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1、第五章 正态分布与z分数、T分数第一节 正态分布与z分数一、正态分布正态分布曲线（Normal distribution carve）是一个单峰曲线，中间高，两边逐渐下降，在正负一个标准差的地方有拐点，两端永远不与横轴相交，两侧完全对称的钟形曲线（图5-1）。它的数学模型公式如下：正态分布的公式：一般正态分布的公式： （5.1）标准正态分布的公式： （5.2） 式中，y：次数或纵线的高度；X：原始分数；：总体平均数；：总体标准差；和e：常数（3.14，2.718）从公式看出，决定曲线位置和形态的关键数值是分布的平均数和标准差。值决定曲线的最高点在横轴上的位置。值越大曲线在横轴上的位置越向右。值
2、决定曲线的形状，是高耸还是矮平。凡是符合以上条件的曲线就是正态曲线，因此有多少对值和值的组合就有多少条正态分布曲线。换句话说，任何特定的正态分布的确定的性质是由公式中的和值决定的。在为数众多的正态曲线中，有一条正态曲线，平均数等于0，标准差 等于 1，统计中规定它为标准正态曲线，任何一条正态分布曲线都可以转化为标准正态曲线，方法就是将原始分数转变为z分数。 z分数图5-1 标准正态分布曲线二、z分数z分数也叫标准分数（Standard score），它是以标准差为尺子去度量某一原始分数偏离平均数的距离，这段距离含有几个标准差，z分数就是几。从而确定这一数据在全体数据中的位置。称这一过程为标准化
3、。转化的公式为5.3即：计算z分数的公式 （ 5.3）式中，X：原始数据；：平均数；S：标准差 z分数是以标准差为单位的离均差。从z分数的计算可以看出，由于在运算过程中保留了原数据与平均数的差的关系，平均数的z分数等于0, 其它数值的z分数比平均数大的为正值，比平均数小的为负值。而且，任一原始数据与平均数的差的大小，决定了它的位置。所以，z分数既能表示比其它数大多少或少多少；也可以表示该数的位置。在统计中，z分数是一个非常重要的指标，当原始分数的分布形态是正态分布时，把所有原始分数都转成z分数，就形成了标准正态分布。标准正态分布有两个性质即，。标准正态分布曲线下的面积为1，表示数据的整体。正态
4、分布下的任何一段面积占整体的比例，都可以用积分的方式计算出来。 曲线以平均数处的纵轴成轴对称。该轴将曲线下面积分为相等的两部分各为.50。平均数点的z值等于0，整个曲线下的横轴近似为六个标准差，三个正，三个负。统计学家根据标准正态分布这些特点，已经将正态曲线下的面积计算出来制成正态曲线表，方便研究工作者使用。三、正态分布表正态分布表共分4列：第一、二列：第一列是标准分数z值，它是由原分数转化而来。第二列是从平均数0到z分数的面积。即从平均数纵线开始到z分数所在之处的纵线之间曲线下的面积。第三、四列为较大部分和较小部分的面积，意思是从整个曲线下面积来看，除平均数点以外任一个z分数所在点的纵轴，将
5、曲线下的面积分成大的一块、小的一块。该任何z分数所在行的第三列，第四列的值之和为1。反向查找又可以将百分等级转化为z分数。第五列为每一z分数所在点的纵线高度。第二节 正态分布表的应用一、z分数与正态分布表的应用例题5-1：某工厂招工的分数为正态分布，录取分数线为203分，三科考试的平均数和标准差列于下表。有甲考生考分之和为201分，乙考生考分之和为203分，问录取谁较为合理？表5-1 三科考试成绩科 目全体考生 S甲成绩乙成绩z甲z乙语文数学操作63 850 670 87061707152800.881.830.001.000.331.55/ /2012032.712.58分析：此题已知全体考
6、生成绩的、S，又知甲、乙两人的成绩。录取谁就要比较谁在团体中占的地位高，最公平的比较是用标准分比较。解： 利用公式5.3 分别计算出甲和乙得分的z分数，列于z甲、z乙列。 在表中计算出甲、乙的z分数之和。甲为2.71，乙为2.58，z甲2.71 z乙2.58。答：虽然乙的总成绩高于甲，但从甲乙成绩在各科中的地位z分数之和来看，z甲2.71 z乙2.58，录取甲更为合理。注意有几个关键点的z分数是统计检验中的重要的临界值，即两事物差别显著不显著的分界线。1.65是单侧检验，.05显著水平的临界值；2.33是单侧检验，.01显著水平的临界值；1.96是双侧检验，.05显著水平的临界值；2.58是双
7、侧检验，.01显著水平的临界值。统计中常用推论的正确率为95%、99%为推论可靠性的标准。这时推论的错误率仅为.05和.01。常用.05、.01作为检验的显著性水平的概率。当推论正确的可能性小于95%时, 常常被认为推论的结果不可靠。.05水平 .01水平图5-2 双侧检验的置信区间二、T分数由于z 分数存在正数负数，又有小数，使得z分数在计算和解释实验结果、测验结果时有些不好理解，因此，常要对z 分数 作一线性变换，即将z转换为T分数，T分数既有z分数的分布状态即标准正态分布又易于理解和解释。利用线性公式转换： （5.4）式中Y：转化后的分数；m、k常数，m为转换后新的分数的平均数，k为转换后新的分数的标准差。T分数就是以平均数为50，标准差为10进行转换后的分数。 （5.5）T分数的本质与z分数一样，保持单位等距，和使数据分布归于标准正态分布。