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1、全称量词与存在量词【学习目标】1了解量词在日常生活中和数学命题中的应用，正确理解全称量词和存在量词的意义，并能使用两类量词叙述数学内容；2能判断全称命题和特称命题，并能判断其真假掌；3能正确地对含有一个量词的命题进行否定【要点梳理】要点一：全称量词与全称命题全称量词全称量词的概念：在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词常见的全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”、“任何”、“一切”等全称量词的表示：通常用符号“”表示，读作“对任意”全称命题全称命题的概念：含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题的形式：对M中任意一个x，有p(x)成立记作：xM，p(x)（其中M为给定的
2、集合，p(x)是关于x的语句）要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题要点二：存在量词与特称命题存在量词存在量词的概念：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词常见的存在量词：“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等存在量词的表示：通常用符号“”表示，读作“存在”特称命题特称命题的概念：含有存在量词的命题，叫做特称命题特称命题的形式：存在M中一个元素x，有p(x)成立记作：x000M，p(x)（其0中M为给定的集合，p(x)
3、是关于x的语句）要点诠释：（1）全称命题表示整体或全部的含义，而特称命题反映对个体或整体一部分的判断.（2）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在R,R使sin()sinsin（2）有些特称命题也可能省略了存在量词例如：“正方形是矩形”，“球面是曲面等等”.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述.要点三：全称命题与特称命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了实际上要说明这个全称命题的否定是正确的不难发现，全称命题的否定是特称命题全称命题p：xM，p(x)；p的否定p：x0M，p(x)0对含有一个量词的特称命题的否定要说明一个特
4、称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的不难发现，特称命题的否定是全称命题特称命题p：x0M，p(x)；0p的否定p：xM，p(x)要点诠释：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2)命题的否定与命题的否命题是不同的；(3)一些常见量词的否定如下表所示：正面词否定词是不是等于不等于都是不都是大于不大于小于不小于至少一个一个也没有至多一个至少两个小于等于大于等于要点四：全称命题和特称命题的真假判断要判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定全称命题“xM，p(x)”是假命题
5、，只需找出一个反例即可，即在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立00要判定特称命题“x0使得p(x)成立即可；0M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，00要判定特称命题“x0M，p(x)”是假命题，必须证明在集合M中，使p(x)成立0得元素不存在【典型例题】类型一：全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的辨析例1指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示（1）对任意正实数a,a2a20；（2）对某个大于10的正整数n，(2)n1024【思路点拨】根据全称量词和存在量词的概念进行判断【解析】（1）该命题中有量词“任意”，这是一个
6、全称量词，它的作用范围是正实数集合该命题可写成“a0,a2a20”（2）该命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合该命题可写成“n10,nN*,(2)n1024【总结升华】判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”、“任意”、“任何”、“存在”、“有的”、“至少”、“有”等词语，或隐含有这些词语的意思举一反三：【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1）任何一个实数除以1仍等于这个数；（2）等边三角形的三边相等；（3）存在实数x，使x230；00（4）有一个实数，不能作除数；（5）棱柱是多面体；（6）有些四边形的四个边都相等【
7、答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题；（4）特称命题；（5）全称命题；（6）特称命题.【高清课堂：全称量词与存在量词395491例1】【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题（1）xR，x211；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数【答案】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题类型二：判断全称命题、特称命题的真假例2判断下列命题的真假：（1）xN,x412；（2）x0Z,x310【思路点拨】（1）对x412进
8、行等价变形，可化为x41，x取自然数0，1，2，代入验证；（2）中x取整数0，1，2，3，代入x31，验证不等式是否成立.00【答案】（1）假命题；（2）真命题.【解析】（1）由于0，当x0时，x412不成立，故(1)为假命题；（2）由于1Z，当x1时能使x31，所以（2）为真命题【总结升华】（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个xx，使p(x)不成立即可；00（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个xx，0使p(x)成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题0
9、举一反三：【变式1】试判断下列命题的真假：（1）xR,x210；（2）xN,x21；（3）xZ,x33；（4）xR,x23x20；（5）xR,x210.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题.【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（）有的实数是无限不循环小数；有些三角形不是等腰三角形；有的菱形是正方形；A0B1C2D3【答案】A类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例3判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假；（1）三角形的内角和为180（2）每个二次函数的图象都开口向下；（3）存在一个四边形不是平行四边形；
10、（4）xR,x220；（5）x0R,x2100【解析】（1）是全称命题且为真命题，命题的否定：三角形的内角和不全为180，即存在一个三角形，它的内角和不等于180为假命题（2）是全称命题且为假命题命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题（3）是特称命题且为真命题命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题（4）是全称命题且为真命题由于xR都有x20，故x2220，p为真命题；p：x0R,x2020，p为假命题（5）是特称命题且为假命题因为不存在一个实数x，使x210成立，p为假命题；p：xR,x210，p为真命题【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命
11、题，而特称命题的否定是全称命题举一反三：【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假（1）xR,x24x40；（2）所有的正方形都是矩形；（3）x0R,x20x010；2（4）至少有一个实数x0，使得x0【答案】20（1）p：x0R,x204x0；40（假命题）（2）p：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；p:|1x1（3）p：xR,x2x10（真命题）；（4）p：xR,x220（真命题）【高清课堂：全称量词与存在量词395491例5】【变式2】“a和b都不是偶数”的否定形式是（）Aa和b至少有一个是偶数Ba和b至多有一个是偶数Ca是偶数，b不是偶数Da和b都是偶数【答案】A类型四：含有量词的命
12、题的应用例4已知p:|1x1|2，q:x22x1m20(m0)，若p是q的必要不充分条件，3求实数m的取值范围【思路点拨】本题是不等式与逻辑关系的综合性题目，应逐个突破，再完美衔接：第一步：解p与q中的不等式；第二步：理解“p是q的必要不充分条件”的具体含义：“qp”“pq”；第三步：问题转化为“对任意p的x，q恒成立”.【答案】9,【解析】x1x1|2212132x10333q:x22x1m20?x1mx1m0又m0不等式的解为1-mx1+m“p是q的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件”，不等式|1x1|2的解集是x22x1m20m0的解集的子集31m2m3,m
13、91m10m9实数m的取值范围是9,【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了要点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找【变式2】已知c0，设命题p：函数ycx为减函数命题q：当x,2时，函解集间的包含关系，进而使问题解决举一反三：【变式1】若命题“xR，使得x2+(a1)x+10”是真命题，则实数a的取值范围是【答案】(，1)(3，)22【解析】“xR，使得x2+(a1)x+10”是真命题，(a1)40，即(a1)4，a12或a12，a3或a112数f(x)x11恒成立如果p或q为真命题，p且q为假命题求c的取值范围xc1【答案】c|0c或c12【解析】由命题p知：0c1由命题q知：2x15x2，11要使此式恒成立，则2，即cc2又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，当p为真，q为假时，c的取值范围为0c当p为假，q为真时，c112综上，c的取值范围为c|0c12或c1