2013年高考真题理科数学解析分类汇编7-立体几何.doc

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1、2013 年高考真题理科数学解析分类汇编年高考真题理科数学解析分类汇编 7 立体几何立体几何 一选择题一选择题 1.湖南7已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正 方体的正视图的面积不可能等于 A B C D 12 2-1 2 2+1 2 【答案】 C 【解析】 由题知，正方体的棱长为 1， 1 2 1-2 .2, 1 2, 1 1而上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为 。选 C 2.陕西 12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 . 3 【答案】 3 【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为 1 的半圆，高为 2。所以体 积 3 21 2 1

2、3 1 2 V 3.安徽理（3）在下列命题中，不是公理的是 （A）平行于同一个平面的两个平面相互平行 （B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 （C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推 导证明，故是定理。 所以选 A 4.广东 5.某四棱台的三视图如图 1 所示，则该四棱台的体积是 11 2 1 图 1 A. 4 B. C. D. 6 14 3 16 3 解析：显然棱台的上下底的面积分别为，

3、故其体积为 12 14SS、 选 B 1122 1114 V=()(124) 2 333 SS SS h 5.广东 6.设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是, A.若，则 mn； B. 若，则,mn/,mn/mn C. 若，则； D. 若，则,mn mn,/ , /mmn n 解析：选 D ，平面内存在直线，故,/ , /mmn n 其它选项均错。 6.新课标 I，6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容 器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接 触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A、cm3B、c

4、m3 500 3 866 3 C、cm3 D、cm3 1372 3 2048 3 【解析】设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球心到截面圆的 距离为 R-2，则，解得 R=5，球的体积为=，故选 A. 222 (2)4RR 3 45 3 500 3 3 cm 7.新课标 I，8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . . A168B88 . .C16 16D8 16 【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积 公式，是中档题. 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高 为 4，上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体

5、，故其体积为 =，故选. 2 1 244 2 2 2 168A 8.新课标 II 4、已知，为异面直线，平面，平面，直线 满足mnmnl ， ，则（ ）lmlnll （A） 且 （B）且 ll （C）与相交，且交线垂直于 （D）与相交，且交线平行于ll 【答案】D 设 m n 因为 mma nna 所以 a 又 ， 所以 lmlnl 因此 al 新课标 II 7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，Oxyz(1,0,1) ，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则(1,1,0)(0,1,1)(0,0,0)zOx 得到正视图可以为（ ） (A)(B) (C) (D) 【答案】

6、A 【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体的直观图，以OABC zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选 A. 9.江西 8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且 ，正方体的六个面所在的平面与直线 CE，EF 相交的平面个数分别记为，那AB CDA,m n 么mn A.8 B.9 C.10 D.11 10.辽宁（10）已知三棱柱 111 6.34ABCABCOABAC的个顶点都在球的球面上若， ,ABAC 1 12AAO，则球的半径为 A B C D 3 17 2 2 10 13 2 3 10 答案答案CC 【解析解析】如图：因为如图：因为所以所以 BCB

7、C 是小圆是小圆,ABAC 1 的直径，的直径，是小圆是小圆的直径，的直径， 112 所以球心在所以球心在的中点的中点 R=R= = 12 ( 2) 2 +( 12 2 ) 213 2 11.全国（10）已知正四棱柱）已知正四棱柱 的正弦值等于 111111 2,ABCDABC DAAABCDBDC中，则与平面所成角 （A） （B） （C） （D） 2 3 3 3 2 3 1 3 【答案】A 【解析】如下图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接,过 C 作于 H 为垂足 1 CO 1 CHC O , CH平面 BDAC BDAA1 ACAA1 ? BD 平面ACC1A1 CH 平面ACC1A1

8、 ? CHBD CHC1O BDC1O=O ? C1BD CD 与平面所成的角为CDH C1BD 设 AB=a 则 OC=，CH=，sinCDH= 2 2 a CC1CO CO 2 3 2 3 12.山东4、已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为 111 ABCABC 9 4 的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为3P 111 ABCPAABC (A) (B) (C) (D) 5 12 3 4 6 13.四川 3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ） 14.重庆 5、某几何体的三视图如题图所示，则该几何体的体积为（ ） 5 A、 B、 C、 D、 5

