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1、图形的轴对称轴轴对称和轴对称图形的性质等腰三角形性质定理逆命题和逆定理互逆定理直角三角形勾股定理的逆定理期末复习(二)特殊三角形01知识结构轴对称图形对称轴对称性判定定理互逆命题特殊三角形线段垂直平分线定理的逆定理性质定理判定定理勾股定理全等的判定角平分线的性质定理02重难点突破重难点1等腰三角形的性质及判定【例1】(萧山区期中)如图，在ABC中，AD平分BAC.(1)若ACBC，BC21，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明；(2)若ABBDAC，求BC的比值【思路点拨】(1)根据等腰三角形的定义及“等角对等边”判定等腰三角形；(2)利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将ACAB或ABB
2、D转化成一条线段，通过全等得到线段相等，从而得到角相等BADDACBAC36，解：(1)等腰三角形有3个：ABCABDADC，证明：ACBC，ABC是等腰三角形BBAC.BC21，BBACC180，BBAC72，C36.12BADB72，DACC36.ABAD，DADC.ABD和ADC是等腰三角形(2)在AC上截取AEAB，连结DE，又BADDAE，ADAD，ABDAED.AEDB，BDDE.ABBDAC，ACAEEC，BDEC.DEEC.EDCC.BAEDEDCC2C.BC21.1(上城区期中)如图ABC、ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于点F.若BDCDCE，ADCA
3、CD104，则DFC的度数为(C)A104B118C128D1362如图在ABC中，ABAC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BECF，BDCE.(1)求证：DEF是等腰三角形；(2)当A40时，求DEF的度数解：(1)证明：ABAC，BC.在BDE和CEF中，BECF，BC，BDCE，BDECEF(SAS)DEEF即DEF是等腰三角形(2)A40，ABAC，BC70.由(1)知BDECEF，BDECEF.DEF180BEDCEF180BEDBDEB70.重难点2直角三角形的性质及判定【例2】在ABC中，BAC90，BF平分ABC，AEFAFE.(1)求证：ADBC(请用一对互逆命题
4、进行证明)；(2)写出你所用到的这对互逆命题【思路点拨】由“直角三角形的两个锐角互余”得到ABFAFB90，又因为ABFCBF，AEFBED，从而转化为CBFBED90，从而ADBC得证解：(1)证明：在ABC中，BAC90，ABFAFB90.BF平分ABC，ABFCBF.AEFAFE，BEDAEF，BEDAFE.CBFBED90.BDE90.ADBC.(2)互逆命题：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形3(庆元县岭头中学月考)已知，如图，B、C、D三点共线，ABBD，EDCD，C是BD上的一点，且ABCD，12请判断ACE的形状并说明理由解：ACE是等腰直角三角形，理由
5、：12，ACCE.ABBD，EDCD，BD90.在ABC和CDE中，ACCE，ABCD，ABCCDE.ACBCED.CEDECD90，ACBECD90.ACE90.ACE是等腰直角三角形重难点3勾股定理及其逆定理【例3】如图，在RtABC中，ABC90，点D是AC的中点，作ADB的平分线DE交AB于点E.BDADAC.(1)求证：DEBC；(2)若AE3，AD5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时DEP为等腰三角形？请求出所有BP的值【思路点拨】(1)要证DEBC，可转化为证AEDABC90，即证DEAB，由等腰三角形“三线合一”的性质可推导得出；(2)DEP为等腰三角形，存在三种情况：
6、DEEP，DPEP，DEDP，结合勾股定理可求得BP的值解：(1)证明：ABC90，点D是AC的中点，12DE是ADB的平分线，DEAB.又ABC90，DEBC.(2)AE3，AD5，DEAB，DEAD2AE24.DEAB，ADBD，BEAE3.DEEP时，BP42327；DPEP时，BPDE42；1122DEDP时，过点D作DFBC于点F，则DFBE3，由勾股定理，得FP42327，点P在F下边时，BP47，点P在F上边时，BP47，综上所述，BP的值为7，2，47或47.4如图，在ABC中，C90，AB5cm，AC3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t(s
7、)(1)当ABP为直角三角形时，求t的值；(2)当ABP为等腰三角形时，求t的值解得t.综上当ABP为直角三角形时，t4或.解：(1)C90，AB5cm，AC3cm，BC4cm.当APB为直角时，点P与点C重合，BPBC4cm，t4.当BAP为直角时，BPtcm，CP(t4)cm，AC3cm，在ACP中，AP232(t4)2，在BAP中，AB2AP2BP2，5232(t4)2t2，254254(2)当BPBA5cm时，t5.当ABAP时，BP2BC8cm，t8.当PBPA时，PBPAtcm，CP(4t)cm，AC3cm，在ACP中，AP2AC2CP2，t232(4t)2，解得t258.综上当A
