《线性代数 西南交大出版社 许彪 谢巍 兰恒友.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 西南交大出版社 许彪 谢巍 兰恒友.doc（49页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、线性代数第一章习题答案A组一、 解：（1） （2） （3） （4）二、（1）解： （2）解： （3）解：（4）解：（5）解： （6）解： 3.解： 4.解： ，而的展开式中只有中含有项，又=，所以中含有的项为，则中的系数为-1.5.证明：（1） 证毕 （2） 证毕6. 解：（1）方程组的系数行列式 ， 而 则 （2）方程组的系数行列式 而 则 7.解：，齐次线性方程组有非零解，则，即 ，从而. 8.解：,齐次线性方程组有非零解时，即.B组 1. 解：因是方程的根，则，而，所以 2. 解：(1) (2)将行列式 加边，得新的行列式 ，则由范德蒙行列式知，其中的系数为将行列式按第五列展开，所以中的
2、余子式即为所求的行列式，则 (3) 将按第二列展开，得 (4) 行列式除对角线上以外，其他元素都相等，将第三列的-1倍分别加到其他各列，得 (5) 原式 (6)原式由范德蒙行列式知，所以所求行列式3证明： (1) 证毕. (2)将行列式按最后一行展开，则 证毕(3)将行列式按第一列展开，得 证毕. (4) 将行列式一行展开，得 又因为，则 .证毕4. 解：因，则该方程组系数行列式为 所以 即 .5.解： 则有2个根. 6. 证明：,且在连续，在可导，由定理知，必存在一点，使成立.证毕 习题二A组1. 设(1) 计算;(2) 若X满足,求X;(3) 若Y满足,求Y;解：（1）3A-B=-=。2A
3、+3B=+=。（2）因A+X=B，则X=B-A，即X=-=。（3）因为（2A-Y）+2（B-Y）=0，所以3Y=2A+2B，即Y=（A+B）=（+）=。2. 计算下列矩阵的乘积:(1);(2);(3);(4) ;(5);(6);(7)(为正整数);(8)设,求ABA;解：(1)；(2)；(3)；(4) (5)；(6)；(7) 令Dk=（k为正整数），则当k=2时，有：D2=；假设Dm=成立，则Dm+1=；故有=。(8)设,求ABA3. 举例说明下列命题是错误的(1)若,则;(2)若,则或;(3)若,则;【解】(1) 以三阶矩阵为例，取,但A0(2) 令,则A2=A,但A0且AE(3) 令则AX
4、=AY,但XY.4. 写出下列线性变换对应的线性变换矩阵,并写出到的线性变换矩阵5. 已知矩阵,其中,(2,1,2),求矩阵.解 ;6. 设A与B是两个n阶对称阵.证明(1) 当且仅当AB=BA时,AB也是对称阵;(2) 2A-3B也是对称阵,AB-BA是反对称阵;【证明】(1)已知AT=A,BT=B，若AB是对称阵，即(AB)T=AB.则 AB=(AB)T=BT AT=BA,反之，因AB=BA,则(AB)T=BT AT=BA=AB,所以，AB为对称阵.(2) 因为，所以2A-3B也是对称阵；又因为所以AB-BA是反对称阵;7. 设A为3阶方阵,且,求的值.解 8. 设A为3阶方阵, ,且,求
5、的值.解 因，且，则，反证法证明上述结论：若，则B可逆，存在,又因则，则,这与矛盾，故有，又，所以故9. 求下列矩阵的逆矩阵(1);(2);(3);(3)10. 解下列矩阵方程(1);(2);(3);(4);11. 设,求所有与A可交换的矩阵.【解】设与A可交换的方阵为,则由=,得.由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.12. 设三阶方阵A,B满足关系式,且求矩阵B.解：由得又所以13. 设矩阵A,B满足关系式,其中求矩阵B.【解】由AB=A+2B得(A-2E)B=A.而即A-2E可逆，故14. 设,其中求解 显然可逆，且由 得，而故.15.
