菲涅尔多缝衍射的数值计算.doc

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1、第 24 卷 第 1 期2011 年 2 月大 学 物 理 实 验P H YSICAL EXP ER IM EN T O F COLL E GEVol . 24 No . 1Feb . 2011文章编号 :100722934 (2011) 0120055204菲涅尔多缝衍射的数值计算郭小花 ,王志坚 ,令维军( 天水师范学院 ,甘肃 兰州 741001)摘要 : 本文直接由菲涅尔2基尔霍夫衍射积分公式出发 ,通过数值积分的方法 ,计算菲涅尔单缝 、双缝以及多缝衍射的光强分布 ,绘制出其相应的光强分布曲线 。同时给出了计算菲涅尔多缝衍射的光振动分布的具体表达式 。研究结果对于理解菲涅尔衍射现象具

2、有重要的理论参考意义 。关 键 词 : 菲涅尔衍射 ;复振幅 ;光强中图分类号 : O436 . 1文献标识码 : A光的衍射现象是光波动性的主要特性之一 。以惠更斯22菲涅耳原理作为理论基础可以研究光 波的衍射现象 ,利用菲涅尔2基尔霍夫衍射积分公式可以得到衍射光波场的光振动特点以及光强分布 。但是光强分布的解析解在通常情况下需要通 过适当的近似处理 ,进行衍射积分计算 ,其过程繁琐且复杂 ,难以得到准确的解析解 。对于夫琅和 费衍射 ( Fra unhof e r diff ractio n ,即远场衍射 ,光源 和接收屏幕距离衍射屏均为无穷远) ,通过简单的计算可得到比较精确的衍射光强分

3、布 ; 而对于菲 涅尔衍射 ( Fre snel diff ractio n , 即近场衍射 , 光源和接收屏幕距离衍射屏均为有限远或其中之一为 有限远) ,一般是通过半波带法和矢量图解法等近似方法可以定性或半定量地得到轴上一点的衍射 光强 1 ,轴外各点的衍射光强分析非常复杂 。目前常见的是对于菲涅尔圆孔 225 和圆屏 6 等特殊 形状衍射屏 7 ,8 的轴外光强的分析研究 , 而定 量 研究菲涅尔多缝衍射是波动光学中较困难的问题之一 ,也较少见 。 本文直接从菲涅尔2基尔霍夫衍射积分公式出发 ,运用 Mat la b 进行数值计算 ,通过数值积分 的方法 ,研究菲涅尔单缝 、双缝以及多缝

4、衍射的光强分布 ,并绘制其光强分布曲线 。观察屏上的直角坐标系为 o x y , Z 为观察屏到单缝的距离 。若单色平面光波垂直地入射到单缝上 ,则观察屏上一点 P 的复振幅 E ( x , y) 9 为 :图 1 单缝衍射坐标系a/ 210 ) 2i ( kz23/ 4)ik ( x2x/ 2 z2E ( x , y) = ee2d x0( 1)za/式中 k = 2/, 改变式 1 的 x 值 , 利用 Mat la b 算()出观察屏上的复振幅分布后再取模方或其共轭就可得到观察屏上的相对光强分布 。令波长 = 632. 8 nm ,缝宽 = 0. 608 0 mm ,观 察离 衍 射 屏

5、 的 垂 直 距 离 Z 分 别 取 0. 1460 m ,0. 073 0 m ,0. 048 7 m ,0. 036 5 m ,1. 460 4 m ,2. 0 m ,可得到如图 2 (a) (f) 所示的光强分布曲线 。 由图 2 可知 , 在近场衍射中 , 衍射光主要分布在与缝平行方向上 , 光强分布中出现了多个峰值 ,随距离 Z 的减小 , 峰值数增加 , 其分裂出的峰值个 数由 K = a2 / 4 Z 10 决定 。随着距离 Z 的增大 , 衍射光逐渐向缝的正交方向集中 , 光强分布也从“多 峰”变为“单峰”, 图形 ( 如图 2 ( a) ) 已开始向夫琅 禾费衍射靠近 , 如

