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1、奖学金评定问题第七届大学生数学建模竞赛2013.05.17-2013.05.22主办： 东南大学教务处承办： 东南大学数学系 东南大学数学建模竞赛组委会论文选题及题目：2013校赛A题-奖学金评定问题参赛队员信息：队员1队员2队员3姓名院系手机email奖学金评定问题摘要：本文针对在学校中常见的奖学金评定问题，运用加权法、灰关联聚类法、截断矩阵法、几何模型分析法、加权综合法共五种方法给出综合排名前12名的学生名单以及排名次序，并且对每种方法进行比较，给出最终的奖学金获奖名单。加权法是利用加权思想对不同性质课程，不同学分课程进行了加权处理得出排名；灰关联聚类分析方法是为主较为合理的确定出权重的分
2、配问题并得出结果；几何模型分析法是一种创新方法，将综合成绩效益转化为四面体体积，比较体积大小得出排；截断矩阵法利用模糊算法将学生成绩的主观因数降低利用matlab计算学生矩阵关系从而得到排名；加权综合法利用标准化思想综合前四组数据运用spss进行了因子分析法得到排名。观察结果可以发现，最终确定的奖学金名单真实地反映了学生的综合成绩，是非常合理的。关键词： 成绩排名 加权法 灰关联聚类分析法 几何法 模糊算法 因子化一、 问题重述几乎学校的每个院系每年都会评定学生奖学金。设立奖学金的目的是鼓励学生学习期间德智体全面发展。其中，年度的学习成绩是奖学金评定的主要依据之一，因此，如何根据学生本年度的各
3、门课成绩来合理衡量学生很有必要。奖学金是对在校大学生学习、工作等方面情况的综合奖励，其目的是为了社会造就更多的人才。目前高校奖学金的评定方法主要是学校或学院结合自身情况进行设定的，其制度与方案都还可能存在不健全和不完善的地方。本文对105名学生全年的学习成绩通过分析课程性质、学时、学分、成绩等因素，提出五种关于评定学生的合理方法，选出排名在前10%的学生。二、 模型假设1）候选人评定仅以本年度课程成绩为唯一依据进行评定，不考虑其他因素，如学生工 作，获奖等加分体系。2）学生所取得的成绩均为自己合理方式所取得的实际成绩。3） 每位学生都参与到奖学金评定过程中。4） 成功选取到的候选人不应有基础课
4、、专业课及必选课有不及格成绩的学生，否则剔 除其名额，由下一名补上。5） 选修课参与学生排名，但占权重较其他课程轻。三、 模型分析与求解1.原始数据表格的初始处理鉴于选修课、人文课评分标准不同于其他必修科目，且涉及是否选修的问题，采用将特殊一般化的思路。将A记90分，B记80，C记70，D（不及格）因情节较为严重，记0分。另外约定，在最终评奖候选人名单中，若某学生基础课、专业课及必选课中有成绩低于60分的，将取消其评奖资格，取其后位补齐。对部分学生未选选修及人文课程的问题，采用填充法处理使其统一化，填充备选方法有： EM算法，均值替换法。考虑到课程属性及学分造成的各门学科权值不同问题，涉及横向
5、比较预测的EM算法不合理，故采用平均值法填充，即将已选该门课程学生的成绩平均值，作为未选择该门学生该课程的成绩，对填充后表格做矩阵，记Sij。2数据分析处理方法2.1加权法加权法基本思路是将各学生各门原始成绩乘上该门成绩权重，得到其该门成绩评分，最后将该生各门成绩相加得到该生总评分，通过总评分高低比较进行排名。其步骤如下：数据进一步处理试考虑如下情况。若某门课程A因考试题目极端困难，导致均分在20分左右，其余课程极端简单，均分在90分左右。若用传统加权法进行加权分析，课程A对总分的贡献度将难以体现。因此，我们尝试对加权法进行改进。对经初始处理后的成绩矩阵Sij(i表示课程检索下标，j表示学生检
6、索下标，因所占篇幅较大，不予列出)，进一步做无量纲化处理，即对每一学生某门成绩，除以该门成绩最高分，作为其成绩评定办法，如下公式：Sij=sijmaxSi得到统一测度和归一后矩阵S。数据经此步骤处理，弱化了因考试题目难易程度不同而使各门成绩差异较大对权重造成的影响，使模型更为准确。权重矩阵的产生每门课程权重由课程属性，学时，学分共同影响。经分析，学分与学时成正相关且耦合程度较大，故只将学分计入影响权重因素，足以代表学时与学分的共同影响。对课程属性因素，为便于计算，将课程属性根据其重要程度进行量化。课程与属性值p对应关系如表1：表1 课程属性与数值对应关系课程属性基础课专业课必选课任选课人文课属