9、60 3 580 3 200240 【答案】：C 15.湖北 16.浙江 二填空题二填空题 17.上海上海13在平面上，将两个半圆弧xOy 和、两条直 22 (1)1(1)xyx 22 (3)1(3)xyx 线和围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分记 D 绕 y 轴旋转一周而成的1y 1y 几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利(0, )(| 1)yy 2 418y 用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为_ 答案 2 216 解析：构造如图所示的圆柱和长方体长方体的长与圆柱的高是 2，圆柱的底面园的直径 为 2 与长方体的侧面长方形的长为 4，高为 2 则水平截面，所

10、得截面面积为 2 418y 由祖暅原理得的体积值=242+ V园柱+ V长方体 122= 2 216 18.浙江 19. 江苏 8如图，在三棱柱中，分别是的中ABCCBA 111 FED， 1 AAACAB， 点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则ADEF 1 VABCCBA 1112 V 21:V V 【答案】1：24 【解析】三棱锥与三棱锥的相似比ADEF ABCA 1 为 1：2，故体积之比为 1：8 又因三棱锥与三棱柱的体积之ABCA 1 ABCCBA 111 比为 1：3所以，三棱锥与三棱柱ADEF 的体积之比为 1：24ABCCBA 111 20.全国 （16）已知圆和圆是球的大

11、圆和小圆，其公共弦长等于球的半径，OKOO 则球的表面积等于 . 3 60 2 OKOK ，且圆与圆所在的平面所成角为，O 答案16 解析： 如图：过两圆相交弦 AB 的中点 E 分别与两圆圆心 O,K 连线 ，得到两圆直径 CD,和 GH 则 CDAB,和 GHAB ,GEC 为两圆的二面角的平面角GEC=，O 是大圆圆心即为球心 600 所以 OK圆 K 所在平面，AB=OA=OB=OC=R 在正三角形 AOB 中 高 OE=R，在直角三角形 OKE 中 OK=OE R = 3 2sinOEK 3 2sin600 3 2 R= 2 S=16 21.辽宁（1313）某几何体的三视图如图所示，

12、则该几何体的体积是）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 【答案答案】 1616 【解析解析】直观图是圆柱中去除正四棱柱。直观图是圆柱中去除正四棱柱。 A B C 1 A D E F 1 B 1 C V 22 24241616 22.安徽理（15）如图，正方体的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 1111 ABCDABC D 上的动点，过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S。则下列命题正确的是 1 CC _（写出所有正确命题的编号） 。 当时，S 为四边形 1 0 2 CQ 当时，S 为等腰梯形 1 2 CQ 当时，S 与的交点 R 满足 3 4 CQ 11

13、 C D 11 1 3 C R 当时，S 为六边形 3 1 4 CQ 当时，S 的面积为1CQ 6 2 【答案】 【解析】 .CQDTPQATPQATTDD22/ 1 且，则相交于设截面与 对，,则所以截面S为四边形，且S为梯形.所以为真.时当 2 1 0. CQ. 10 DT 对, ，截面S为四边形截面1 = DT , 2 1 .时当CQ重合与 1 ,DT., 11 QDAPAPQD所以 S为等腰梯形. 所以为真. 对, 所时当 4 3 .CQ. 3 1 . 2 1 , 2 3 , 4 1 1111 RCTDDTQC利用三角形相似解得 以为真. 对, .截面S与线段相交，所以四边形S为五边2

14、 DT 2 3 ,1 4 3 .时当CQ 1111 CD,DA 形.所以为假. 对, .对角AGAPCGDASCCQ 111111 ,Q1.即为菱形相交于中点与线段截面重合与时，当 线长度分别为 所以为真. 2 6 32的面积为，和S 综上，选 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分 23.北京 14.如图，在棱长为 2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段 D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 . 24福建 12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、 俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形

