2012高三文科立体几何练习题(辽宁适用).doc

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1、第 1 页 共 23 页 一、选择题 1、如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某1 几何体的三视图，则此几何体的体积为（ B ） ( )A6( )B9( )C()D 2、平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1， 球心 O 到平面 的距离为，则此球的体积为（ B ） 2 （A） （B）4 （C）4 （D）6 6363 3、已知正四棱柱中 ，为的中点，则直线 1111 ABCDABC D2AB 1 2 2CC E 1 CC 与平面的距离为 D 1 ACBED A B C D 2321 4、将正方形（如图 1 所示）截去两个三棱锥， 得到图 2 所示的几何体，则该几何的左视图为（ B ）

2、 A B C D 5、若一个几何体的三视图如图所示， 则此几何体的体积为 D A B.5 C.4 D. 11 2 9 2 6、某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为 C A. B. 7248 C. D. 3024 解：几何体是半球与圆锥叠加而成它的体积为 32 22 141 335330 233 V 7、设 是直线，a， 是两个不同的平面，l 下列命题正确的是（ B ） A. 若 a， ，则 a B. 若 a， ，则 allll C. 若 a， a，则 D. 若 a, a，则 llll 8、用一个边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢。现将半2 径为 1 的球体放

3、置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为（ ） A、 B、 C、 D、 21 2 31 2 51 2 51 2 第 2 页 共 23 页 9、下列命题正确的是（ C ） A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 10、设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1， 和且长为的棱与长为的棱异面，2aa2 则的取值范围是 Aa （A） （B） (0,2)(0, 3) （C）（D）(1,2)(1, 3)

4、 【解】： 2 22 1 () 22 BE ，BFBE，22ABBF， 11、一个几何体三视图如图所示，其中底面都是边长 为 2 的正方形，边上的点都是各边的中点， 则它的体积为（B ） A.6 B. C. D. 20 3 16 3 22 3 12、已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为 的正三角形，为球SABCOABC1SC 的直径，且；则此棱锥的体积为（ A ）O2SC ( )A 2 6 ( )B 3 6 ( )C 2 3 ()D 2 2 【解析】的外接圆的半径，点到面的距离,为球ABC 3 3 r OABC 22 6 3 dRrSC 的直径点到面的距离为 OSABC 2 6 2 3

5、 d 1132 62 2 33436 ABC VSd 另：排除,选 A. 13 2 36 ABC VSR ,B C D 13、某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是 D 主 主 主 主 主 主 主 主 主 第 3 页 共 23 页 14、已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 B A 8 3 B3 C 10 3 D6 15、一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等， 那么这个几何体不可以是 D A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱 16、若 , , ,a b c d 是空间四条直线 如果“ ,ac bc ad bd ”，则 D (A) /ab且/c

6、d (B) , , ,a b c d 中任意两条可能都不平行 (C) /ab或者/cd (D) , , ,a b c d 中至少有一对直线互相平行 17、某几何体的三视图如图所示， 它的体积为 C A12 B.45 C.57 D.81 【解析】该几何体的上部是一个圆锥， 下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得 57533-53 3 1 2222 圆柱圆锥 VVV 故选 C 18、如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形 且体积为，则该几何体的俯视图可以是 （ C ） 19、一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中 ABC 是边长为 2 的正三角形，俯视图的边界为正六边

7、形， 那么该几何体的侧(左)视图的面积为 C （A） （B）1 （C） （D） 2 2 1 2 3 20、下列命题中正确的是 D （A）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 （B）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 （C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面 第 4 页 共 23 页 21、某几何体的三视图如图所示，该几何体的 体积是（ ） （A）8 （B） （C）4 （D） 3 8 3 4 22、已知 m、n 是两条不同的直线， 、 是三个不同的平面，则下列命题正确的是( D ) A

8、若 ，则 B若 mn，m,n,则 C若，则 mnmn D若，则mnmn 23、已知一个空间几何体的三视图如右图所示， 其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成， 根据图中标出的尺寸，得这个几何体的表面积是 （ D ） A4 B. 7 C. 6 D. 5 24、l1，l2，l3是空间三条不同的直线， 则下列命题正确的是(B) Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l3l1l3 Cl1l2l3l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 25、右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于 C (A)346 5(B)66 54 3 (C) (D)176 566 54 13