7、性对应值p10.80.80.250.25得课程属性值矩阵P= 1，1，1，1，1，1，0.8，0.8，0.8，0.8，0.8，0.8，0.8，0.8，0.8，0.25，0.25，0.25，0.25，0.25，0.25又由原始数据表格，学分矩阵Q=3.5，3，3，3，3，2，2，2，3，3，3，3，3，3，3,2.5，3，3，3，2，2权矩阵W计算公式及结果W=PQT=3.5，3，3，3，3，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，0.625，0.75，0.75，0.75，0.5，0.5计算最终评分并排序加权平均后得到最终成绩矩阵S=SW(i=1i=21W
8、)j号学生总评即为该生在S中各门课程评分的总和，以矩阵形式表示，总评矩阵A满足Aj=i=1i=15Sj对A中各元素从高到低排序，即得学生排名如表2表2 加权法学生排名排名123456789101112学号70 30 2 84 86 50 20 75 79 51 94 60 由前文约定，将基础课、专业课及必选课有不及格成绩的学生剔除，则该法最终排名见表11。2.2灰关联聚类分析法本方法沿用加权法中符号及其意义。构造最高分矩阵M，其元素值为各课程最高分值,M满足Mi=max（si）对S，以M为参考序列，Sj（0jS乙，从而使得甲的排名相对更靠前。可见，和普通排名算法相比，二维模型排名算法，充分利用
9、了考核对象各项指标的平均程度信息。在成绩总和相差较大的情况下，总成绩越高，排名越靠前；在成绩总和相近的情况下，课程成绩越平均，名次越靠前，能够起到很好的排名效果，鼓励学生全面发展。图3 三维几何法下模型图当排名的课程有四种的的时候，首先考虑四种成绩放在一个二维平面内，两两之间相互垂直组成一个平面四边形，用它的面积来表示所得分数的大小，但是这种算法掺加了人为因素，即四种成绩不同的排列方式计算出来的面积不一样，其原因是各条边之间的夹角是人为引入的，使得各项指标之间的相互作用关系的程度不同，缺乏客观性、合理性。考虑把它们组成一个三维图形，其结构类似于CH4分子形状,即为一三棱锥。将上述的四种处理后的
10、成绩看成是CH4中的C-H键，各键角相等，均为arccos(-13)即10928（如图所示），以单种加权后的的课程成绩作为键长，而三棱锥的体积是四种成绩对排名对象综合影响绩效，然后按照这个总成绩进行排名。体积计算方法如下：将代表某学生评分的三棱锥按四条键长分解成四个小三棱锥，每条键作为小三棱锥的棱。由三棱锥体积公式有如下推论：在三棱锥中，已知某共定点的三条棱(x，y，z)之间的两两夹角均为可得：V=16xyz1+2cos记大三棱锥四条键为a，b，c，d，则该三棱锥体积为四个小三棱锥之和V三棱锥=Vabc+Vabd+Vacd+Vbcd由于161+2cos为常数，影响数值结果但不影响排名结果，在数
11、据处理过程中，将其记为，则评分最终计算式简化为V=与课程只有三种时同理，可证得当排名课程有四种时，在成绩总和相差较大的情况下，总成绩越高，排名越靠前，而在成绩总和相近的情况下，课程成绩越平均，名次越靠前。就S矩阵中经过加权与无量纲化后的数据，对某位学生sj,将其相同课程属性(人文与选修计同类)的课程成绩相加，分别得到基础课总评分（i=16Sij）、专业课总评(i=79Sij）、必选课总评(i=1015Sij）、人文及任选课总评(i=1621Sij）。以四总评分作为四条键长，按以上公式计算其体积，得到结果。对结果进行降序排列，即最终排名。以四总评分作为四条键长，按以上公式计算其体积，得到结果。对
12、结果进行降序排列，即最终排名，如表5所示表5 几何法总评与排名学号基础课总评专业课总评必选课总评人文及选修课总评总评700.39543 0.11821 0.23469 0.10052 0.02779 300.38111 0.11827 0.24360 0.09513 0.02684 860.37666 0.12301 0.23095 0.09830 0.02660 750.36667 0.11743 0.23925 0.09732 0.02576 510.36173 0.11647 0.23893 0.09952 0.02563 20.39221 0.11080 0.23467 0.09543
13、 0.02561 500.38560 0.11262 0.23110 0.09730 0.02546 330.35370 0.11684 0.24765 0.09429 0.02512 840.39295 0.10838 0.23727 0.09276 0.02509 600.37298 0.11348 0.22757 0.09924 0.02482 200.38851 0.10979 0.22809 0.09471 0.02453 460.35524 0.11607 0.23599 0.09705 0.2453由前文约定，将基础课、专业课及必选课有不及格成绩的学生剔除，则该法最终排名见表11
