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1、7.3 线性变换和矩阵,一、内容分布 7.3.1 线性变换的矩阵 7.3.2 坐标变换 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵-相似矩阵 二、教学目的: 1熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵，以及给定n 阶矩阵和基，求出关于这个基的矩阵为的线性变换 2由向量关于给定基的坐标，求出()关于这个基的坐标 3已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出关于另一个基的矩阵. 三、重点难点: 线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换, 相似矩阵.,7.3.1 线性变换的矩阵,现在设V是数域F上一个n维向量空间，令是V的一个线性变换，取定V的一个基 令,设,n 阶矩阵A 叫做线
2、性变换关于基 的矩阵. 显然,A的第j 列就是(j)关于基 的坐标. 上面的表达常常写出更方便的形式:,(1),由此可知: 取定F上n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换，都有唯一确定的n阶矩阵A与之对应这样一来，从L(V)到Mn(F)必然存在着一个对应关系-映射，不妨记为,练习:教材P284-习题第1题,7.3.2 坐标变换,设V 是数域F上一个n 维向量空间, 是V 的一个基, 关于这个基的坐标是 而()的坐标是 问: 和 之间有什么关系呢?,设,因为是线性变换，所以,（2）,将（1）代入（2）得,最后，等式表明， 的坐标所组成的列是,综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：,定
3、理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，是V的一个线性变换，而关于V的一个基 的矩阵是,如果V中向量关于这个基的坐标是 ，而()的坐标是 ，,那么,例,例在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量 作为 的基.令是将 的每一向量旋转角的一个旋转. 是 的一个线性变换.我们有,所以关于基 的矩阵是,设 ，它关于基 的坐标是 ,而 的坐标是 .那么,例3 令是数域上一个n维向量空间， 是的一个位似，那么关于任意基的矩阵是 特别地，的单位变换关于任意基的矩阵是单位矩 阵；零变换关于任意基的矩阵是零矩阵,7.3.3 矩阵唯一确定线性变换,引理7.3.2 设V是数域F上一个n 维向量空间，
4、是V的一个基，那么对于V 中任意n个向量 ，有且仅有 V 的一个线性变换，使得:,我们证明，是V的一个线性变换。设,那么,于是,设 那么,这就证明了是V的一个线性变换。线性变换显然满足定理所要求的条件：,如果是V的一个线性变换，且,那么对于任意,从而 ,定理7.3.3 设V 是数域 F 上一个n 维向量空间， 是V 的一个基，对于V 的每一个线性变换，令关于基 的矩阵A与它对应，这样就得到V 的全体线性变换所成的集合 L（V）到F上全体n 阶矩阵所成的集合 的一个双射，并且如果 ,而 ， 则 (3) (4),证 设线性变换关于基 的矩阵是A。那么 是 的一个映射。,是F上任意一个n阶矩阵。令,
5、由引理7.3.2，存在唯一的 使,反过来，设,显然关于基 的矩阵就是A. 这就证明了如上建立的映射是 的双射.,设 我们有,由于是线性变换, 所以,因此,所以关于基 的矩阵就是AB。（7）式成立，至于（6）式成立，是显然的。,推论7.3.4 设数域F上n 维向量空间V 的一个线性变换关于V 的一个取定的基的矩阵是A，那么可逆必要且只要A可逆，并且 关于这个基的矩阵就是 .,我们需要对上面的定理7.3.1和定理7.3.3的深刻意义加以说明:,1. 取定n 维向量空间V的一个基之后, 在映射: 之下, (作为向量空间),研究一个抽象的线性变换, 就可以转化为研究一个具体的矩阵. 也就是说, 线性变
6、换就是矩阵.以后,可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换来研究矩阵.,2. 我们知道, 数域F上一个n 维向量空间V 同构于 , V上的线性变换,转化为 上一个具体的变换:,也就是说, 线性变换都具有上述形式.,引言： 一般地线性变换关于基的矩阵与基的选择有关,同一线性变换在V中的两个不同基下的矩阵一般不同. 为了利用矩阵研究线性变换，显然需要讨论线性变换在不同基下的矩阵间的关系。,引例：设 ，且 关于基 ， 的矩阵为 求关于基 的矩阵 分析:本题不能直接用定义做,因 的对应关系不清楚, 由定义是求B使 B， 又由题知 ，而 与 间的关系易得，因而可通过上述已知转化一下。,解：设 B，
7、 因 ，所以 其中 . 于是,所以,设线性变换关于基 的矩阵是 A , 关于基 的矩阵是 B , 由基 到基 的过渡矩阵T, 于是有:,定理7.3.5,7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵 相似矩阵,(1),(2),(3),由(3)得,比较两端,得,证明:,定义：设 A，B 是数域 F 上两个 n 阶矩阵. 如果存在F上一个 n 阶可逆矩阵 T 使等式成立，那么就说B与A相似，记作： .,n阶矩阵的相似关系具有下列性质：,1. 自反性：每一个n阶矩阵A都与它自己相似，因为 2. 对称性：如果 ，那么 ；因为由,事实上，由 得,因此: 线性变换在不同基下的矩阵是相似的. 反过来，一对相似矩阵可以是同一个线 性变换在不同基下的矩阵.(证明略-教材 P283P284),容易证明,NOTE: 这两个式子的作用在于方便运算,例4 设A、B都是n阶矩阵，且A可逆. 证明: ABBA.,问题：Th7.3.5说明， 关于V的不同基的矩阵是相似的；且所有彼此相似的矩阵可看成同一线性变换在不同基下的矩阵。这自然会提出问题： 满足什么条件下，可以并且如何选取V的基，使线性变换关于这个基的矩阵尽可能简单？或曰：方阵满足什么条件时，如何在彼此相似的矩阵中选取一个方阵，使得它最简单？这是因为简单方阵研究起来方便一些。后几节讨论，什么样的方阵与对角方阵相似，进而寻找可逆方T，对给定的方阵A，使得 为对角形。,