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1、,常系数非齐次线性微分方程,第八节,一、,二、,第七章,1,苍松优选,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,2,苍松优选,设非齐方程特解为,代入原方程,一、 型,3,苍松优选,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,4,苍松优选,特别地,5,苍松优选,例1.求方程的一个特解,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,6,苍松优选,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例,7,苍松优选,例,8,苍松
2、优选,例. 求解定解问题,解: 本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,9,苍松优选,于是所求解为,解得,10,苍松优选,利用欧拉公式,11,苍松优选,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,12,苍松优选,解,对应齐次方程特征方程,代入方程得,13,苍松优选,解,对应齐次方程通解,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,例5,14,苍松优选,例6,15,苍松优选,解,对应齐方通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,例7,16,苍松优选,例8.,解: (1) 特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特
3、解为,(2) 特征方程,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,17,苍松优选,三、小结,(待定系数法),只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.,18,苍松优选,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式.,19,苍松优选,思考题解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,20,苍松优选,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1 . (填空) 设,21,苍松优选,2. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,解: 特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,22,苍松优选,3. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,23,苍松优选,练 习 题,24,苍松优选,25,苍松优选,练习题答案,26,苍松优选,27,苍松优选,