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1、第一章 数的整除,思考,在上海南站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车，如果地铁1号线和轨道交通3号线早晨6:00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？,遇到这种问题我们怎么做？,我们说，1号线发车间隔一定是3的倍数，3号线是4的倍数。那么显然，这个问题可以化作求3和4的公有的倍数。,3和4的公倍数,4的倍数,3的倍数,12、24,3、6、9、15、18、21、27,4、8、16、20、28,如果要这种墙砖铺一个正方形（用的墙砖都是整块）。正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？,这种墙砖长3dm，宽2dm。,3，6，9，12， 15，18，,2，4，6，8，1
2、0，12，16，18，,3，6，9，12， 15，18，,2，4，6，8，10，12，16，18，,可以铺出边长是6dm，12dm，18dm，的正方形，最小的正方形边长是6dm。,3的倍数,2的倍数,最小公倍数,公倍数,6,我们看一下具体的概念,几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。,班长说：“我们可以分成6人一组，也可以分成8人一组，都正好分完。”请大家猜猜这些学生可能有几人？,动脑筋： 暑假期间，小华、小明和小芳都去参加游泳训练。小华每3天去一次，小明每4天去一次，小芳每6天去一次.8月1日三人都去参加了游泳训练，几月几日他们又再次一起参加训练？,那么我
3、们就有了这样几个问题：,两个数的公倍数的个数有限吗？ 几个素数和互素的数有公倍数吗？ 怎样去求两个数的公倍数和最小公倍数？,无限个！,有！,怎样求6和8的最小公倍数？,观察：两个数的 公倍数和它们的 最小公倍数之间 有什么关系？,4,看8的倍数中有哪些是6的倍数,6和8的公倍数有很多呢。,你还有其他方法吗？和同学讨论一下。,求两个数的最小公倍数的方法：,1、列举法 2、分解素因数法 3、短除法,1、在2的倍数上画“ ”,在5的倍数上画“ ”。,2和5的公倍数有 ，最小公倍数是 。,10、20、30,10,2、把50以内6和8的倍数、公倍数分别填在下面的圈里，再找出它们的最小公倍数。,6的倍数,
4、8的倍数,6的倍数,8的倍数,6和8的公倍数,6、12、18、24、30、36、42、48,8、16、24、32、40、48,24、 48,6、12、18、30、36、42,8、16、32、40,如果这些学生的总人数在40人以内，可能是多少人？,4，8，12，16，20，24 28，32，36，40,6，12，18，24，30， 36,40以内4的倍数,40以内6的倍数,4，8，12，16，20，24 28，32，36，40,6，12，18，24，30， 36,咱们可以分成4人一组，也可以分成6人一组，都正好分完。,这些学生的人数可能是12、24、36人,写出6和9的公倍数。,6的倍数：6，1
5、2，18，24，30，36， 42，48，54,9的倍数：9，18，27，36，45，54， 63,6和9的公倍数有：18，36，54 6和9的最小的公倍数是18。,我们可以用下图表示6和9的公倍数。,，12 ，30 42，48 ,18 36 54,9，27 45，63 ,6的倍数,9的倍数,6和9的的公倍数,像这种把倍数分别写出然后找出相同倍数的方法我们称之为列举法。这种方法可以很快的找出比较小的公倍数，但是一般只有在数字较小的时候用的比较多。例如找出12和18的公倍数。,1、找倍数，从小到大依次找出各个数的倍数。,列举法：,2、找公有，把各个数的倍数进行对照找出公有的倍数。,3、找最小，从
6、公有的倍数中找出最小的一个。,12的倍数有：,18的倍数有：,12、24、36、48、60、72,18、36、54、72、90、108,12和18的公倍数有：,12和18的最小公倍数是：,有没有最大的公倍 数？为什么？,注意省略号,36、72,36,1.把50以内6和8的倍数、公倍数分别填在下面的圈内，再找出它们的最小公倍数。,6的倍数,8的倍数,6，12，18 24，30，36 42，48,8，16，24 32，40，48,6的倍数,8的倍数,6和8的公倍数,6,12,18 30,36,42,8,16 32,40,24 48,4和5的公倍数有_ 最小公倍数是 。 4和6的公倍数有 最小公倍数
7、是 。,5和6的公倍数有 最小公倍数是 。,那我们再看这样的问题,求34和78的最小公倍数。 显然，这种比较大的数字我们再用这种方法就很困难了。那我们怎么办？,6和15 16和12 15和20 21和28,找出下面每组数的最小公倍数,30,84,48,60,6=2*3 15=3*5,6和15的公倍数里，应该包括6和15所有的素因数，所以分别取出公有的部分3，然后再去各自剩余的2和5，连乘即可。,我们也可以利用分解质因数的方法，比较简便地求出两个数的最小公倍数。 例如： 60 = 223 5 42 = 22 7 60和42的最小公倍数 = 23257 = 420,知道吗,这种方法叫什么？,我们说