14、。2.5加权综合法标准化处理首先对经替换及填充后的矩阵S中数据进行标准化处理，将原始分数减去平均值之后再除以标准差。它是以标准差为单位来度量原始分数离开其平均值多大距离的。设第i位学生第j门课程的原始数据是Sij（i=1，2，105；j=1，2，21），105名学生在第j门课程上的平均成绩为Sj（j=1,2，21），标准差为j（j=1,2，21），则S*ij=（Sij-Sj）/ 其中Sij*为标准化处理后的学生分数，范围在-3到+3之间。经过标准化处理之后的数据是一个等距离数，它具有可比性，相同的分数在分布中处于相同的位置，因而消除了人为因素的影响（老师批阅标准不同，给分标准不同等等）。 然后
15、对标准化数据进行加权分析（乘以权重矩阵W），得到排名如表6表6 标准化处理得到排名结果名次12345678910学号23086957546707199200.0730.0610.0510.0480.0460.0450.0450.0430.0410.040考虑到此方法由于得出数据量值较小，分辨率较小，故将其结果利用spss软件，结合其他结果进行加权综合分析 加权综合法进行处理数据。由于前一步方法在分析数据之前首先对待分析数据进行了标准化处理，不受待分析数据量纲的影响，因此可以对上述方法得到成绩进行因子分析，提取前两个因子，它们已经全面反映这几组数据的信息。同时，再由回归估计的方法得到这两个公因子
16、的各自得分。 最后，以每个公因子的贡献率作权重，对因子得分按矩阵W加权平均，即可求出每位学生的综合得分。以此综合得分来排名，可充分体现出成绩排名的科学性与公平性。加权综合法数据处理图示：表7 描述统计量均值标准差分析 N加权.78305.028148105灰度.7172240.00050008105体积.0219531.00222812105标准化-2.16427405098059E-18.030368057614610105模糊3.5264.74175105表8 相关矩阵加权灰度体积标准化模糊相关加权1.0001.000.912.866.855灰度1.0001.000.905.865.858
17、体积.912.9051.000.829.741标准化.866.865.8291.000.758模糊.855.858.741.7581.000Sig.（单侧）加权.000.000.000.000灰度.000.000.000.000体积.000.000.000.000标准化.000.000.000.000模糊.000.000.000.000a. 行列式 = 2.56E-006 图4 加权综合法碎石图表9 KMO 和 Bartlett 的检验取样足够度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。0.772Bartlett 的球形度检验近似卡方1307.023df10Sig.0.000因为KMO值
18、为0.7720.5所以此方法适用于此数据。表10 解释的总方差成份初始特征值提取平方和载入合计方差的 %累积 %合计方差的 %累积 %14.44288.84988.8494.44288.84988.84920.2775.54694.39630.1873.74698.14140.0931.85699.99850.0000.002100.000提取方法：主成份分析。得排名如图5示（见下页）学 生 评 分 由前文约定，将基础课、专业课及必选课有不及格成绩的学生剔除，则该法最终排名见表11。四、 模型的评价与比较在用多种方法处理数据之前，先对数据表格进行了一定处理，将评分参数化，对空缺数据进行了填充。
19、填充算法采用均值填充法而舍弃EM算法，确考虑到了本问题的特殊性，但均值填充法较为笼统，对成绩优秀的学生较为不公。填充算法有待进一步提升。在对数据的处理过程中，加权法简单有效，准确度也较高。值得注意的是，本文中经改进的加权法，将各门课程成绩首先进行了统一，较好的弱化了其他因素的干扰。但是，将课程属性量化并计算权重时，以主观经验作为依据，难以避免偏差。灰关联聚类分析法则在此基础上，更全面细致的分析了数据，得到的结果更具有说服力。截距法与加权法相比应用范围更广泛。但此法分数的分段一般由经验给出的，其分段宽度对结果有所影响，难免有主观成分。这可能会导致名次的排名略有变动。在几何排名法中，当学生总成绩基