9、 26、若直线 l 不平行于平面 ，且 l，则(B) A 内的所有直线与 l 异面 B 内不存在与 l 平行的直线 C 内存在唯一的直线与 l 平行 D 内的直线与 l 都相交 27、下列命题中错误的是(D) A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么 l平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 28、如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是 边长为 2 的 正三角形、俯视图为正方形，则其体积是( B ) A 3 24 B . 3 34 C. 6

10、 3 D . 3 8 29、一个空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的表面积为(C) A48 B328 17 C488 17 D80 30、某四面体的三视图如图所示， 俯视 图图 主视 图图 左视 图图 第 5 页 共 23 页 该四面体四个面的面积中最大的是(C) A8 B6 2 C10 D8 2 31、如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形， 侧视图(左视图)和俯视图都是矩形， 则该几何体的体积为(B) A6 B9 33 C12 D18 33 【解析】 由三视图知该几何体为棱柱， h，S底33，所以 V9. 22133 32、设右图是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为(B)

11、A. 12 B. 18 9 2 9 2 C942 D3618 33、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示， 则该几何体的左视图为（ D ） 34、如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为 BD1的中点， 则PAC 在该正方体各个面上的射影可能是(A) A B C D 35、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为(A) 36、某几何体的三视图如图所示，则它的体积为(A.) 第 6 页 共 23 页 A8 B8 2 3 3 C82 D. 2 3 37、若某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是（ D ） 38、若某几何体的三视图如图

12、下图所示，则这个几何体的直观图可以是(B) 39、某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ B ） 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+125555 【解析】，10 底 S10 后 S10 右 S56 左 S 因此该几何体表面积，5630 左右后底 SSSSS 40、已知球的直径 SC4，A、B 是该球球面上的两点，AB2， ASCBSC45，则棱锥 SABC 的体积为(C) A. B. C. D. 3 3 2 3 3 4 3 3 5 3 3 【解析】 如图 16，由于 SC 是球的直径，所以SACSBC90， 又ASCBS

13、C45，所以SAC、BSC 为等腰直角三角形， 取 SC 中点 D，连接 AD、BD.由此得 SCAD，SCBD， 第 7 页 共 23 页 即 SC平面 ABD.所以 VSABCVSABDVCABD SABDSC. 1 3 由于在等腰直角三角形SAC 中ASC45，SC4，所以 AD2.同理 BD2. 又 AB2，所以ABD 为正三角形， 所以 VSABC SABDSC 22sin604，所以选 C. 1 3 1 3 1 2 4 3 3 二：填空题 1、已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为_. 【答案】12 【解析】由三视图可知， 该几何体是由左右两个相同的圆柱 （底面圆半径为

14、 2，高为 1）与中间一个圆柱 （底面圆半径为 1，高为 4） 组合而成，故该几何体的体积是 . 22 21 21412V 2、一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 2， 3 它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形， 则这个矩形的面积是_2 3 【解析】 由俯视图知该正三棱柱的直观图为图 16，其中 M，N 是中点， 矩形 MNC1C 为左视图由于体积为 2，所以设棱长为 a， 3 则 a2sin60a2，解得 a2.所以 CM， 1 233 故矩形 MNC1C 面积为 2. 3 3、一个几何体的三视图如图 15 所示(单位：m)， 则该几何体的体积为_ m3. 6 【解析】V3

15、21 136. 1 3 4、已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上， 且 AB6，BC2，则棱锥 OABCD 的体积为_8 33 【解析】 如图，由题意知，截面圆的直径为4， 62侧2 3侧2483 第 8 页 共 23 页 所以四棱锥的高2， |OO1|OA2O1A21612 所以其体积 V S矩形 ABCD 6228. 1 3|OO1| 1 333 5、如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱 当圆柱的侧面积最大时， 球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_32 解：令圆柱的高为 h，底面半径为 r，侧面积为 S， 球半径 R4，则 2r2R2，即 h2 . ( h 2)