6、设n阶方阵A的伴随阵为,证明:（1） 若,则;（2）【证明】（1） 若|A|=0，则必有|A*|=0，因若| A*|0，则有A*( A*)-1=E,由此又得A=AE=AA*( A*)-1=|A|( A*)-1=0,这与| A*|0是矛盾的，故当|A| =0，则必有| A*|=0.(2) 由A A*=|A|E，两边取行列式，得|A| A*|=|A|n,若|A|0，则| A*|=|A|n-1若|A|=0,由(1)知也有| A*|=|A|n-1.16. 利用初等行变换化下列矩阵为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.(1) ; (2) ;17. 利用初等变换求矩阵的秩(1);(2);(3);18. 利用初等变
7、换求逆矩阵(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;B组1. 设 且矩阵A满足方程 ,求A.2. 设 且 ,求X.3. 设A为三阶方阵,且,求行列式的值.4. 设A为n阶方阵,满足,且,求.5. 已知E+AB可逆,证明E+BA可逆,且.6. 设为一实数范围内的多项式,A为一n阶方阵,称为矩阵A的多项式.若,求.7. 已知n阶方阵,求中所有元素的代数余子式之和.8. 设,求.9. 讨论n阶方阵A的秩10. 设方阵B为满秩矩阵,证明R(BC)=R(C)11. 设且R(A)=3,求的值.12. 设4阶方阵A的秩为2,求的秩.13. 3阶实矩阵A满足,求(1) ;(2) 若,求X.14. 设的矩阵A
8、是秩为,求证A可以表示为个秩为1的矩阵之和.15. 设A为n阶级非零方阵,是A的伴随矩阵,当时,证明.第3章 习题答案A组1.2. , 故该向量组线性相关.故,因此该向量组线性无关.3. , 要使得向量组线性相关，需要，即.4. 证明：设存在数，使得,即有,因为线性无关，所以有,即,故线性无关.5.解：将向量组构成的矩阵作如下的初等行变换(1)要使线性相关，需要，即.(2)要使线性无关，需要，即.(3)当线性相关时，将进一步作初等行变换，化成行最简型矩阵，则可将用表示为.6.证明：因是一组维向量，故可由维单位坐标向量组线性表示，又已知可由线性表示，则向量组与等价，所以两向量组的秩相等，即有，则
9、向量组线性无关.7. 解：=+=+=+=+=,又因为,所以.8. 解：(1) 如向量组是线性相关的，其相关系数为,其中,则向量不能由其余向量线性表示.(2) 应该是线性相关, 如向量组与都是线性无关的，但是它们的分量对应相加后得到向量组是线性相关的.(3) 应该是线性无关, 如向量组是线性无关的，但是它们可以拆分成向量组和,是线性相关的.(4) 两组相关系数一般情况下是不同的. 如向量组和, 虽然两组向量组都是线性相关的,但是相关系数分别可以为2, -1和.9. 证明：设有, 使得,即,整理得,因线性无关, 则,可得, 即线性无关.10. 解：(1) ,故, 该向量组中任意两个向量构成的向量组
10、均为其极大无关组.(2) ,故, 该向量组中任意3个向量构成的向量组均为其极大无关组.(3)故, 该向量组中任意两个向量构成的向量组均为其极大无关组.11. 解：(1) 所以为其极大无关组, 将用极大无关组表示为.(2) ,所以为其极大无关组, 将用极大无关组表示为：.12. 证明：因为的秩为r, 则该向量组中的r个向量线性无关, 又中每个向量都能由线性表示, 由极大无关组的等价定义可知, 为向量组的一个极大线性无关组.13. 解：记, , 设, 因为组能由组线性表示, 则组与组合并而成的向量组能由组线性表示.而组是向量组的部分组, 故组总能由向量组线性表示, 所以组与组等价, 因此.又因,
11、故组的最大无关组含个向量, 因此组也是组的最大无关组, 从而组与组等价. 由组与组等价, 组与组等价, 推知组与组等价. 14. 解：,因为, 故, 即.故 且, 可得. 15. 解：该集合构成向量空间. 原因如下: 设, 则有 所以, , 因此该集合构成向量空间.16. 证明 设, 由 ,知, 故线性无关, 所以是三维空间的一组基, 因此由所生成的向量空间就是.17. 解：,因此, 可作为所生成向量空间基, 且该向量空间的维数为3.B组1. D 2.D 3.B 4. 解：因线性相关, 故存在不全为零的数使得 成立, 即 因此 ,由此可得.5. B6. 证明：设A的列向量中是其一个极大线性无关
