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1、典型高考数学试题解读与变式2018版考点30：异面直线所成的角【考纲要求】.1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【命题规律】.异面直线的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题【典型高考试题变式】（一）空间直线与直线夹角的问题例1.【2017全国3卷（理）】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，A
2、B与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；来源学科网直线AB与a所称角的最小值为45；直线AB与a所称角的最小值为60；其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）来源学科网ZXXK【变式1】改编例题中条件，求两直线的夹角】2016浙江（文）】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，ADC=90.沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_.学科=网AA平面ABCD，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA的长为b，E为侧棱BB上的动点（包【变式二】【改编例题中结论，求解动态问题】【2017浙江嵊州市二模】在四棱柱ABCD-A
3、BCD中，111111111111111括端点），则（）A对任意的a，b，存在点E，使得BDEC11B当且仅当a=b时，存在点E，使得BDEC11C当且仅当ab时，存在点E，使得BDEC11D当且仅当ab时，存在点E，使得BDEC11（二）异面直线的夹角例2.【2017全国2卷（理）】已知直三棱柱ABC-ABC中，ABC=120，AB=2，BC=CC=1，1111则异面直线AB与BC所成角的余弦值为（）.11A315B25来源学科网C105D33【变式1】【改编题目条件和结论，利用向量法求解】2017届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学四模】已知正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2
4、,E,F分别是PB,PC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）3611A.B.C.D.3362【变式2】【改编题目条件和结论，利用普通方法求解】2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】如图，在四棱锥P-ABCD中，PO平面ABCD，E为线段AP的中点，底面ABCD为菱形，若BD=2a，PC=4a，则异面直线DE与PC所成角的正弦值为（）A.2553B.C.D.55212【数学思想】(1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论
5、思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.学科！网2.转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修改.非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常用到，一定要特别重视！3.
6、转化与化归的原则（1）熟悉化原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题；（2）直观化原则：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；（3）简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.（4）正难则反原则：若过正面问题难以解决，可考虑问题的反面，从问题的反面寻求突破的途径；（5）低维度原则：将高维度问题转化成低维度问题.4.转化与化归的基本类型（1）正与反、一般与特殊的转化；（2）常量与变量的转化；（3）数与形的转化；来源学+科+网（4）数学各分支之间的转化；（5）相等与不相等之间的转化；（6）实际问题与数学
7、模型的转化.5常见的转化方法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；A.2222（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的
8、特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决.立体几何中的转化与化归，主要利用直接转化法或坐标法，将空间问题转化成平面问题、将几何问题转化成代数问题加以解决.【空间角的范围处理错误注意点】.解决此类问题，要注意各种空间角的给定范围，容易在范围上出现问题【典例试题演练】1【2017届河北省武邑中学五模】正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内
9、的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（）B.C.D.63452【2017届河南省六市高三下学期第二次联考】如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为（）A.B.C.D.3【2017届四川省广元市高三第三次高考适应性统考】对于四面体,有以下命题:若,则点在底面内的射影是的外心；若,则点在底面内的射影是的内心；四面体的四个面中最多有四个直角三角形；若四面体的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是()A.B.C.D.4【2017届山西省临汾市高三考前适应性训练】已知平面a，及直线a,b下列说法正确的是（）A.若直线a,b
10、与平面B.若直线a,b与平面a所成角都是30，则这两条直线平行a所成角都是30，则这两条直线不可能垂直C.若直线a,b平行，则这两条直线中至少有一条与平面a平行D.若直线a,b垂直，则这两条直线与平面a不可能都垂直5【2017届河北省张家口市高三上学期期末考试】三棱柱来源:Z&xx&k.Com中，为等边三角形，平面，分别是，的中点，则与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.6【2018届吉林省百校联盟高三TOP20九月联考】如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=2，1111BB=BC=1，点P是长方体外的一点，过点P作直线l，记直线l与直线AC，BC的夹角分别为q，111(q，若sinq21
11、-50)=cos(140-q2)，则满足条件的直线l（）AB=2BB，则AB与BC所成角的大小为()A.pp5ppA.有1条B.有2条C.有3条D.有4条7【2017届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下学期第六次模拟】在正三棱柱ABC-ABC中，111111B.C.D.63122【82017届陕西省西安市长安区第一中学高三4月模拟】如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是（）A.1B.2C.22D.12A.-19【2017年福建泉州新世纪中学模考】在四面体ABCD
12、中，若AB=CD=3，AC=BD=2，AD=BC=5，则直线AB与CD所成角的余弦值为（）111B.-C.D.344310【2017届四川省成都市高中毕业班第三次诊断检测】在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑与所成角的余弦值为（）中，平面，且，则异面直线A.B.C.D.11【2017届山西省孝义市高三下学期考前热身训练】【在长方体ABCD-ABCD中,1111AA=AD=a,AB=2a,点P在线段AD上运动,当异面直线CP与BA所成的角最大时,则三棱锥1111111C-PAD的体积为()11a3a3a3A.B.C.D.a343212【2018届广西柳
13、州市高三毕业班上学期摸底联考】如图所示，在四面体A-BCD中，若截面PQMN是正方形，则下列命题中正确的是_(将所有正确答案序号填写到横线上)ACBD；AC/截面PQMN；AC=BD；异面直线PM与BD所成的角为4513【2017届河北省衡水中学高三下学期第三次摸底考试】已知两平行平面a、b间的距离为23，点A、Ba，点C、Db，且AB=4,CD=3，若异面直线AB与CD所成角为60，则四面体ABCD的体积为_14【2017届安徽省江淮十校高三下学期第三次联考】如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将DADE沿直线DE翻转成DADE.若M为线段AC的中点，则在DADE翻折过程中：11BM是定值；点M在某个球面上运动；存在某个位置，使DEAC；存在某个位置，使MB平面ADE.11其中正确的命题是_.学*科网