16、R2r2 因为 S2rh4r442R2， R2r2r2侧R2r2侧 ( r2R2r2 2 )2 取等号时，内接圆柱底面半径为 R，高为R， 2 22 S球S圆柱4R22R22R232. 6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_. 【答案】12+ 【解析】几何体为一个长方体和一个等高的 圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高 分别为 4、3、1，圆柱的底面直径为 2， 高位 1，所以该几何体的体积为 3 4 11 112 7、已知点 P，A，B，C，D 是球 O 表面上的点，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2正方形。3 若 PA=2,则OAB 的面积为_.63 3 【解

17、析】点PABCDO、为球内接长方体的顶点， 1 4 O OAB 球心为该长方体对角线的中点， 的面积是该长方体对角面面积的， 1 4 O OAB 球心为该长方体对角线的中点， 的面积是该长方体对角面面积的， 1 2 3,2 66=2 36=3 3 4 ABPAPBOABD，面积 8、一个几何体的三视图如图所示（单位：m）, 则该几何体的体积 . 3 m 【答案】30 【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体， 上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。 长方体的体积为24243， 五棱柱的体积是641 2 )21 ( ， 所以几何体的总体积为30。 第 9 页 共 23 页 9、一个几何体的三视图

18、如图所示， 则该几何体的表面积为_38_。 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中 间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、 高分别为 4、3、1，圆柱的底面直径为 2，所以该 几何体的表面积为长方体的表面积加圆 柱的侧面积再减去圆柱的底面积， 即为2(3 44 1 3 1)21 1238 10、如图，正方体的棱长为 1， 1111 ABCDABC D 分别为线段上的点，,E F 11 ,AA BC 则三棱锥的体积为_. 1 DEDF 6 1 【解析】法一：点在线段上，所以，E 1 AA 2 1 11 2 1 1 DED S 又因为点在线段上，FCB1 所以点到平面的距离为 1,即，

19、所以F 1 DED1h . 6 1 1 2 1 3 1 3 1 111 hSVV DEDDEDFEDFD 法二：使用特殊点的位置进行求解，不失一般性令点在点处，点在点处，则EAFC 。 6 1 111 2 1 3 1 3 1 1 11 DDSVV ADCADCDEDFD 11、一个几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 【答案】 3 3 12、已知一个几何体的三视图及其长度如图所示， 则该几何体的体积为 . 【答案】 2 1 第 10 页 共 23 页 13、已知正三棱锥ABC，点 P，A，B，C 都在半径为的求面上，若 PA，PB，PC 两两互相P3 垂直，则球心到截面 ABC 的距离

20、为_。 3 3 【解析】球心为正方体对角线的中点。球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥ABCP 在面 ABC 上的高。已知球的半径为，所以正方体的棱长为 2，3 可求得正三棱锥ABC 在面 ABC 上的高为，P 2 3 3 所以球心到截面 ABC 的距离为 2 33 3 33 14、若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 。2 3 3 【解析】因为半圆面的面积为，所以，即，即圆锥的母线为，底面2 2 1 2 l4 2 l2l2l 圆的周长，所以圆锥的底面半径，所以圆锥的高，所以圆22 lr1r3 22 rlh 锥的体积为。 3 3 3 3 1 3 1 3 hr 1

21、5、一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ， 则该几何体的体积为_m3. 918 【解析】根据三视图可知，这是一个上面为长方体，下面有两 个直径为 3 的球构成的组合体，两个球的体积为 ，长方体的体积为，9) 2 3 ( 3 4 2 3 18631 所以该几何体的体积为。918 16、若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示， 则此几何体的体积等于_ 【答案】 3 3 212 cm 3 1 36 3 22 3 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 第 11 页 共 23 页 A1 C1 B1 B C A D 第 第 11第 第 17、如图，在正三棱柱 111 CBAABC 中，D 为棱 1 A

22、A的中点，若截面DBC1是面积为 6 的直角 三角形，则此三棱柱的体积为 . 答案答案 38 三：解答题 1、 如图，长方体中，底面是正方形， 1111 DCBAABCD 1111 DCBA 是的中点，是棱上任意一点。OBDE 1 AA （）证明： ；BD 1 EC （）如果=2，=，,，求 的长。ABAE2 1 ECOE 1 AA 【解析】 （I）连接AC， 11 / /, ,AECCE A C C共面 长方体 1111 DCBAABCD 中，底面 1111 DCBA是正方形 ,ACBD EABD ACEAABD面 1 EACC 1 BDEC （）在矩形 11 ACC A中， 111 OEE