8、BP为等腰三角形时，t5或8或.25803备考集训一、选择题(每小题3分，共30分)1(上城区期中)下列四个图形中，是轴对称图形的是(C)2下列各命题的逆命题成立的是(C)A全等三角形的对应角相等B如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C两直线平行，同位角相等D如果两个角都是45，那么这两个角相等3如图在ABC中，ACB90，CD是AB边上的高，如果A50，那么DCB(A)A50B45C40D254下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是(B)A两条直角边对应相等B两个锐角对应相等C一条直角边和它所对的锐角对应相等D一个锐角和锐角所对的直角边对应相等5(永嘉县校级期中)等腰三角形一腰上的高与另一
9、腰的夹角为30，则顶角的度数为(D)A60B120C60或150D60或1206如图，在ABC中，C90，D为AC上一点，且DADB5如果DAB的面积为10，那么DC的长是(B)A4B3C5D4.5第6题图第7题图7如图在ABC中，A36，ABAC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连结BD，下列结论错误的是(D)AC2ABBD平分ABCC图中有三个等腰三角形DBCDBOD(8萧山区期中ABC中，ABAC5，BC8，点P是BC边上的动点，过点P作PDAB于点D，PEAC于点E，则PDPE的长是(A)A4.8B4.8或3.8C3.8D59(庆元县岭头中学月考)如图，三角形纸片ABC
10、中，B2C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是(B)AACADBDBACABBDCACADCDDACABCD第9题图第10题图10(河北中考)如图，AOB120，OP平分AOB，且OP2.若点M，N分别在OA，OB上且PMN为等边三角形，则满足上述条件的PMN有(D)A1个B2个C3个D3个以上二、填空题(每小题4分，共24分)11等腰三角形的一个角是110，则它的底角是3512(永嘉县校级期中)如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中的尺寸(单位：cm)，计算两个圆孔中的A和B的距离为10cm.第12题图第13题图13如图在ABC中，AB
11、AC7，BC6，AFBC于F，BEAC于E，D是AB的中点，则DEF的周长是1014(萧山区期中)如图，已知MON30，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上A1B1A、A2B2A3、3B3A4均为等边三角形，若OA11则A6B6A7的边长为32第14题图第15题图15(江山期末)如图，在边长为2的等边ABC中，AD是BC边上的高，点E是AC中点，点P是AD上一动点，则PCPE的最小值是316(杭州期中)已知：如图，BD为ABC的角平分线，且BDBC，E为BD延长线上的一点，BEBA，过E作EFAB，F为垂足下列结论：ABDEBC；BCEBCD180；ADEFEC；BA
12、BC2BF.其中正确的结论有(填序号)三、解答题(共46分)17(10分)如图，请将下面两个三角形分成两个等腰三角形(要求重新画图，且标出每个等腰三角形的内角的度数)解：如图：18(10分)(杭州中考)如图在ABC中，已知ABAC，AD平分BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM2MB，AN2NC.求证：DMDN.证明：AM2MB，AN2NC，ABAC，AMAN.AD平分BAC，MADNAD.在AMD和AND中，AMAN，MADNAD，ADAD，AMDAND(SAS)DMDN.19(12分)(萧山区期中)(1)用直尺和圆规作一个等腰三角形，使得底边长为线段a，底边上的高的长为线段b，要求保留
13、作图痕迹；(不要求写出作法)(2)在(1)中，若a6，b4，求等腰三角形的腰长解：(1)如图，等腰三角形ABC即为所求作三角形，其中ABa，OCb.(2)由题意知ACBC，AOBO，COAB，且CO4，AB6，AO3.ACOA2OC25，即等腰三角形的腰长为5.20(14分)如图1，OA2，OB4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰ABC.(1)求C点的坐标；(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰APD，过D作DEx轴于E点，求OPDE的值解：(1)过C作CMx轴于M点，MACOAB90，OABOBA90，MACOBA.在MAC和OBA中，CMAAOB90，MACOBA，ACBA，MACOBA(AAS)CMOA2，MAOB4.OMOAAM246.点C的坐标为(6，2)(2)过D作DQOP于Q点，则DEOQ.OPDEOPOQPQ.APOQPD90，APOOAP90，QPDOAP.在AOP和PQD中，AOPPQD90，OAPQPD，APPD，AOPPQD(AAS)PQOA2，即OPDE2.