初三数学有关圆的经典例题.docx

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1、Xupeisen110初三数学初三数学有关圆的经典例题1.在半径为 1的 O中，弦 AB、 AC的长分别为3和2，求 BAC 的度数。分析：根据题意， 需要自己画出图形进行解答， 在画图时要注意 AB 与 AC 有不同的位置关系。解：由题意画图，分 AB 、AC 在圆心 O 的同侧、异侧两种情况讨论，当 AB 、 AC 在圆心 O 的异侧时，如下图所示，过 O 作 OD AB 于 D，过 O 作 OE AC 于 E， AB3， AC2， AD3 ， AE222 OAAD31， cos OAD，OA2AE2cos OAEOA2 OAD=30 ， OAE=45 ，故 BAC=75 ，当 AB 、

2、AC 在圆心 O 同侧时，如下图所示，同理可知 OAD=30 ， OAE=45 ， BAC=15 点拨： 本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。例 2. 如图： ABC 的顶点 A 、B 在 O 上， O 的半径为 R， O 与 AC 交于 D ，如果点 D 既是 AB 的中点，又是 AC边的中点，（ 1）求证： ABC 是直角三角形；(2)求 AD 2的值BC分析：(1) 由 D 为 AB 的中点，联想到垂径定理的推论，连结OD 交 AB于 F，则 AF=FB ， OD AB ，可证 DF 是 ABC 的中位线；1Xupeisen110初三数学（ 2）延长 DO 交 O 于 E，连接

3、AE ，由于 DAE=90 ， DE AB ， ADF DAE ，可得 AD 2DF DE，而 DF1 BC， DE2R，故 AD 2可求2BC解： （1）证明，作直径 DE 交 AB 于 F，交圆于 E D 为 AB 的中点， AB DE ， AFFB又 AD=DC DF BC， DF1 BC2 AB BC， ABC 是直角三角形。（ 2）解： 连结 AE DE 是 O 的直径 DAE=90 而 AB DE， ADF EDA ADDF ，即 AD 2DE DFDEAD1 BC DE2 R， DF2 AD2AD2BC R，故RBC例 3. 如图，在 O 中， AB=2CD ，那么（）A. AB

4、2CDB. AB2CDC. AB2 CDD . AB 与 2 CD 的大小关系不确定分析： 要比较AB 与 2 CD 的大小，可以用下面两种思路进行：(1)把 AB 的一半作出来，然后比较1 AB 与 CD 的大小。2(2)把 2 CD 作出来，变成一段弧，然后比较2 CD 与 AB 的大小。解： 解法（一），如图，过圆心O 作半径 OF AB ，垂足为E，2Xupeisen110初三数学则 AFFB1 AB12ABAE EB21 AB AB2CD ， AECD2 AFFB ， AFFB在 AFB中，有 AF+FBAB 2 AFAB， AFAB ， AFCD， 2 AF 2 CD2 AB2 C

5、D选 A 。解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结 CE则 DECD1 CE2在 CDE 中，有 CD+DECE 2CDCE AB=2CD ， ABCE AB CE ， AB 2CD选 A 。例4.如图，四边形 ABCD 内接于半径为2的 O，已知 AB BC1 AD，41求 CD 的长。分析： 连结 BD ，由 AB=BC ，可得 DB 平分 ADC ，延长AB 、 DC 交于 E，易得 EBC EDA ，又可判定AD 是 O的直径，得 ABD=90 ，可证得 ABD EBD ，得 DE=AD ，利用 EBC EDA ，可先求出 CE 的长。解： 延长 AB 、 DC 交于 E 点，连结

6、BD ABBC1 AD 14 ABBC ， AD4， ADB EDB3Xupeisen110初三数学 O 的半径为2， AD 是 O 的直径 ABD= EBD=90 ，又 BD=BD ABD EBD ， AB=BE=1 ， AD=DE=4四边形 ABCD 内接于 O， EBC= EDA ， ECB= EAD EBC EDA ， BCCEADAEAEBC( ABBE)1 11BCCEAD42AD CD DECE4172 2例 5. 如图， AB 、 AC分别是 O的直径和弦， D 为劣弧 AC 上一点， DE AB于 H，交 O 于点 E，交 AC 于点 F， P 为 ED 的延长线上一点。（

7、1）当 PCF 满足什么条件时，PC 与 O 相切，为什么？(2)当点 D 在劣弧 AC 的什么位置时，才能使AD 2DE DF ，为什么？分析： 由题意容易想到作辅助线OC，（ 1）要使 PC 与 O 相切，只要使 PCO=90，问题转化为使 OCA+ PCF= FAH+ AFH 就可以了。(2)要使 AD 2DE DF ，即使 ADDF ，也就是使 DAF DEADEAD解： （1）当 PC=PF，（或 PCF= PFC）时， PC 与 O 相切，下面对满足条件PC=PF 进行证明，连结 OC，则 OCA= FAH ， PC=PF， PCF=PFC= AFH ， DEAB 于 H， OCA