6、果再增大观察屏与衍射屏的距1单缝衍射如图 1 所示 , 设 ox 0 y0 是位于单缝平面的直角坐标系 , 单缝缝宽为 a , 且 y0 轴与单缝中线重合 ,收稿日期 : 2010209215图 2 随距离 Z 变化的菲涅尔单缝衍射的光强分布曲线随距离 Z 的逐渐增大 , 条纹越见清晰 , 光强极小值接近于 0 , 当距离 Z 增大到 5 . 0 m 时 , 整个强度分 布曲线的包迹与单 缝衍 射 强度 分布 曲线 形 式一样 , 即过渡到了标准的双缝夫琅和费衍射图样 。2双缝衍射若用双缝衍射屏替换单缝衍射屏 , 设双缝对称地分居 y0 轴两侧 , 双缝的缝宽都为 a , 缝距 ( 指 两狭缝

7、中心的距离) 为 d 。并设有一束单色的平面光波垂直照射双缝 ( 波长 = 632 . 8 nm) , 观察屏 上一点 P 的复振幅 , 仍然可以利用方程 ( 1) , 不过要采用分段积分 , 如方程 ( 2) 所示 。改变 x 的值对 式 ( 2) 进行数值计算再取模方可得到观察屏上的衍射光强分布 。ik ( x2x 0 ) 2= 1 e i kz23/ 42( d/ 2 2a/ 2)( )Eped x0 +2 Z2 d/ 2 + a/ 2)(zik ( x2x 0 ) 2( d/ 2 + a/ 2)( 2)ed x02 Z( d/ 2 2a/ 2)现令缝宽 a = 0 . 3 mm , 缝

8、距 d = 0 . 9 mm , 观察屏到 衍 射 屏 的 距 离 Z 依 次 为 0 . 5 m ,1 . 0 m ,2 . 0 m ,5 . 0 m ,那么可得到图 3 (a) ( d) 所示的 双缝衍射光强分布曲线图 。由图 3 可看出 , 观察屏上的光强关于 Y 轴对称分布 , 相邻主极大间有一个极小值 , 零个次极大 值 , 并且第三级缺级 。当观察屏到衍射屏的距离 Z比较小时 , 如图 3 ( a) 所示 , 菲涅尔衍射的光强极 小值大于 0 , 并且第一主极大产生了分裂 。此后 ,图 3 随距离 Z 变化的菲涅尔双缝衍射的光强分布曲线3多缝衍射从上面对菲涅尔单缝衍射和菲涅尔双缝衍

9、射的光强的数值计算 , 可知用方程 ( 1) 计算菲涅尔菲涅尔多缝衍射的数值计算57P 的复振幅 , 如方程 ( 4 ) 所示 。同 样改 变 x 的值对式 ( 4) 进行数值计算再取模方可得到观察屏上 的衍射光强分布 。单缝衍射和双缝衍射的光强分布是完全适用的 ,那么该方程能否推广到菲涅尔多缝衍射的光强计算呢 ?下面以三缝 ( N = 3) 和四缝 ( N以讨论说明 。3 . 1三缝衍射= 4) 为例予ik ( x2x 0 ) 22( 3 d/ 2 2a/ 2)ed x0 +2 Z2( 3 d/ 2 + a/ 2)ik ( x2x 0 ) 22( d/ 2 2a/ 2)e对菲涅尔三缝 ( N

10、= 3) 衍射 ,设三缝对称地分dx0+2 Z12( d/ 2 + a/ 2)居 y0 轴两侧 , 三缝的缝宽都为 a ,缝距 (指相邻狭缝中心的距离) 为 d 。并设有一束单色的平面光波垂 直照射三缝 (波长 = 632. 8 nm) ,观察屏上一点 P 的复振幅 , 仍然利用方程 (1) , 采用分段积分 , 如方 程 (3) 所示 。改变 x 的值对式 (3) 进行数值计算再取 模方可得到观察屏上的衍射光强分布 。e i kz23 / 4( )Ep=( 4)ik ( x2x ) 2( d/ 2 + a/ 2)z0ed x0 +22 Z( d/ 2 2a/ 2)ik ( x2x 0 )(

11、3 d/ 2 + a/ 2)e( 3 d/ 2 2a/ 2)d x02 Zik ( x2x 0 ) 22( d2a/ 2)2( d + a/ 2)= 1 e i kz23/ 4()Eped x0 +2 Zzik ( x2x 0 ) 2ik ( x2x 0 ) 2a/ 2( d + a/ 2)ed x0+ed x0( 3)2 Z2 Z2a/ 2( d2a/ 2)图 5随距离 Z 变化的菲涅尔四缝衍射的光强分布曲线令缝宽 a = 0 . 1 mm , 缝距 d = 0 . 3 mm , d =3 a , 观察屏到衍射屏的距离 Z 依次为 0 . 2 m ,0 . 6 m ,1 . 0 m ,3 .