20、本一样时，几何排名算法可以使得各项成绩平均程度越高的学生其排名越高的特点，并且十分显著，使得评价更为全面。但此法有待完善：由于受条件所限制，本法中将学生课程成绩按课程性质划分为四种，以便进行三维计算。但理论上可以将所有科目单独划分，形成三维以上多维体，如此做可使结果更为科学。 在加权综合法中，由于四部分因子在分析数据之前首先对分析数据进行了处理，不受待分析数据量纲的影响，因此可以对上述四种方法得到的成绩再进行因子分析，提取第一个公因子，该因子贡献率已达到88.7%，已经能够全面反映这四组数据的信息。用单一因子化方法，使数据的处理更方便，也可以综合百家之长做出更合理的数据。但此法适用范围较小，数
21、据之间应有一定的联系，以保证KMO值大于0.5，否则并不适用。表11列出了五种方法所得前12名学生排名情况。表11 五种方法最终排名比较方法学号排名加权法灰关联聚类法截断矩阵法几何法加权综合法170 70307030230 3051307032 2128686484 8470512586 8675275620 20863384775 75138451851 51806020960 603320331033 12933601172 338484991212 72646013就上表数据看，各方法最终排名结果虽然不尽相同，但是已经较为相近。由于加权综合法将各种方法有效结合起来，建立在各方法基础上，结
22、果更能全面反映各种方法得到的结果，故我们将之加权平均法结果作为最终结果。又由前文约定，取消评奖学生列表中有不及格课程学生的评奖资格，由后位补齐，得到如表12的结果表12 最终学生成绩排名名次123456学号30708627584名次789101112学号512033609913根据此表，我们认为，在105名学生中，表12中的学生名列前茅且发展全面，可进行进一步评奖参考文献：1王苏斌等.SPSS统计分析M.北京：机械工业出版社，20032L. A. Zadch. Fuzzy Sets J. Inform. And Control.1965,8:338-353.3刘思风，党耀国，方志耕.灰色系统理
23、论及其应用.北京：科学出版社，19914张胜礼，潘正华.基于，.阶段的一般分解定理和阶段矩阵J. 模糊系统与数学,2008.22（3）：105-110. 5贺仲雄.模糊数学及其应用M.天津：天津科学技术出版社，1983:43-137. 6李明.三棱锥的一个体积公式及其两条推论.中国医科大学数学教研室7郑卫国,姜利群,孟德淮.基于多维度的新型排名算法.中国矿业大学8沈继红，施久玉，高振滨，张晓威.数学建模.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2007.9裴启涛,孙胜,王子哲,尹强,何涛,武龙.高校奖学金制度存在的缺陷及对策.中南大学资 源与安全工程学院附录推导三棱锥体积的公式 以三棱锥的顶点为坐标原点
24、,以为轴正向,以垂直于所在的平面的方向为轴建立右手空间直角坐标系(如图3).xBbAOacOC图3yz在图3中,(其中为未知数),将这些向量带入如下向量方程组:我们便得到如下关于的代数方程组:由此方程组我们可以求得:于是三棱锥的体积为 (等夹角三棱锥体积公式)如图4,在三棱锥中,如果三条侧OA=a、OB=b、OC=c，其夹角(显然),则三棱锥的体积为BbAOac图4C截断矩阵法中matlab编程aa=xlsread(student.xls,a1:DA21);%从excel文件写入数据AA=0.01*aa;b1=AA; b1(find(AA0.95)=1;b1(find(AA0.94)=0;b2
25、(find(AA0.85)=1;b2(find(AA0.84)=0; b3(find(AA0.79)=1;b3(find(AA0.78)=0; b4(find(AA0.69)=1;b4(find(AA0.68)=0;b5(find(AA0.60)=1;b5(find(AA0.00)=0;Q=1,1,1,1,1,1,0.8,0.8,0.8,0.8,0.8,0.8,0.8,0.8,0.8,0.25,0.25,0.25,0.25,0.25,0.25;%此为每种科目对应的权重（具体内容如本文2.1）c1=Q*b1;c2=Q*b2;c3=Q*b3;c4=Q*b4;c5=Q*b5;c6=Q*b6; A=c1;c2;c3;c4;c5;c6; x=0.40,0.30,0.15,0.10,0.05,0.00;% last=x*A; last=last; dlmwrite(data.xls,last)%写出到dataexcel数据表14