15、，则该球 的表面积是 三解答题三解答题 25.广东18. （本小题满分 14 分）如图 5，在等腰直角三角形 ABC 中，A=90， BC=6，D、E 分别是 ACAB 上的点，CD=BE=，O 是 BC 的中点，将ADE 折起得到如图2 6 所示的四棱锥，其中ABCDE3A O （1）证明平面 BCDE；A O （2）求二面角的平面角的余弦值。ACDB A OB C ED 解：解：(1)连结 OD、OE。 BC=6， BO=CO=3 由余弦定理得 2222 2 2cos292 235 2 ODOECDCOCD COBCD 在等腰直角三角形 ABC 中，A=90，BC=6， 3 2ABAC2

16、2A DA E 222222 538ODA OOEA OA DA E ， ,A OOD A OOEODOEOA OBCDE 平面 (2)设 G 为 AC 的中点，连结，则，且A GOG、 13 2 22 OGAB/OGAB ABBC， OGAC. ， A OBCDE 平面A GAC 为二面角的平面角A GOACDB 在 Rt中，A OG 91530 3 222 A G 为所求二面角的平面角的余弦值。 15 cos 5 OG A GO A G ACDB 26.陕西陕西18. (本小题满分 12 分) A G A OB C E D 如图, 四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形

17、, O 为底面中心, A1O平面 ABCD, . 1 2ABAA () 证明: A1C平面 BB1D1D; () 求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角的大小. 【答案】() 见下;() = 3 O D1 B1 C1 D A C B A1 () 求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角的大小. 【解析】 () ；又因为，在正方形 AB CD 中，BDOAABCDBDABCDOA 11 ,面且面 。 BDCAACACAACABDAACOABDAC 11111 ,，故面且面所以；且 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . . 1 11 OAOAART中，在 .OECAOCEAEDB

18、1111111 为正方形，所以，则四边形的中点为设 ，所以由以上三点得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD 111111 E.E, .(证毕)DDBBCA 111 面 () 建立直角坐标系统,使用向量解题。 以 O 为原点，以 OC 为 X 轴正方向，以 OB 为 Y 轴正方向。则 .) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 1 (),100(),001 (,0 , 1 , 0 111 CABACB，）（ 由()知, 平面 BB1D1D 的一个法向量.0 , 0 , 1),1 , 1 , 1 (),1, 0 , 1 ( 111 ）（OCOBCAn 设平面 OCB1的法向量为，则0, 0,

19、 2122 OCnOBnn ).1- , 1 , 0(向向向 2 n为解得其中一个 。 2 1 22 1 | | |,cos|cos 21 21 11 nn nn nn 所以，平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角为 3 O D1 B1 C1 D A C B A1 27.山东山东（18） （本小题满分 12 分） 如图所示，在三棱锥 P-ABQ 中，PB平面 ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F 分别是 AQ，BQ，AP，BP 的中点，AQ=2BD，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH。 （）求证：AB/GH； （）求二面角 D-GH-E 的余弦值 . 解

20、答：（1）因为 C、D 为中点，所以 CD/AB 同理：EF/AB，所以 EF/CD，EF平面 EFQ， 所以 CD/平面 EFQ，又 CD平面 PCD,所以 CD/GH，又 AB/CD，所以 AB/GH. (2)由 AQ=2BD，D 为 AQ 的中点可得，ABQ 为直角三角形，以 B 为坐标原点，以 BA、BC、BP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设 AB=BP=BQ=2，可得平面 GCD 的一个法 向量为，平面 EFG 的一个法向量为，可得,所 1 (0,2,1)n 2 (0,1,2)n 44 cos 55 5 以二面角 D-GH-E 的余弦值为 4 5 28.江苏 16 （本小题

21、满分 14 分） 如图，在三棱锥中，平面平面，过ABCS SABSBCBCAB ABAS 作，垂足为，点分别是棱的中点求证：ASBAF FGE，SCSA， （1）平面平面；/EFGABC （2）SABC 证：证：（1）因为 SAAB 且 AFSB， 所以 F 为 SB 的中点 又 E，G 分别为 SA，SC 的中点， 所以，EFAB，EGAC 又 ABACA，AB面 SBC，AC面 ABC， 所以，平面平面/EFGABC （2）因为平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBCBC， AF平面 ASB，AFSB 所以，AF平面 SBC 又 BC平面 SBC， A B C S G F E 所