12、 6 m ,可得到图 5 (a) ( d) 所示的四缝衍射图样 , 从图 5 可看出观察屏上的光强关于Y 轴对称分布 , 相邻主极大间有三个极小值 , 两个 次极大值 , 且第三级缺级 。而且当观察屏到衍射屏的距离 Z 较小 , 如图 5 ( a) Z = 0 . 2 m 时 , 菲涅尔衍射的光强极小值大于 0 , 主极大值与次极大值几 乎分辨不清 , 并且相邻极小值光强差值较大 , 如在 中央主极大和第一级主极大间三个极小值的光强大约依次为 0 . 2 , 0 . 01 , 0 . 03 , 且衍射光场 分 布依 赖于观察平面到衍射屏的距离 Z , 位于不同位置图 4 随距离 Z 变化的菲涅

13、尔三缝衍射的光强分布曲线取缝宽 a = 0. 1 mm ,缝距 d = 0. 3 mm , d = 3 a ,观察屏到衍射屏的距离 Z 依次为 0. 3 m ,0. 5 m ,1. 0 m ,2. 0 m ,可得到图 4 (a) ( d) 所示的三缝衍射光强分布图 。从图 4 可看出观察屏上的光强分布是 对称的 ,相邻主极大间有两个极小值 ,一个次极大值 ,并且第三级缺级 。而且当观察屏到衍射屏的距 离 Z 较小 ,如图 4 (a) Z = 0. 3 m 时 ,菲涅尔衍射的光 强极小值大于 0 ,并且极小值与次极大值几乎分辨不清 ,这也是菲涅尔衍射与夫琅和费衍射的显著区 别 。此后 ,随 Z

14、的逐渐增大 ,光强极小值接近于 0 ,当 Z 增大到 2. 0 m 时 ,整个强度分布曲线过渡到了 标准的三缝夫琅和费衍射图样 。3 . 2 四缝衍射同理 , 对菲涅尔四缝 ( N = 4) 衍射 , 仍然利用 方程 ( 1) , 采用分段积分 。可以得到观察屏上一点的观察 屏 接 收 到 不 同 的 衍 射 图 样 ( 如 图 5 (a) 、( b) ) ,此即菲涅尔衍射与夫琅和费衍射的主要区别 。此后 ,随 Z 的逐渐增大 , 相邻极小值光强差值 减小 ,光强极小值接近于 0 ,当 Z 增大到 3 . 6 m 时 , 整个强度分布曲线的包迹与单缝衍射强度分布曲 线形式一样 , 整个强度分布

15、曲线过渡到了标准的 四缝夫琅和费衍射图样 。由以上对 菲涅 尔三 缝 和四 缝 衍 射 的 分 析 可 知 , 只要对方程 ( 1) 根据积分范围采取适当的分2 推广到菲涅尔多缝衍射的光强计算 。若缝数到衍射屏的距离即将菲涅尔衍射过渡到夫琅和费N 为奇数 , 则振幅表达式为 :2( N21/ 2 d2a/ 2)衍射 , 得到的光强分布曲线也过渡到标准的夫琅和费光强分布曲线的形式 , 从而验证该光振动表 达式的正确性 。计算结果表明该光振动表达式不仅适用于计算菲涅尔单缝衍射的光强分布 , 也适 用于计算菲涅尔双缝以及多缝衍射的光强分布 ,并给出计算菲涅尔多缝衍射的光振动分布的具体 表达式 。研究