8、+ PCF= FAH+ AFH=90 即 OC PC， PC 与 O 相切。4Xupeisen110初三数学(2)当点 D 是劣弧 AC 的中点时， AD 2DE DF ，理由如下：连结 AE， AD CD ， DAF DEA又 ADF EDA， DAF DEA ， ADDFDEAD即 AD 2=DE DF点拨： 本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求 PCF 满足什么条件时， PC 与 O 相切，可以反过来， 把 PC 与 O 相切作为条件， 探索 PCF 的形状， 显然有多个答案；第（ 2）问也可将 AD 2=DE DF 作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D 的位置。例 6.如图，

9、四边形 ABCD 是矩形 ( AB1 BC )，以 BC为直径作半圆 O，过点2D 作半圆的切线交AB 于 E，切点为F，若 AE ： BE=2 ： 1，求 tan ADE 的值。分析： 要求 tanADE ，在 Rt AED 中，若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。 ED=EF+FD ，而 EF=EB ， FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和 AE 的关系，进一步可求出AE ： AD 。解： 四边形 ABCD 为矩形， BC AB ，BC DC AB 、 DC 切 O 于点 B 和点 C， DE 切 O 于 F， DF=DC ， EF=EB ，即 DE=DC+EB ，

10、又 AE ： EB=2 ： 1，设 BE=x ，则 AE=2x ， DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ，在 RtAED 中， AE=2x ，DE=4x ， AD 2 3x则 tan ADEAE2x3AD2 3x3点拨： 本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。例 7. 已知 O1 与 O2 相交于 A、 B 两点，且点 O2 在 O1 上，（ 1）如下图， AD 是 O2 的直径，连结 DB 并延长交 O1 于 C，求证 CO2 AD ；5Xupeisen110初三数学（ 2）如下图，如果 AD 是 O2 的一条弦，连结 DB 并延长交 O1 于 C，

11、那么 CO2 所在直线是否与 AD 垂直？证明你的结论。分析： （ 1）要证 CO2 AD ，只需证 CO2D=90 ，即需证 D+ C=90 ，考虑到 AD 是 O2 的直径，连结公共弦 AB ，则 A= C， DBA=90 ，问题就可以得证。（ 2）问题是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC ，直观上看， AC 等于CD ，到底 AC 与 CD 是否相等呢？考虑到O2 在 O1 上，连结 AO 2、 DO2、 BO2，可得 1= 2，且有 AO 2C DO2C，故 CA=CD ，可得结论 CO2AD 。解： （1）证明，连结 AB ， AD 为直径，则 ABD=90 D+ BAD=

12、90 又 BAD= C， D+ C=90 CO2D=90 ， CO AD2（ 2）CO2 所在直线与 AD 垂直，证明：连结 O2A 、O2B 、O2D、 AC在 AO C 与 DO C 中22 O2 AO2 B， AO2BO2 ， 1 2 O2BD= O2AC ，又 O2BD= O2DB ， O2AC= O2DB O2C=O 2C， AO 2C DO 2C， CA=CD ， CAD 为等腰三角形， CO2 为顶角平分线， CO 2AD 。例 8. 如 下 图 ， 已 知 正 三 角 形 ABC 的 边 长 为 a， 分 别 为 A 、 B 、 C 为 圆 心 ，a以为半径的圆相切于点O1、

13、O2 、 O3 ，求 O1O2 、 O2 O3 、 O3 O1 围成的图形面2积 S。（图中阴影部分）6Xupeisen110初三数学分析： 阴影部分面积等于三角形面积减去3 个扇形面积。解： SABC3 a2 ， 3S扇3 ( a ) 2a246283a2a223a2 S阴884此题可变式为如下图所示，A、 B、 C两两不相交，且它们的半径都为 a ，求图中三个扇形 (阴影部分 ) 的面积之和。2分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为 A+ B+C=180，因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为a 2 ，8原题可在上一题基础上进一步变形：A 1、 A2 、

14、A 3 A n 相外离，它们的半径都是 1，顺次连结n 个圆心得到的n 边形 A 1A 2A 3 An ，求 n 个扇形的面积之和。解题思路同上。解： (n2)2一、填空题（10 4=40 分）1. 已知：一个圆的弦切角是50，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为_ 。2. 圆内接四边形ABCD 中，如果 A ： B： C=2： 3：4，那么 D=_ 度。3. 若 O 的半径为 3，圆外一点 P 到圆心 O 的距离为 6，则点 P 到 O 的切线长为_ 。7Xupeisen110初三数学4. 如图所示CD 是 O 的直径， AB 是弦，CD AB 于 M ，则可得出 AM=MB ， AC