8、，把每个数分别分解素因数，然后把相同的因数提取出来，只取一个，然后把其他的因数都放在一起连乘，得到的结果就是最小公倍数。,我们说，分解素因数的方法：,短除法 怎样用短除法求最小公倍数？,求12和18的最小公倍数。,1 2,1 8,2,6,9,3,2,3,用公有因数2除,用公有因数3除,除到公因数只有1为止,12和18的最小公倍数是：,想一想： 从短除式中能看出36是12 、18的多少倍吗？,36是12的3倍,36是18的2倍,短除法：,求最大公因数是把所有的除数连乘起来，就得到这两个数的最大公因数,求最小公倍数是把所有的除数和 最后的两个商连乘起来，就得到 这两个数的最小公倍数。,232336
9、,短除法,求6和15的最小公倍数。,6,1 5,3,2,5,用公因数3除,除到公因数只有1为止,6和15的最小公倍数是：,32530,24和18,2 4,1 8,3,8,6,2,4,3,除以公因数3,除以公因数2,除到两个商是互质数公因数只有1为止,24和18的最小公倍数是：,24和18的最大公因数是：,324372,326,24和12,2 4,1 2,4,6,3,3,2,1,除以公因数4,除以公因数3,除到两个商是互质数公因数只有1为止,24和12的最小公倍数是：,24和12的最大公因数是：,432124,4312,18和9,1 8,9,9,2,1,除以公因数9,除到两个商是互质数公因数只有
10、1为止,18和9的最小公倍数是：,18和9的最大公因数是：,92118,9,14和21,1 4,2 1,7,2,3,除以公因数7,除到两个商是互质数公因数只有1为止,14和21的最小公倍数是：,14和21的最大公因数是：,72342,7,两个数是倍数关系（一 个数是另一个数的倍数） ，它们的最小公倍数就 是较大的那个数。,两个数成倍数关系时， 较小的数就是这两个 数的最大公因数,45和30,4 5,3 0,5,9,6,3,3,2,除以公因数5,除以公因数3,除到两个商是互质数公因数只有1为止,45和30的最小公倍数是：,45和30的最大公因数是：,533290,5315,16和20,1 6,2
11、 0,4,4,5,除以公因数4,除到两个商是互质数公因数只有1为止,16和20的最小公倍数是：,16和20的最大公因数是：,44580,4,15和25,1 5,2 5,5,3,5,除以公因数5,除到两个商是互质数公因数只有1为止,15和25的最小公倍数是：,15和25的最大公因数是：,53575,5,10和12,1 0,1 2,2,5,6,除以公因数2,除到两个商是互质数公因数只有1为止,10和12的最小公倍数是：,10和12的最大公因数是：,25660,2,判断：,两个数的公倍数一定比这两个数都大。（ ),分析： 当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数就 是其中较大的那个数。,判断：,不相同
12、的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大。 （ ),例:4和6的最大公因数是2；最小公倍数是12,判断：,48既能被8整除，又能被6整除，所以48是8和6 的最小公倍数。（ ),分析： 两个数的公倍数是无限个，但最小公倍数只有1个， 48只是8和6的公倍数，而不是最小公倍数。,先分别找出每组数的最小公倍数，再仔细观察。 你能发现什么？,6和7 8和24 4和9 12和36 5和13 11和33,42,36,65,24,36,33,两个数的公因数只有1时， 它们的最小公倍数就是 这两个数的乘积。,两个数是倍数关系（一 个数是另一个数的倍数） ，它们的最小公倍数就 是较大的那个数。,找出下列每
13、组数的最小公倍数。你发现了什么？,3和6 2和8 5和6 4和9,3和6的最小公倍数是6。,2和8的最小公倍数是8。,5和6的最小公倍数是30。,4和9的最小公倍数是36。,两个数是互质数关系，它们的最小公倍数就是它们的乘积。,两个数是倍数关系，它们的最小公倍数就是较大的数。,从前有个长工，在巴依老爷家干了一年也没有拿到一个铜板。长工们于是自发地组织了起来并邀请阿凡提帮他们去向巴依老爷讨工资。巴依老爷含着烟斗冷笑着说：“工资我可以给你，不过我的钱都在我的账房先生那里。从八月一日起，我要连续出去收账3天才休息一天，我的账房先生要连续收账5天才可以休息一天，你们就在我们两人同时休息的时候来吧。我肯定给钱。”阿凡提动了动脑筋，便带长工们离开了。到了某天，他真的从巴依老爷家帮长工拿到了工钱。 请大家想一想，阿凡提是哪天去巴依老爷家的？他用的是什么办法找到这个日期的？,阿凡提的故事,