16、结果对于理解菲涅尔衍射现象具有 重要的理论参考意义 。ik ( x2x 0 ) 2ed x0+2 Z2( N21/ 2 d + a/ 2)ik ( x2x 0 ) 22( d2a/ 2)ed x0+2 Z2( d + a/ 2)2ik ( x2x 0 )1 e i kz23/ 4a/ 2) ()Ep=ed x0 +2 Z( 2a/ 2)zik ( x2x 0 ) 2( d + a/ 2)ed x0 +2 Z( d2a/ 2)( N21 d + a/ 2)ik ( x2x 0 ) 22ed x02 Z参考文献 :( N21 d2a/ 2)2( 5) 1 M . 波恩 , E. 沃耳夫 . 光学原

17、理 M . 北京 : 电子工业出版社 ,2005 .喻力华 ,赵维义 . 圆孔衍射光强分布的数值计算 J .大学物理 ,2001 .洪云 . Fre snel 圆 孔 衍 射 研 究 J . 西 华 师 范 大 学 学 报 ,2005 .孙景亭 . 菲涅耳圆孔衍射理论的探讨 J . 应用光学 ,1994 .张耀举 . 平面波经小圆孔非傍轴衍射的轴上光强解 析分析 J . 光子学报 ,2006 .王鹏 ,徐毓光 ,余勤跃 . 圆屏 ( 球) 和圆环菲涅耳衍射 的解析表达式 J . 光学学报 ,2000 .柴晓冬 ,韦穗 . 菲 涅耳衍射光场分布的数值 计算与 数字重构 J . 量子电子学报 ,2

18、003 .钱晓凡 ,胡涛 ,张晔 . 基于 MA TL AB 的衍射场模拟 计算 J . 昆明理工大学学报 (理工版) ,2004 .马建国 . 单缝菲涅耳衍射光强分布函数积分公式的讨论 J . 安徽机电学院学报 ,1998 .若缝数 N 为偶数 , 则振幅表达式为 :ik ( x2x 0 ) 2 2 2( N21/ 2 d2a/ 2)2( N21/ 2 d + a/ 2)ed x0 +2 Zik ( x2x 0 ) 2 3 2( 3 d/ 2 2a/ 2)ed x0 +2 Z2( 3 d/ 2 + a/ 2)ik ( x2x 0 ) 2 4 2( d/ 2 2a/ 2)ed x0+2 Z12

19、( d/ 2 + a/ 2)e i kz23/ 4()Ep=ik ( x2x 0 ) 2 5 ( d/ 2 + a/ 2)ezd x02 Z+( d/ 2 2a/ 2)ik ( x2x 0 ) 2( 3 d/ 2 + a/ 2) 6 ed x0 +2 Z( 3 d/ 2 - a/ 2)ik ( x2x 0 ) 2( N21/ 2 d + a/ 2) 7 ed x02 Z( N21/ 2 d2a/ 2)( 6) 8 4结束语 9 10 梁铨廷 ,孔宪炎 . 光学 M . 广州 :广东高等教育出版社 ,1999 .本文由菲涅 尔 2 基 尔霍 夫衍 射 积 分 公 式 出发 , 通过数值积分的方法

20、 , 计算菲涅尔单缝衍射的 光强分布 , 在改变接收屏幕到衍射屏的距离 Z 的Numerical Calculat ion of Fresnel Mult i2sl it Diff ract ionGU O Xiao2h ua , WA N G Zhi2jia n ,L IN G Wei2j u n( Tia nshui No r mal U niver sit y , Tia nshui 741001)Abstract : In t hi s p ap er , st a r ti ng f ro m t he Fre snel2 Ki rch hoff diff ractio n i nt

21、 egral fo r mula , t he Fre snelsi ngle2slit ,do u ble2slit a s well a s multi2slit diff ract ed li ght i nt e n sit y di st ri butio n wa s calculat ed t hro ugh numerical i nt egratio n a nd mappi ng o ut it s li ght i nt e n sit y di st ri b utio n cur ve . While t he sp ecific e xp re s2 sio n to calculat e t he light vi bratio n di st ri butio n of Fre snel multi2slit diff ractio n wa s al so p ro vi de d. The st udyi ng re sult i s of great t heo retical si gnifica nce to gra sp Fre snel diff ractio n .Key words : Fre snel diff ractio n ;co mp le x a mp lit ude ;li ght i nt e n sit y