12、组, 是B的列向量的一个极大线性无关组, 那么, A的每个列向量都可由线性表示, B的每个列向量都可由线性表示. 于是A+B的每个列向量都可由, 线性表示. 因此, A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于向量组,中的向量个数, 即.7. 【证法一】 构造齐次线性方程组, 对矩阵按列分块, 记=, 那么,于是, 从而的解向量的秩=, 所以, 即有【证法二】 设, 化为等价标准形, 即存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵, 使得 ,对分块, 记=, 是矩阵, 是矩阵, 则 .由于, 知, 那么 ,即8. 【证法一】(定义法, 同乘) 对矩阵按列分块, 记=, 若, 则用分块矩阵可以写成, 即.用矩阵
13、左乘上式, 并代入, 得. 所以的列向量线性无关. 【证法二】(用秩) 对于, 把与按列分块, 记作,其中是的第行, 的第个分量为1.用分块矩阵乘法, 易见 即可由线性表示. 同理, 也均可由线性表示.显然, 坐标向量可表示任意一个维向量. 于是与可以相互线性表示, 是等价的向量组, 有相同的秩. 所以=.所以的列向量组线性无关.【证法三】(用秩) 因为是矩阵, 且, 从矩阵秩的定义可知：. 又因 , 所以, 那么的列向量组的秩是, 即其线性无关.9. 证明：因为任意的维向量都可由维单位坐标向量线性表示, 又由题维单位坐标向量组可由向量组线性表示, 所以向量组与可以相互线性表示, 即有=, 故
14、向量组线性无关.10. 证明：因为线性无关, 所以存在不全为零的数, 使得,而且不全为零. 这是因为, 如若不然, 则, 由知, 矛盾. 因此处存在, 使得,于是,即能由线性表示.11. 证明 令, , 则有. 必要性：设向量组线性无关.由向量组线性无关及矩阵秩的性质, 有,及 .因此.充分性：因为, 所以存在可逆矩阵, 使为的标准形, 于是=.因为可逆, 所以, 从而线性无关.12. 证明 将已知关系写成,将上式记为. 因为,所以可逆, 故有. 由和可知向量组与向量组可相互线性表示. 因此向量组与向量组等价.13. 证明 记, , 根据定理3.5知, 而, 因此.注明：教材中第三章的习题有错
15、误，标明如下：1. B组题的第七题，少了条件.2. B组题的第10题最后一句话中的改为.3. B组题的第12题中，将原条件中的改为.4. B组题的第13题中等号改为小于等于号.习题4答案A组1. (1)无解；(2). ；(3). ; (4). 2. 解：时方程组有非零解。 当时，；当时，3. 解：(1) 当且时，方程组有唯一解; (2)当时，方程组无解；(3) 当时，方程组有无穷多解。4. 解：(1)方程组有唯一解；时，方程组有无穷多解。 (2)且时，方程组有无穷多解。5. 证：方程组的增广矩阵为：将前4行加到第5行，得：显然方程组有解得充分必要条件为：6. 解：(1) 向量不能由向量组表示既
16、线性方程组：无解，由此可知：且时，方程组无解。 (2). 向量能由向量组唯一表示既方程组有唯一解，由此可知，与唯一解。 (3). 向量能由向量组表示，且表示方法不唯一,既方程组有无穷多解，由此可知：且时，有无穷多解。7. (1). 写出方程组的系数矩阵，化为行最简矩阵：，由此可得一个基础解系：， (2). 写出方程组的系数矩阵，化为行最简矩阵：得同解方程组：，故有基础解系： (3). 写出方程组的系数矩阵，化为行最简矩阵：得同解方程组：，得一个基础解系： (4). 写出方程组的系数矩阵，化为行最简矩阵：得同解方程组：，得一个基础解系：，8. 解：设齐次线性方程组为，则也即系数矩阵的每一行为方程
17、组：的解。解此线性方程组，得基础解系：，故所求线性方程组为：。9. 解：(1). 方程组A基础解系为：，方程组B基础解系为：， (2). 方程组A与B的公共解为：，为任意常数。10. (1)解：将方程组的增广矩阵化为阶梯矩阵：可以看出，方程组无解。 (2)解：将方程组的增广矩阵化为阶梯矩阵：得同解方程组：，对应齐次方程组的解：，得基础解系：，原方程组的一个特解为：。所以原方程组通解为：。 (3)解：将方程组的增广矩阵化为阶梯矩阵：得同解方程组：，其对应的齐次方程组为：得基础解系：，原方程组一个特解为：，故原方程组所有解为：，其中为任意常数。 (4)解：将方程组的增广矩阵化为阶梯矩阵：得原方程组