23、COAEEAC : 得： 111 1 1 22 3 2 22 2 ACAAAE AA AOEA 2、如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC= AA1，D 是 AA1的中 1 2 点 ()证明：平面 BDC1平面 BDC （）平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【解析】 （）由题设知 BC 1 CC,BCAC， 1 CCACC, BC 面 11 ACC A, 又 1 DC 面 11 ACC A， 1 DCBC, 由题设知 0 11 45ADCADC , 1 CDC= 0 90, 即 1 DCDC, B1 C B A D C1 A1 第 12

24、页 共 23 页 又DCBCC, 1 DC面BDC, 1 DC面 1 BDC，面BDC面 1 BDC； （）设棱锥 1 BDACC的体积为 1 V，AC=1，由题意得， 1 V= 112 1 1 32 = 1 2 ， 由三棱柱 111 ABCABC的体积V=1， 11 ():VVV=1:1， 平面 1 BDC分此棱柱为两部分体积之比为 1:1. 3、 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD， 底面 ABCD 是等腰梯形，ADBC，ACBD. （）证明：BDPC； （）若 AD=4，BC=2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30， 求四棱锥 P-ABCD 的体积. 解：（）

25、因为,.PAABCD BDABCDPABD平面平面所以 又是平面 PAC 内的两条相较直线，,ACBD PA AC 所以 BD平面 PAC，而平面 PAC，所以.PC BDPC （）设 AC 和 BD 相交于点 O，连接 PO，由（）知，BD平面 PAC， 所以是直线 PD 和平面 PAC 所成的角，从而.DPODPO30 由 BD平面 PAC，平面 PAC，知.PO BDPO 在中，由，得 PD=2OD.RtPOD:DPO30 因为四边形 ABCD 为等腰梯形，所以均为等腰直角三角形，ACBD,AODBOC: 从而梯形 ABCD 的高为于是梯形 ABCD 面积 111 (42)3, 222

26、ADBC 1 (42) 39. 2 S 在等腰三角形中， 2 ,2 2, 2 ODAD 所以 22 24 2,4.PDODPAPDAD 故四棱锥的体积为.PABCD 11 9 412 33 VSPA 4、如图，几何体是四棱锥，为正三角形，.EABCDABD,CBCD ECBD ()求证：；BEDE ()若，M 为线段 AE 的中点，120BCD 求证：平面.DMBEC 【答案】(I)设中点为 O，连接 OC，OE，BD 则由知 ，BCCDCOBD 又已知，所以平面 OCE.CEBDBD 所以，即 OE 是 BD 的垂直平分线，BDOE 所以.BEDE 第 13 页 共 23 页 (II)取 A

27、B 中点 N，连接，,MN DN M 是 AE 的中点，是等边三角形，.MNBEABDDNAB 由BCD120知，CBD30，所以ABC60+3090，即，BCAB 所以 NDBC， 所以平面 MND平面 BEC，故 DM平面 BEC. 4、 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是 正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1-ABCD， 上部是一个底面与四棱台的上底面重合， 侧面是全等的矩形的四棱柱 ABCD-A2B2C2D2。 证明：直线 B1D1平面 ACC2A2； 现需要对该零部件表面进行防腐处理， 已知 AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=1

28、3（单位：厘米） ， 每平方厘米的加工处理费为 0.20 元，需加工处理费多少元？ 解：（）因为四棱柱 2222 ABCDA B C D的侧面是全等的矩形， 所以 2 AAAB， 2 AAAD. 又因为ABADA， 所以 2 AA 平面 ABCD. 连接 BD，因为BD 平面 ABCD，所以 2 AABD. 因为底面 ABCD 是正方形，所以ACBD. 根据棱台的定义可知，BD 与 B1 D1共面. 又已知平面 ABCD平面 1111 ABC D ，且平面 11 BB D D平面ABCDBD， 平面 11 BB D D 平面 111111 ABC DB D，所以 B1 D1BD. 于是 由 2

