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1、全等三角形,2.5,如图是两组形状、大小完全相同的图形. 用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？,（1）,（2）,（1）,（2）,我发现它们可以完全重合,我们把能够完全重合的两个图形叫作全等图形.,如图，ABC分别通过平移、旋转、轴反射后得到 ，问ABC与 能完 全重合吗？,根据平移、旋转和轴反射的性质，可知分别通过上述三个变换后得到的 与ABC都可以完全重合，因此它们是全等图形.,能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.,全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应顶点，,互相重合的边叫作对应边，,互相重合的角叫作对应角.,例如，图（1）中的ABC和 全等，,其中
2、A与A，B与B，C与C是对应顶点；,记作： ABC .,AB与 ，BC与 ，CA与 是对应边；,A与A，B与B，C与C是对应角.,（1）,全等用符号“”表示，读作“全等于”.,在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.,全等三角形的对应边相等；,全等三角形的对应角相等.,我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：,例如，,举 例,例1 如图，已知ABCDCB，AB=3， DB=4，A=60.,（1）写出ABC和DCB的对应边和对应角； （2）求AC，DC的长及D的度数.,解（1）AB与DC，AC与DB，,BC与CB是对应边；,A与D
3、，ABC与DCB，,ACB与DBC是对应角., AC = DB = 4， DC = AB =3.,（2） AC与DB， AB与DC是全等三角形的对应边，,A与D是全等三角形的对应角，,D =A = 60.,如图，已知ADFCBE，AD=4，BE=3，AF=6，A=20，B=120.,（1）找出它们的所有对应边和对应角； （2）求ADF的周长及BEC的度数.,解（1）AF与CE，AD与CB，,DF与BE是对应边；,A与C，AFD与CEB，,D与B是对应角.,（2）ADF的周长是13，BEC=40.,两个三角形满足什么条件就能全等呢？,下面我们就来探讨这个问题.,每位同学在纸上的两个不同位置分别画
4、一个三角形，它的一个角为50，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm. 将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？,我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.,下面，我们从以下这几种情形来探讨这个猜测是否为真.,设在ABC和 中， ，,（1）ABC和 的位置关系如图.,将ABC作平移，使BC的像 与 重合，ABC在平移下的像为 .,由于平移不改变图形的形状和大小，因此ABC,因为 ，,所以线段AB与 重合，,因此点 与点 重合，,那么 与 重合，,所以 与 重合，,因此 ，,从而,（2）ABC和 的位置关系如图（顶点B 与顶点 重合）.,因为
5、，,将ABC作绕点B的旋转，旋转角等于 ，,所以线段BC的像与线段 重合.,因为 ，,所以,由于旋转不改变图形的形状和大小，,又因为 ，,所以在上述旋转下，BA的像与 重合，,从而AC的像就与 重合，,于是ABC的像就是,因此 ABC ,（3）ABC和 的位置关系如图.,根据情形（1），（2）的结论得,将ABC作平移，使顶点B的像 和顶点 重合，,因此,（4）ABC和 的位置关系如图.,将ABC作关于直线BC的轴反射，,ABC在轴反射下的像为,由于轴反射不改变图形的形状和大小，,因此 ABC ,根据情形（3）的结论得 ，,因此,由此得到判定两个三角形全等的基本事实：,两边及其夹角分别相等的两个
6、三角形全等.,通常可简写成“边角边”或“SAS”.,例2 已知：如图，AB和CD相交于O，且AO=BO， CO=DO. 求证：ACOBDO.,举 例, ACOBDO.（SAS）,1. 如图，将两根钢条AA和BB的中点O连在一起， 使钢条可以绕点O自由转动，就可做成测量工件内 槽宽度的工具（卡钳）.只要量出 的长，就得 出工件内槽的宽AB. 这是根据什么道理呢？,解 ABOABO，,AB= AB.,2. 如图，ADBC，AD=BC. 问：ADC和CBA 是全等三角形吗？为什么？,解 ADBC, ADCCBA.,DAC=BCA，,又 AD=BC，AC公共,3. 已知：如图，AB=AC，点E，F分别
7、是AC， AB的中点. 求证：BE=CF.,解 AB=AC, 且 E，F分别是 AC，AB中点，, ABEACF，,AF=AE，,又 A公共，, BE=CF.,如图，在ABC和 中，如果BC = ，B=B，C=C，你能通过平移、旋转和轴反射等变换使ABC的像与 重合吗？那么ABC与 全等吗？,类似于基本事实“SAS”的探究，同样地，我们可以通过平移、旋转和轴反射等变换使ABC的像与 重合，因此ABC ,由此得到判定两个三角形全等的基本事实：,两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.,通常可简写成“角边角”或“ASA”.,举 例,例3 已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上， ABDC，AB=
8、CD，B=D. 求证：ABECDF.,证明 ABDC，, A=C.,在ABE和CDF中，, ABECDF （ASA）.,例4 如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着和 AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一 根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D 点，使D，E，B恰好在一条直线上. 于是小军 说：“CD的长就是河的宽.”你能说出这个道理吗？,举 例,图3-35,B,E,C,D,A =C = 90，,AE = CE，,AEB =CED (对顶角相等), AEB CED.（ASA）, AB=CD .(全等三角形的对应边相等),因此，CD的长就是河的宽度.,1. 如图，工人师傅不小