18、对应齐次方程组的一个基础解系：原方程组一个特解为：，所以原方程组通解为:其中为任意常数。11. 解：设，代入条件，得到：解此线性方程组：得，所以，12. 解：四元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3，则在其有解的情形下，其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个非零的向量。因为有：所以为其对应的齐次线性方程组的一个基础解系。所以该方程组的通解为：，其中为任意常数。13解：(1)错误；(2)错误；(3)正确；(4)正确；(5)正确14 证明：因为是一个线性方程组的个解，所以，。则：所以也是该方程组的一个解。15. 证明：(1)假设有个数，使得：则有：因为是的一个基础解系，是非齐次线性方程组的一个解，所
19、以有：，因为不为零向量，所以所以有：，因为是的一个基础解系，所以，所以线性无关。 (2) 假设有个数，使得：整理得到：。因为由上一问得到线性无关，所以有：既：，所以线性无关。16. 证明：设有个向量：。因为是的线性无关的解，所以为的个解。容易证明，是线性无关的。所以由题上条件可知，是的一个基础解系。所以对于的任一解，可以表示为：整理得到：令，既有：，其中。B组1. 解：写出线性方程组的增广矩阵并化为阶梯型矩阵： 当且时，方程组有唯一解； 当且时，方程组无解； 当时，方程组有无穷多解，此时增广矩阵化为：故方程组的同解方程组为：，对应齐次线性方程组的基础解系为：，原方程组特解为：所以原方程组的通解
20、为：，其中为任意常数。2. 证明：只需证明方程组的任意个线性无关的解与基础解系等价即可。提示：假设是方程组的一个基础解系，是任意个线性无关的解。则可以由线性表出，即：必然满秩，所以，所以与等价，必然所有的解也可以由来表示，故它也是一个基础解系。3. B4. (1)解：写出线性方程组(I)的系数矩阵并化为行最简形：得基础解系：，所以线性方程组(I)的通解为：，其中，为任意常数。(2)解：可知齐次线性方程组(II)的系数矩阵的行向量为方程组：的解，解此线性方程组，得其基础解系：，所以齐次线性方程组(II)可以写为：将方程组(I)与方程组(II)联立：将其系数矩阵化为最简形阶梯矩阵为：可知将方程组(
21、I)与方程组(II)有公共解，其非零公共解可表示为：5. 证明：平面上三条直线相交于一点的充分必要条件是关于未知数的线性方程组：有唯一解，则有系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于未知数的个数，即：所以，线性无关，向量组线性相关。6. 解：方程组(I)的基础解系为：，则说明其系数矩阵的秩为。所以线性无关。而满足方程组(I)。因为方程组(II)的系数矩阵：的秩为n，故方程组(II)的基础解系含有n个线性无关的解向量。而线性无关，且满足方程组(II)，由此可以指出，即为方程组：(II) 的一个基础解系。7. 解：与等价时，也是的一个基础解系。由题中条件，有:即可以由线性表出。如果可逆，则也可以由线性表出
22、。此时也即是也是一个基础解系。计算行列式：所以，当时，与等价，此时也是的一个基础解系。8. 解：因为线性无关，所以四阶方阵的秩为3，所以所对应的齐次线性方程的基础解系含有一个非零向量。因为，即，所以为的解，也即是的一个基础解系。因为，所以为的一个解，故的通解为：，其中为任意常数。9. 解：四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩等于，所以基础解系含有一个非零的解向量。为三个解，且，则:为的一个基础解系，则的通解为：，其中为任意常数。10. (1)解：求满足的所有，写出方程组的增广矩阵并行最简化：得同解方程组：，对应齐次方程组的基础解系为：，原方程组特解为：，则满足的所有可以写为：，其中为任意常数。求
23、满足的所有，写出其增广矩阵并行最简化：得同解方程组：，其对应齐次方程组基础解系为：原方程组特解为：，则满足的所有可以写为：，其中为任意常数。(2)证明：对于一组数，若有：，则有：因为满足：，所以：即是齐次方程组：的解，经过计算：大家帮算哈看题目有没得问题答案（A组）1、2、103、为任意实数4、5、略6、1）是，2）不是7、1）， 2） 3）8、略9、10、1）6； 2）2,1，；3）-1,0,311、-6412、13、，14、15、16、1）不能，2）能，3）能17、1），2）18、19、不相似20、21、1）2）3）22、23、24、1）2)25、略26、1）,2)B组1、或者2、略3、略4、15735、略6、7、略8、9、