29、 AABD，ACBD，B1 D1BD，可得 211 AAB D， 11 ACB D. 又因为 2 AAACA，所以 11 B D 平面 22 ACC A . （）因为四棱柱 2222 ABCDA B C D的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以 222 1222 ()4104 10301300 (cm )SSSA BAB AA 四棱柱上底面四棱柱侧面 . 又因为四棱台 1111 ABC DABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形， 所以 2 21111 1 ()4 2 SSSABABAB h 四棱台下底面四棱台侧面等腰梯形的高 () 2222 11 204(1020) 13 (20

30、10)1120 (cm ) 22 . 于是该实心零部件的表面积为 2 12 130011202420 (cm )SSS， 故所需加工处理费为0.20.22420484S （元）. 5、如图所示，在四棱锥中，平面，是的PABCDAB PAD/ABCDPDADEPB 中点，是上的点且，为中边上的高.FCD 1 2 DFABPHPADAD （1）证明：平面；PH ABCD （2）若，求三棱锥的体积；1PH 2AD 1FC EBCF （3）证明：平面.EF PAB 【解析】 （1）证明：因为平面，AB PAD 所以。PHAB 因为为中边上的高，PHPADAD 所以。PHAD 第 14 页 共 23 页

31、 因为，ABADA 所以平面。PH ABCD （2）连结，取中点，连结。BHBHGEG 因为是的中点， 所以。EPB/EGPH 因为平面，所以平面。PH ABCDEG ABCD 则， 。 11 22 EGPH 11 1 33 2 E BCFBCF VSEGFC AD EG 2 12 （3）证明：取中点，连结，。PAMMDME 因为是的中点，所以。EPB 1 / 2 MEAB 因为，所以，所以四边形是平行四边形， 1 / 2 DFAB /MEDF MEDF 所以。因为， 所以。/EFMDPDADMDPA 因为平面， 所以。AB PADMDAB 因为，所以平面，所以平面。PAABAMD PABEF

32、 PAB 6、如图 1，在 RtABC 中，C=90，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点， 将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1FCD，如图 2。 求证：DE平面 A1CB； 求证：A1FBE； 线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C平面 DEQ？ 说明理由。 解：（1）因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点， 所以 DEBC.又因为 DE平面 A1CB,所以 DE平面 A1CB. （2）由已知得 ACBC 且 DEBC,所以 DEAC. 所以 DEA1D,DECD.所以 DE平面 A1DC. 而 A1F 平面 A1DC, 所以 DEA1F

33、.又因为 A1FCD,所以 A1F平面 BCDE.所以 A1FBE （3）线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C平面 DEQ.理由如下：如图， 分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQBC. 又因为 DEBC,所以 DEPQ.所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由（2）知 DE平面 A1DC,所以 DEA1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点， 所以 A1CDP,所以 A1C平面 DEP,从而 A1C平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C平面 DEQ. 7、直三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB=A A1 ， =CAB 2 （）证明;

34、11 BACB （）已知 AB=2，BC=，求三棱锥的体积5 11 CAAB 【解析】 （）如图，连结 1 AB, 第 15 页 共 23 页 111 ABCABC是直三棱柱， CAB= 2 ， AC平面 11 ABB A,故 1 ACBA 又 1 ABAA，四边形 11 ABB A是正方形， 11 BAAB，又 1 CAABA， 1 BA 平面 1 CAB，故 11 CBBA （） 1 2ABAA，5BC ， 11 1ACAC 由（）知， 11 AC平面 1 ABA， 11 1 3 CABA V S 1 ABA 11 AC= 12 2 1 33 8、如图，直三棱柱，AA=1，点 M，N 分别

35、为 / ABCA B C90BAC 2,ABAC 和的中点。 / A B / B C ()证明：平面; MN / A ACC ()求三棱锥的体积。 / AMNC （椎体体积公式 V=Sh,其中 S 为地面面积，h 为高） 1 3 【解析】 （1） （法一）连结,AB AC，由已知=90 ,=BACAB AC 三棱柱- ABC ABC为直三棱柱， 所以M为AB中点.又因为N为 BC中点 所以/MN AC，又MN 平面AACC AC 平面AACC，因此/MNAACC平面 6 分 （法二）取A B 的中点为 P，连结 MP，NP， ,M N分别为 / A B和 / B C的中点， MP AA ,NP