9、心把一块三角形玻璃打碎 成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样 的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片 去. 请问应带哪块玻璃碎片去？为什么？,2. 已知：如图，ABC ，CF， 分别是ACB和 的平分线. 求证：,证明：,ABCABC，,A =A , ACB =ACB.,AC=AC,证明：, CF=CF.,又CF，CF分别是ACB和ACB的平分线，, ACF=ACF., ACFACF,如图，在ABC和 中，如果A=A， B= B， ，那么ABC和 全等吗？,根据三角形内角和定理，可将上述条件转化为满足“ASA”的条件，从而可以证明ABC,在ABC和 中，, A = A，B = B，, C
10、 =C.,又 ，B=B，, (ASA).,由此得到判定两个三角形全等的定理：,两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.,通常可简写成“角角边”或“AAS”.,例5 已知：如图，B=D，1=2， 求证：ABCADC.,举 例,证明 1 =2，,ACB=ACD（同角的补角相等）.,在ABC和ADC中，, ABCADC （AAS）.,例6 已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上， ACFD，A=D，BF=EC. 求证：ABCDEF.,举 例,证明 ACFD，,ACB =DFE., BF= EC，, BF+FC=EC+FC，,即 BC=EF .,在ABC 和DEF中，, ABCDEF
11、（AAS）.,1. 已知：如图，1=2，AD=AE. 求证：ADCAEB., ADCAEB（AAS）.,2. 已知：在ABC中，ABC =ACB， BDAC于点D，CEAB于点E. 求证：BD=CE.,证明 由题意可知BEC和BDC均为直角三角形，, 在RtBEC和RtCDB中，,ABC =ACB ，,BC = BC ，, RtBEC RtCDB（AAS）.,BEC =CDB=90 ，,如图，在ABC和 中，如果 ， ， ，那么ABC与 全等吗？,如果能够说明A=A，那么就可以由“边角边”得出ABC,将ABC作平移、旋转和轴反射等变换，使BC的像 与 重合，并使点A的像 与点 在 的两旁，AB
12、C在上述变换下的像为,由上述变换性质可知ABC ，,则 ，,连接, 1=2，3=4.,从而1+3=2+4，, ， ，,即,在 和 中，, （SAS）., ABC ,由此可以得到判定两个三角形全等的基本事实：,三边分别相等的两个三角形全等.,通常可简写成“边边边”或“SSS”.,举 例,例7 已知：如图，AB=CD ，BC=DA. 求证： B=D., ABC CDA. (SSS), B =D.,举 例,例8 已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E 在BC上，且AD=AE，BE=CD. 求证：ABDACE.,证明 BE = CD，, BE-DE = CD-DE.,即 BD = CE.,在AB
13、D和ACE中，, ABDACE （SSS）.,由“边边边”可知，只要三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.,三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.,如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都采用三角形结构，其道理就是运用三角形的稳定性.,1. 如图，已知AD=BC，AC=BD. 那么1与2相等吗？,答：相等. 因为 AD=BC， AC=BD， AB公共， 所以ABDBAC (SSS). 所以1 =2 (全等三角形对应角相等).,2. 如图，点A，C，B，D在同一条直线上， AC=BD，AE=CF，BE=DF. 求证：AECF，BED
14、F.,证明 AC=BD，, AC+BC=BD+BC ，,即 AB=CD .,所以 AECF，BEDF.,又 AE=CF，BE=DF，,所以 ABECDF (SSS). 所以 EAB =FCD, EBA =FDC (全等三角形对应角相等).,根据下列条件，分别画ABC和,（1） ， ， B=B= 45；,满足上述条件画出的ABC和 一定全等吗？由此你能得出什么结论？,满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.,（2） A=A= 80，B=B= 30， C=C=70.,满足上述条件画出的ABC和 一定全等吗？由此你能得出什么结论？,满足条
15、件的两个三角形不一定全等，由此得出：三角分别相等的两个三角形不一定全等.,举 例,例9 已知：如图，AC与BD相交于点O， 且AB= DC，AC = DB. 求证：A =D.,证明 连接BC.,在ABC和DCB中，, ABC DCB （SSS）., A =D.,举 例,例10 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道. 为估测这条隧道的长度（如图），需测出这 座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给 出什么好方法吗？,解 选择某一合适的地点O，,使得从O点能测出AO与BO的长度.,这样就构造出两个三角形.,连接AO并延长至A，使 ；,连接BO并延长至B，使 ，,连接 ，,O,A,B,在AOB和
16、中，, AOB （SAS）., AB =,因此只要测出 的长度就能得到这座山A，B间的距离.,1. 已知：如图，AB=AD，BC=DC. 求证：B =D.,证明 如图，连接AC.,所以 ACB ACD (SSS).,所以 B =D.,2. 如图，在ABC和DEC中，已知一些相等的边 或角（见下表），请再补充适当的条件，从而能 运用已学的判定方法来判定ABCDEC.,AB=DE,B=E,ACB=DCE,BC=EC,如图，在ABC与DEF中，已知条件AB=DE，还需添加两个条件才能使ABCDEF，不能添加的一组条件是（ ）. A.B=E，BC=EF B. BC=EF，AC=DF C. A=D，B=E D. A=D，BC=EF,例1,D,例2,如图4.2-2，ACB ，BCB=30，则ACA的度数为（ ）. A.20 B. 30 C. 35 D. 40,B,结 束,