22、以，AFBC 又 ABBC，AFABA， 所以，BC平面 SAB 又 SA平面 SAB， 所以，SABC 29.安徽（19） （本小题满分 13 分） 如图，圆锥顶点为。底面圆心为，其母线与底面所成的角为 22.5。和是底poABCD 面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为 60，OOPPCD （）证明：平面与平面的交线平行于底面；PABPCD （）求。cosCOD 【答案】 （） 见下. （） 212-17 【解析】 （） mABPCDABPCDCDCDABmC直线面面且直线面设面/,DPPAB .ABCDmABCDAB面直线面/ 所以,.(证毕)ABCDDPPAB的公共交线平行底面与面面

23、C （） . r PO OPFFCDr 5 . 22tan.60,由题知，则的中点为线段设底面半径为 . 5 . 22tan1 5 . 22tan2 45tan, 2 cos 5 . 22tan60tan60tan, 2 COD r OF PO OF )223(3), 1-2(3 2 1cos , 1-2 5 . 22tan1 2 cos2cos 22 CODCOD COD .212-17cos. 212-17cosCODCOD所以 30.上海19.（本题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明 直线 BC1平行于平面 DA1C，并求直

24、线 BC1到平面 D1AC 的距离. 19. 【解答】因为 ABCD-A1B1C1D1为长方体，故， 1111 /,ABC D ABC D 故 ABC1D1为平行四边形，故，显然 B 不在平 11 /BCAD D1 C1 B1 A1 D C B A 面 D1AC 上，于是直线 BC1平行于平面 DA1C； 直线 BC1到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为h 考虑三棱锥 ABCD1的体积，以 ABC 为底面，可得 111 (1 2) 1 323 V 而中，故 1 ADC 11 5,2ACDCAD 1 3 2 AD C S 所以，即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为

25、 1312 3233 Vhh 2 3 31。新课标 I18、 （本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60. （）证明 ABA1C; （）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。 【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂 直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象 能力、逻辑推论证能力，是容易题. 【解析】 （）取AB中点E，连结 CE， 1 AB 1 AE AB=，=，是正三角形， 1 AA 1 BAA 0 60 1 BAA AB， CA=CB， CEAB， =E，

26、AB面， 1 AE 1 CEAE 1 CEA AB； 6分 1 AC （）由（）知 ECAB，AB， 1 EA 又面 ABC面，面 ABC面 11 ABB A =AB，EC面，EC， 11 ABB A 11 ABB A 1 EA EA，EC，两两相互垂直，以 E 为坐标原点，的方向为轴正方向，|为单 1 EAEA xEA 位长度，建立如图所示空间直角坐标系，Oxyz 有题设知 A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),则=（1,0，）, 1 A33BC 3 =(1,0,),=(0,), 9 分 1 BB 1 AA 3 1 AC 33 设=是平面的法向量，n( , , )x

27、 y z 11 CBBC 则，即，可取=（，1，-1）， 1 0 0 BC BB n n 30 30 xz xy n3 =， 1 cos, AC n 1 1 | AC AC n |n| 10 5 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为. 12 分 10 5 32.湖南 19 （本小题满分 12 分）如图 5，在直棱柱 1 111 /ABCDABC DADBC中， 1 90 ,1,3.BADACBD BCADAA （I）证明：； 1 ACB D （II）求直线所成角的正弦值。 111 BCACD与平面 【解析】 () ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD 111111

28、,面且面是直棱柱 . (证DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC 11111 ,，面。面且又 毕) （） 。的夹角与平面的夹角即直线与平面直线 111111 ,/ACDADACDCBADBCCB 轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向XADYABA BDACyBDyACyCyBDDA), 0 , , 3(), 0 , , 1 () 0 , , 1 (), 0 , , 0(),3 , 0 , 3(),0 , 0 , 3(,00 , 0 1 ，则，设 ).3 , 0 , 3(),0 , 3, 1 (. 30, 0030 1 2 ADACyyyBDAC ），（），（

29、的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-. 0 0 , 1 1 1 ADnACD ADn ACn nACD 7 21 37 33 |,cos|sin003,313- 1 ADnADnACD），（），（的一个法向量平面 。 7 21 11 夹角的正弦值为与平面所以ACDBD 33.辽宁 18 （本小题满分 12 分） 如图，.ABPAC是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点 （I I）求证：）求证：PACPBC平面平面； （IIII）2.ABACPACPBA若，1，1，求证：二面角的余弦值 【解析】 .由 AB 是圆 O 的直径.得 ACBC.由 PA平面 ABC,BC平面 ABC.

