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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分 在每小
2、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A= x | x1，B x | x 2 ，则 AB=A(- 1，+ )B(- ， 2)C(- 1， 2)D 2设 z=i(2+i) ，则 z =A 1+2iB - 1+2iC1- 2iD - 1- 2i3已知向量 a=(2， 3)，b=(3 ， 2)，则 |a- b|=A 2B 2C52D 504生物实验室有 5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取出3 只，则恰有2 只测量过该指标的概率为23A B 3521CD 555在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和
3、甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A 甲、乙、丙B 乙、甲、丙C丙、乙、甲D 甲、丙、乙6设 f(x)为奇函数，且当x0时， f(x)= ex1，则当 x0) 两个相邻的极值点，则=443A 2B2C1D 129若抛物线2x2y 2p=y =2px（ p0）的焦点是椭圆3 p1的一个焦点，则pA 2B3C4D 810曲线 y=2sinx+cosx 在点 ( ， - 1)处的切线方程为A x y1 0B 2x y 2 1 0C 2x y 2 1 0D x y1 011已知 a（ 0， ）， 2sin2=cos2+1，则 si
4、n=215AB55C3D2 53x2y25OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a212设 F 为双曲线 C：22 1（ a0，b0）的右焦点， O 为坐标原点，以ab交于 P、 Q 两点若 |PQ|=|OF |，则 C 的离心率为A 2B 3C 2D 5二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共20 分。2x3 y60，13若变量 x， y 满足约束条件 xy30， 则 z=3xy 的最大值是 _.y20，14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97，有20 个车次的正点率为 0.98，有 10个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所
5、有车次的平均正点率的估计值为 _.15 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c已知 bsinA+acosB=0，则 B=_.16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体 ”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第一空2 分，第二空3 分）三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、。第生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（ 12 分）如图，长方体ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点E 在棱1721 题为必考题，每个试题考AA1 上， BE EC1（ 1）证明： BE平面 EB1 C1；（ 2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥EBB1C1C 的体积18（ 12 分）已知 an 是各项均为正数的等比数列，a12, a32a216 .（ 1）求 an 的通项公式；（ 2）设 bnlog 2 an ，求数列 bn 的前 n 项和19（ 12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查
7、了100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表y 的分组0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企业数22453147（ 1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（ 2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到 0.01）附： 74 8.602 .20（ 12 分）已知 F1, F2 是椭圆 C : x222y2 1(a b 0) 的两个焦点， P 为 C 上一点， O 为坐标原点ab（ 1）若 POF2 为等边三角形
8、，求C 的离心率；（ 2）如果存在点 P，使得 PF1PF2 ，且 F1PF2 的面积等于16，求 b 的值和 a 的取值范围21（ 12 分）已知函数f ( x)( x1)ln xx1 证明：（ 1） f (x) 存在唯一的极值点；（ 2） f (x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数（二）选考题：共10 分 请考生在第22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22 选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）在极坐标系中， O 为极点，点 M (,)(0)C :4sinA(4,0)000在曲线上，直线 l 过点且与OM垂直，垂足为P.（ 1）当0 =3时，求0
9、及l 的极坐标方程；（ 2）当M 在C 上运动且P 在线段OM上时，求P 点轨迹的极坐标方程.23 选修4-5：不等式选讲（ 10 分）已知f ( x)| xa | x| x2 | ( xa).（ 1）当a1 时，求不等式f (x)0 的解集；（ 2）若x(,1) 时，f (x)0，求a 的取值范围.2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案1C2D3A7B8A9D13 914 0.9815344B5A6D10C11B12A16 26；2117解：（1）由已知得B1C1平面 ABB1A1， BE平面 ABB1A1，故 B1C1BE 又 BEEC1 ，所以 BE平面 EB1C1 （
10、 2）由（ 1）知 BEB1=90 .由题设知Rt ABE Rt A1B1E，所以AEBA1 EB145 ，故 AE=AB=3，AA12AE6 .作 EFBB1 ，垂足为 F ，则 EF 平面 BB1C1C ，且 EF AB 3 所以，四棱锥E BB1C1C 的体积 V136318318解：（1）设an 的公比为 q，由题设得2q24q16 ，即 q22q80 解得 q2 （舍去）或 q=4 因此 an的通项公式为 an2 4n 122 n 1（ 2）由（ 1）得 bn (2 n1) log 2 22n 1，因此数列bn 的前 n项和为 1 3 L 2n 1 n219解：（ 1）根据产值增长率
11、频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21 100产值负增长的企业频率为20.02 100用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为 21%，产值负增长的企业比例为 2%（ 2） y1 (0.102 0.10240.3053 0.50140.707) 0.30 ，100s215yiy2ni100 i 11(0.40) 22( 0.20) 22402 530.202140.4027100=0.0296，s0.02960.02740.17 ，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%20解：（ 1）连
12、结 PF1 ，由 POF 2 为等边三角形可知在 F1PF2中， F1PF290 ，PF2c ，PF13c ，于是 2aPF1PF2(3 1)c ，故 C的离心率是 ec31.a（ 2）由题意可知， 满足条件的点 P( x, y) 存在当且仅当1| y |2cyyx2y21，216，c1，b2x c xa2即 c|y|16 ，x2y2c2 ，x2y21，a2b2a2b22得 y2b42162，故 b4 由及cc2 ，又由知 yc22由得 x2a2c2b2，所以 c2b2，从而 a2b2c22b232, 故 a42 .c当 b4， a42 时，存在满足条件的点P所以 b4 ， a 的取值范围为
13、4 2,) 21解：（ 1） f (x) 的定义域为（ 0，+） .f ( x)x 11ln x 1ln x.xx因为 yln x 单调递增，1单调递减，所以f (x) 单调递增，又f(1)1 0 ，yxf (2)1ln 41(1,2) ，使得 f x00 .ln 220 ，故存在唯一 x02又当 xx0 时， f( x)0 ， f ( x) 单调递减；当xx0 时， f ( x)0， f (x) 单调递增 .因此， f ( x) 存在唯一的极值点 .（ 2）由（ 1）知 fx0f (1)2，又 f e2e23 0 ，所以 f ( x)0 在 x0 ,内存在唯一根x .x01 得1由1 x0
14、.又 f111 ln 1 11f ( )0 ，故1 是 f ( x)0 在 0, x0的唯一根 .综上，f ( x)0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数22解：（ 1）因为 M0 , 0在 C上，当0时，04sin323 .3由已知得 |OP | | OA | cos32 .设 Q ( , ) 为 l上除 P的任意一点 .在 Rt OPQ 中，cos3|OP |2 ，经检验，点 P(2,) 在曲线cos32 上3所以， l 的极坐标方程为cos2 3（ 2）设 P( , ) ，在 RtOAP 中， | OP | |OA | cos4cos,即4cos 因为 P在线段 OM 上，且 APOM ，故的取值范围是,.42所以， P点轨迹的极坐标方程为4cos,4,.223解：（1）当 a=1 时， f ( x)=| x1| x+|x2|(x1) .当 x1时，f ( x)2( x 1)20；当x 1时，f ( x) 0 .所以，不等式f ( x)0的解集为 (,1) .（ 2）因为f (a)=0 ，所以 a1.当 a1 ，x(,1) 时，f ( x)=( ax) x+(2x)(xa)=2( ax)(x1)0.所以，a 的取值范围是1,)