36、A C , MP面A ACC,NP面A ACC, MPNPP, 面 MPN面A ACC， MN面A ACC， MN面A ACC. ()（解法一）连结 BN，由题意A NB C ,面A B C 面B BCC=B C , A N面 NBC， A N= 1 2 B C =1, 111 226 AMNCNA MCNA BCANBC VVVV . (解法 2) 111 226 AMNCANBCMNBCANBC VVVV 9、如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点 不同于 111 ABCABC 1111 ABACDE， 1 BCCC，D 第 16 页 共 23 页 点） ，且为的中点CADDEF， 11

37、BC 求证：（1）平面平面；ADE 11 BCC B （2）直线平面 1 /AFADE 【答案】证明：（1）是直三棱柱， 111 ABCABC 平面。 1 CC ABC 又平面，。AD ABC 1 CCAD 又平面，平面。 1 ADDECCDE， 111 BCC BCCDEE，AD 11 BCC B 又平面，平面平面。AD ADEADE 11 BCC B （2），为的中点，。 1111 ABACF 11 BC 111 AFBC 又平面，且平面，。 1 CC 111 ABC 1 AF 111 ABC 11 CCAF 又平面，平面。 111 CCBC ， 11 BCC B 1111 CCBCC 1

38、 AF 111 ABC 由（1）知，平面，。AD 11 BCC B 1 AFAD 又平面平面，直线平面AD 1 , ADEAF ADE 1 /AFADE 10、如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M 为棱 DD1上的一点。 （1）求三棱锥 A-MCC1的体积； （2）当 A1M+MC 取得最小值时，求证：B1M平面 MAC。 解答：（I）点A到面 1 MCC的距离为1AD 得：三棱锥 1 MCCA的体积 1 1 1111 3323 MCC VSADCCCDAD （II）将矩形 11 DDC C饶 1 DD按逆时针旋转90展开，与矩形 11 DD A A共面

39、 11 AMMCAC，当且仅当点M是棱 1 DD的中点时，MCMA 1 取得最小值 在 1 MB A中， 222 1111111 2,5,3MAABMBBCC DD M 得： 222 111 ABMAMBMAMB 同理： 11 ,MCMB MCMAMB M面MAC 11、如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，E，F 是线段 AB 上的两点，且 DEAB，CFAB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.现将ADE，CFB 分别沿 DE，CF 折起，2 使 A，B 两点重合与点 G，得到多面体 CDEFG. 第 17 页 共 23 页 求证：平面 DEG平面 CFG； 求多面体 CDEFG 的

40、体积。 【解析】 （1）由已知可得 AE=3，BF=4， 则折叠完后 EG=3，GF=4，又因为 EF=5， 所以可得EGGF 又因为CFEGF 底面,可得CFEG，即EGCFG 面所以平面 DEG平面 CFG. 过 G 作 GO 垂直于 EF，GO 即为四棱锥 G-EFCD 的高，所以所求体积为 1112 5 520 335 DECF SGO 正方形 12、如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互 相垂直，90ADE ， DEAF /，22AFDADE. 求证：/AC平面BEF； 求四面体BDEF的体积. ()证明：设ACBDO，取BE中点G， 连结OGFG,，所以，OG / 1

41、 2 DE. 因为DEAF /，AFDE2，所以AF / OG， 从而四边形AFGO是平行四边形，AOFG/. 因为FG 平面BEF,AO 平面BEF, 所以/AO平面BEF，即/AC平面BEF. （）解：因为平面ABCD平面ADEF，ABAD, 所以AB 平面ADEF. 因为DEAF /,90ADE , 22AFDADE， 所以DEF的面积为 1 2 2 EDAD， 所以四面体BDEF的体积 ABS DEF 3 14 3 . 13、如图，矩形中，平面，为上的点，且平面.ABCDAD ABE,AEEBBC FCEBF ACE （1）求证：平面；AE BCE （2）求证：平面.AEBFD 【答案