30、得 PABC () 又 PAAC=A.PA平面 PAC.AC平面 PAC.所以 BC平面 PAC （II）解法一 过 C 作 CM PA,CM平面 ABC 如图，以点 C 为坐标原点，分别以直线 CB,CA,CM 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 因为 AB=2,AC=1,所以 BC=，因为 PA=1,所以 A,B,P,故, 3(0,1,0)(3,0,0)(0.1.1) =(3,0,0) =(0.1.1) 设平面 BCP 的法向量为,则所以 1=(,) 1= 0 1= 0 ? 3 = 0 + = 0 ? 不妨令 y=1,则1 =(0，1， 1) 因为,设平面 ABP 的法向量为，

31、则 =(0,0,1) =(3, 1,0) 2=(,) 所以不妨令 x=1,则于是= 2= 0 2= 0 ? = 0 3 = 0 ? 2=(1， 3，0)cos1 ， 2 3 2 2 = 6 4 所以由题意可知二面角 CPBA 的余弦值为 6 4 34.重庆 19、如题（19）图，四棱锥中，,PABCDPAABCD 底面 ,2,4, 3 BCCDACACBACD 为的中点，。FPCAFPB （1）求的长；PA （2）求二面角的正弦值。BAFD 35.江西 19（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥中，PABCDPA,ABCD EBD平面为的中点，GPD为的中点， ，连接并延长交于. 3 ,1 2

32、 DABDCB EAEBABPA ，CEADF (1) 求证：；ADCFG 平面 (2) 求平面与平面的夹角的余弦值.BCPDCP 36 北京 17. (本小题共 14 分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为 4 的正方形.平面ABC平面 AA1C1C，AB=3，BC=5. （）求证：AA1平面ABC； （）求二面角 A1-BC1-B1的余弦值； （）证明：在线段 BC1存在点 D，使得ADA1B，并求的值. 1 BD BC 37.福建 19.（本小题满分 13 分） 如图，在四棱柱中，侧棱底面, 1111 DCBAABCD 1 AAABCD )0( ,6,5,4,3

33、, 1,/ 1 kkDCkBCkADkABAADCAB （1）求证：平面CD 11A ADD （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值 1 AACAB1 7 6 k （3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的 1111 DCBAABCD 四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问 共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，)(kf 写出的解析式。 （直接写出答案，不必说明理由）)(kf 38.新课标 II （18）如图，直三棱柱中， 111 ABCABC ，分别是，的中点。DEAB 1 BB 1 2AAACCB

34、2 2 AB （）证明：平面； 1/ / BC 11 ACD （）求二面角的正弦值。ECAD 1 E D B1 C1 A C B A1 39.全国 19 （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 都是等边三角形.902,PABCDABCBADBCADPABPAD 中，与 （I）证明：;PBCD （II）求二面角.APDC 的大小 解析： 40.四川19(本小题满分 12 分) 如图，在三棱柱中，侧棱底面 11 ABCABC 1 AA ，分别是线段的中点，是线ABC 1 2ABACAA120BAC 1 ,D D 11 ,BC BCP 段的中点AD （）在平面内，试作出过点与平面平行的直线 ，说明理

35、由，并证明直线ABCP 1 ABCl 平面；l 11 ADD A （）设（）中的直线 交于点，交于lABMAC D1 D C B A1 B1 C1 A P 点，求二面角的余弦值N 1 AAMN 41.湖北 42.浙江 43.天津(17) (本小题满分 13 分) 如图, 四棱柱 ABCDA1B1C1D1中, 侧棱 A1A底面 ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1的中点. () 证明 B1C1CE; () 求二面角 B1CEC1的正弦值. () 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段 AM 2 6 的长