨削力的确定作用在砂轮和工件之间的磨削力包括两个部分一是砂轮上各磨粒刀尖挤压和切入工件时,工件切削层发生弹性变形和塑性变形的阻力;二是磨粒和切屑,工件表面之间的摩擦力.由于作用在各个磨削刀尖上的力大小不等,方向比较散乱,因此一般地认为磨削力指砂轮在磨削过程中所受到的全部力的总和.在磨削时,径向力F比较大,而切向力(主切削力)F相对要小一些,一般地:1
15、.63.2,在对玻璃进行刻花时,通常采用水进行冷却,同时它还与玻璃的新生表面产生水解作用,生成硅胶,有利于剥离,因此可高达4.轴向力F.主要作用在走刀机构上,可以不予考虑.第2期周运祥等:用于机器人受力分析的雅可比矩阵及应用玻璃是一种脆性材料,由于内部缺陷,表面反应与表面损伤的影响,使材料内部和表面形成了各种各样的缺陷,可以把这种缺陷看成是一种裂纹源,同时在刻花时,由于自由磨料在磨盘负载下对玻璃表面进行划痕与剥离作用,也会在玻璃上产生裂纹根据格里菲斯的脆性断裂理论可知,由于这些裂纹的扩展以及玻璃的脆性,使玻璃的实际强度比理论强度低得多,一般要相差23个数量级.根据断裂了满足切削加工要求,必颓使
16、砂轮工作平面与待Jolt曲线的从切面吻合,所以砂轮还可绕z轴转动,这样它在转动时就受到工件作用的磨擦力矩的作用.设砂轮宽度为,单位长压力为F/,则摩擦力矩为:一2XFdx一(18)3.2机器人各关节驱动力的确定3.2.1加工臂关节的驱动力根据安装条件,假设构件3,4的质量分别为m,m,其质b在构件4坐标系中的坐标分别为(O,0,),(O,0,).首先根据式(16)(18)求出在极限状态下砂轮的受力条件.于是砂轮所受的广义力为:.l0lF,一m(3)+m(4)gl0lFRL一坼z这里们一一所以构件3,4所受的驱动为:=一一一-m4)gLo0100oJL凡JLJ.L3JLF,+(m3.2.2加I平
17、台臂的驱动力T件上所受的力与砂轮的作用力大小相等,方向相反,设构件1,2质量分别为m,m.,其质b在构件2坐标系中的坐标分别为(,Yl_z_)(z,y2.),考虑自雷则构件2所磴的天津轻工业学院I997年l0月力为l一-FFr.C口a暑fF(1)+m(2)g工件一fF,一辨(1)g一(2)g2lF一m(1)gx】一m(2)gxLMP2+F,CeS一F其中(1)一【0.舢:.求构件2的驱动力.(21)所以构件1,2的驱动力为:,嘲一LL,b-J=一1:一3.2.3求单个关节的受力情况利用式(7),我们也可以方便地求出每个构件的受力状况,由此确定关节处的结构参数,并可确定关节轴承的等效静载荷,从而
18、为合理地选择轴承型号提供可靠的理论依据.以构件1为例,求出它在关节处的受力情况.由式(21)可知构件2的受力状况,根据式(7)则可得:匡,CalF,S口lF,+(】+)gJFS+】gY】+2gY2一FSa(L1+L2)+F+(】+2)g(0一s)lF,S+】gxl+gx2+F,Ca(L1+L2)一F+(】+优2)g(1一s)Uz+FCaS一FaS一F,Ca(SoS)+FSa(SlS.)4结论(1)按照本文给定的方法,在已知终端效应器作用力的情况下,可以十分方便而有效地确定各关节的驱动力和力矩,避开建立运动方程并求导的方法.(2)该方法可以利用坐标齐次变换矩阵,将任意两个构件上的力进行变换.(3
19、)根据达朗伯原理,将各惯性力简化到终端力系中,利用该方法也可以十分方便地解决动力学问题.(4)该方法由于不需求导和解方程便可显式地得出各构件的受力情况,它有利于进行计算机编程和进行力控制.2.一口(一一S鲫mD一一一一一一.r.第2期周运祥等:用于机器人受力分析的雅可此矩阵及应用?9?参考文献熊有伦机器人学.北京:机械工业出版社.1989-9724张伯鹏机器人工程基础.北京;机械工业出版社.1989:94125约翰J.克酋捂等.机器人学导论.西安西北工业大学出版社.1987:821O0强建孱.LLET型刻花机器人的研究.中国玻璃,】993(4)Zngianguo.ZengXioyo.AStud
20、yOn8-ArmCuttingRobot.The2ridAsianConference0nRoboticsAadItsApplication,1994.10北京市(金属切削理论与宴践,编委会.金属切削理论与实践(下册),北京:北京出版社.985-284298西北轻工业学院玻璃工艺学.北京:中国轻工业出临社.1993:372380简讯造纸文摘自1998年起恢复邮局发行并欢迎各厂商前来刊登广告为方便读者订阅,造纸文摘自1998年起恢复邮局发行,定价不变,每期7.OO元,全年六期,共42.OO元.请于1997年底到各地邮局订阅,请注意在河北省一栏查找,邮发代号:18-265.造纸文摘将于1998年开辟更贴近读者的新栏目,欢迎广大读者积极参与我们鲥工作,向我们推荐优秀文章.欢迎各造纸机械厂,造纸厂,化工厂及有关厂商前来刊登广告,宣传你们的产品,我们将竭诚提供优良的服务本刊地址;北京市朝阳区光华路12号邮编:100020电话:(010)65060022-5004造纸文摘编辑部:7