42、】解：（1）证明：平面，AD ABEADBC 平面，则BCABEAEBC 又平面，则BF ACEAEBF 平面 AEBCE （2）证明：依题意可知：是中点GAC 平面，则，BF ACECEBF 而是中点在中， BCBEFECAECFGAE 又 AEBFD FGBFDAE 平平 平平BFD平平 AB C D F E AB C G F E D O 第 18 页 共 23 页 14、 如图 ABEDFC 为多面体，平面 ABED 与平面 ACFD 垂直， 点 O 在线段 AD 上，OA1，OD2， OAB，OAC，ODE，ODF 都是正三角形 (1)证明直线 BCEF； (2)求棱锥 FOBED 的

43、体积 【解答】 (1)证明：设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点， 由于OAB 与ODE 都是正三角形，OA1，OD2， 所以 OB 綊 DE，OGOD2. 1 2 同理，设 G是线段 DA 与 FC 延长线的交点，有 OC 綊 DF，OGOD2，又由于 G 和 G都 1 2 在线段 DA 的延长线上，所以 G 与 G重合 在GED 和GFD 中，由 OB 綊 DE 和 OC 綊 DF， 1 2 1 2 可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的中点 所以 BC 是GEF 的中位线，故 BCEF. (2)由 OB1，OE2，EOB60，知 SEOB. 3 2 而OED 是边长为 2

44、的正三角形，故 SOED. 3 所以 SOBEDSEOBSOED. 3 3 2 过点 F 作 FQDG，交 DG 于点 Q，由平面 ABED平面 ACFD 知，FQ 就是四棱锥 FOBED 的高，且 FQ，所以 VFOBED FQS四边形 OBED . 3 1 3 3 2 15、如图，在四面体 PABC 中，PCAB，PABC， 点 D，E，F，G 分别是棱 AP，AC，BC，PB 的中点 (1)求证：DE平面 BCP； (2)求证：四边形 DEFG 为矩形； (3)是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？ 说明理由 解：(1)证明：因为 D，E 分别为 AP，AC 的中点

45、，所以 DEPC. 又因为 DE平面 BCP，PC平面 BCP，所以 DE平面 BCP. (2)因为 D、E、F、G 分别为 AP、AC、BC、PB 的中点， 所以 DEPCFG，DGABEF， 所以四边形 DEFG 为平行四边形 又因为 PCAB，所以 DEDG，所以平行四边形 DEFG 为矩形 (3)存 在点 Q 满足条件，理由如下： 连接 DF，EG，设 Q 为 EG 的中点 由(2)知，DFEGQ，且 QDQEQFQG EG. 1 2 分别取 PC、AB 的中点 M，N，连接 ME、EN、NG、MG、MN. 与(2)同理，可证四边形 MENG 为矩形，其对角线交点为 EG 的中点 Q，

46、 且 QMQN EG，所以 Q 为满足条件的点 1 2 16、如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD， ABAD，BAD60，E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证：(1)直线 EF平面 PCD；(2)平面 BEF平面 PAD. 解：证明：(1)在PAD 中，因为 E，F 分别为 AP，AD 的中点， 所以 EFPD.又因为 EF平面 PCD，PD平面 PCD， 第 19 页 共 23 页 所以直线 EF平面 PCD. (2)连结 BD，因为 ABAD，BAD60， 所以ABD 为正三角形，因为 F 是 AD 的中点，所以 BFAD. 因为平面 PAD平面 ABCD，BF

47、平面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCDAD，所以 BF平面 PAD. 又因为 BF平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD. 17、如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， DAB60，AB2AD，PD底面 ABCD. (1)证明：PABD； (2)设 PDAD1，求棱锥 DPBC 的高 解：(1)证明：因为DAB60，AB2AD， 由余弦定理得 BDAD， 3 从而 BD2AD2AB2，故 BDAD. 又 PD底面 ABCD，可得 BDPD， 所以 BD平面 PAD，故 PABD. (2)如图，作 DEPB，垂足为 E.已知 PD底面 ABCD，则 PDBC. 由(1)知 BDAD，又 BCAD，所以 BCBD. 故 BC平面 PBD，BCDE. 则 DE平面 PBC. 由题设知 PD1，则 BD，PB2. 3 根据 DEPBPDBD 得 DE. 3 2 即棱锥 DPBC 的高为. 3 2 18、如图，在ABC 中，ABC45，BAC90， AD 是 BC 上的高，沿 AD 把AB