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1、,3,5.3.1 可降阶的二阶微分方程,1、形如 的二阶微分方程,例 1,求解自由落体运动微分方程,其中 g 为重力加速度.,解,对原方程作一次不定积分，得,4,再对上式作不定积分，得,当 时， 得 ，即,当 时， 得 ，因此,5,为所求特解.,2、形如 的二阶微分方程,因为,所以,6,积分，得,例 2,求单摆运动微分方程,的通解.,解,代入上面的公式，得,7,积分得,为所求通解.,8,3、形如 的二阶微分方程,令,则方程变为,积分得,令 ，即,求其反函数，得,积分，得,9,若 的反函数不易求出，两边对 y 求导得:,分离变量并求积分，得,通解：,10,例 3,解,求解悬链线微分方程,令 ，则
2、,11,代入初始条件：,得到特解（悬链线）,两次积分可得通解：,12,例 4,解,如图建立坐标系,其中O 为地球中心.,13,设物体的位置函数 ，速度,14,负号表示物体运动方向与 y 轴的正向方向相反.,15,16,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,例 5,17,5.3.5 小结与思考题1,解法,通过代换将其化成较低阶方程求解.,18,思考题,19,思考题解答,都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数,所求通解为,20,课堂练习题,21,22,课堂练习题答案,23,5.3.2 二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程的标准形式,二阶线性非齐次微分
3、方程的标准形式,（1）,（2）,24,即，二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程；,二阶线性非齐次微分方程.,25,一、二阶线性微分方程的解的结构,1、二阶齐次方程解的结构:,问题:,26,例如,线性无关；,线性相关.,27,例如,28,2、二阶非齐次线性方程的解的结构:,29,解的叠加原理,30,二、求解的降阶法与常数变易法,1、齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式, 得,则有 v 的一阶方程,降阶法,31,解得,刘维尔公式,齐次方程通解为:,（3）,32,（4）,33,2、求解非齐次线性方程通解-常数变易法,设对应齐次方程通解为：,非齐次方程通解为：,令,34,(5),联立方程
4、组:,35,积分可得：,非齐次方程通解为：,(6),36,解,齐次方程特解为,由刘维尔公式(3),对应齐次方程的通解为:,例 7,37,设原方程的通解为,解得,原方程的通解为,应满足方程组（5）,即,38,若用公式（6）求解，先要计算,于是,即，原方程的通解为,39,（7）,（8）,40,41,42,解,观察得 为对应的齐次方程的解.,由公式（3）,所以齐次方程的通解为：,例 8,因为,43,44,45,5.3.5 小结与思考题2,主要内容：,线性方程解的结构；,线性相关与线性无关；,降阶法与常数变易法.,补充内容,可观察出一个特解,46,课堂练习题,47,48,课堂练习题答案,49,二阶常系
5、数齐次线性方程的标准形式,5.3.3 二阶常系数线性齐次微分方程,（9）,齐次方程求解的代数方法-特征方程法,设 将其代入上方程, 得,故有,特征方程,（10）,50,特征根,51, 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,证,52, 有两个相等的实根,一特解为,所以，可得齐次方程的通解为,特征根为,另一特解可由刘维尔公式得到：,53, 有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,54,由常系数齐次线性方程的特征根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为：,例9,55,解,特征方程为,解得,故所求通解为：,例10,56,二阶
6、常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),5.3.5 小结与思考题3,57,齐次方程,特征方程,58,思考题,求微分方程 的通解.,59,思考题解答,令,则,特征根,通解,60,课堂练习题,61,课堂练习题答案,62,5.3.4 二阶常系数线性非齐次方程,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,（11）,非齐次线性方程通解结构：,对应齐次方程 的通解 .,问题：如何求特解 ？,63,（12）,（13）,特征方程（10）的根：,64,显然，,由定理4，（11）式的特解为, 有两个实根,特征根为,证,
7、齐次方程（9）的特解： （或取 ），,65,即, 有共轭复根,特征根为,此时，,齐次方程（9）的特解： （或,取 ），,66,由定理4，（11）式的特解为,（14）,67,68,69,70,71,72,73,74,例15,解,75,76,77,解,对应齐方通解,常数变易法,原方程通解为：,例16,78,设非齐方程特解为,代入方程得：,*附：几类特殊类型的求解法,1、 型,79,（2）若 是特征方程的单根，即,80,综上讨论：,其中,81,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例17,82,2、 型,83,为一般m次多项式.,其中：,84,解,对应齐次方程通解,作辅助方程,代入上式：,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例18,为单根,85,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例19,86,所求非齐方程特解为：,原方程通解为：,（取实部）,87,注意：作辅助方程, 将（2）型转化为（1）型求特解, 再取特解的实部或虚部, 可得原方程特解.,5.3.5 小结与思考题4,求解二阶常系数线性非齐次微分方程的 公式法：代入各公式求积分.,88,思考题,用两种方法求微分方程,的特解.,89,思考题解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,90,由公式（14）：,91,课堂练习题,92,课堂练习题答案,