15、BC等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：_。5. O1 与 O2 的半径分别是 3 和 4，圆心距为 4 3 ，那么这两圆的公切线的条数是_ 。6. 圆柱的高是 13cm，底面圆的直径是 6cm，则它的侧面展开图的面积是 _。7. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm ，拱高 CD=4cm ，那么拱形的半径是 _。8. 若 PA 是 O 的切线， A 为切点，割线PBC 交 O 于 B，若 BC=20 ，PA= 103 ，则 PC 的长为 _ 。9如图 5， ABC 内接于 O，点 P 是 AC 上任意一点 （不与 A、 C 重合），ABC55 ,则POC 的取值

16、范围是10如图，量角器外沿上有A、B 两点，它们的读数分别是70、40，则 1 的度数为.（第 9 题图）O8Xupeisen110初三数学11 已知 e O 的半径是3，圆心O 到直线l的距离是3，则直线l与 e O 的位置关系是12如图，已知点E 是圆 O上的点，B 、C分别是劣弧AD 的三等分点，BOC46o ，则AED 的度数为13 如图，Rt ABC 中ACB90o ， AC4 ， BC3 将 ABC 绕 AC 所在的直线 f 旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积（ 取 3.14，结果保留两个有效数字）14如图 8，两个同心圆的半径分别为2 和 1， AOB120o ，则阴影部分

17、的面积为fABA120oOMBCNBA图 8O第 14 题图15如图， AB 是 e O 的直径， AM 为弦，MAB30o ，过 M 点的 e O 的切线交 AB 延长线于点 N 若 ON12cm ，则 e O 的半径为cm16如图， Rt A BC 是由 Rt ABC 绕 B 点顺时针旋转而得，且点A， B，C 在同一条直线上，在 Rt ABC 中，若 C90o ， BC2 ， AB4 ，则斜边 AB 旋转到 A B 所扫过的扇形面积为CAADCOABPC（ 15 题图）EB（第 17 题图）17如图，从圆 O外一点 P 引圆 O的两条切线PA， PB ，切点分别是 A，B ，若 PA 8

18、cm ，?C 是 AB 上的一个动点（点 C 与 A，B 两点不重合） ，过点 C 作圆 O的切线，分别交 PA， PB于点 D，E ，则 PED 的周长是9Xupeisen110初三数学18、在平面内，O 的半径为5cm，点 P 到圆心 O的距离为3cm，则点 P 与 O 的位置关系是.19如图 8，在 Rt ABC 中，C90o， AC3 将其绕 B 点顺时针旋转一周，则分别以 BA，BC 为半径的圆形成一圆环则该圆环的面积为20如图 9，点 A，B 是 e O 上两点，AB 10 ，点 P 是 e O 上的动点（ P 与 A，B 不重合）连结 AP，PB ，过点 O 分别作 OEAP 于

19、点 E ，OFPB 于点 F ，则 EFAAOBCEBPF图 8图9三、解答题：1. 已知：如图所示， O1 和 O2 相交于 A 、B 两点，过 B 点作 O1 的切线交 O2 于 D ，连结 DA 并延长与 O1 相交于 C 点，连结 BC。过 A 点作 AE BC 与 O2 相交于 E 点，与BD 相交于 F 点。（ 1）求证： EF BC=DE AC ；（ 2）若 AD=3 ， AC=1 ， AF3，求 EF 的长。2. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或

20、中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。3. 已知： ABC 是 O 的内接三角形， BT 为 O 的切线， B 为切点， P 为直线 AB 上一点，过点P 作 BC 的平行线交直线BT 于点 E，交直线AC 于点 F。10Xupeisen110初三数学（ 1）如图所示，当点P 在线段 AB 上时，求证：PA PB=PE PF；（ 2）当点 P 为线段 BA 延长线上一点时，第（ 1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（ 3）若 AB4 2， cos EBA1 ，求 O 的半径。34如图， ABC 是 e O 的内接三角形，点C 是

21、优弧 AB 上一点（点 C 不与 A， B 重合），设 OAB， C（ 1）当35o 时，求的度数；（ 2）猜想与之间的关系，并给予证明5、（分）已知：如图，在ABC中， AB=AC，以 BC为直径的半圆 OA与边 AB相交于点 D，切线 DE AC，垂足为点 EE求证：（ 1） ABC是等边三角形；（ 2） AE1 CE D3BCO6、已知：如图，在Rt ABC 中， C90o ，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心， OA 长为半径的圆与 AC，AB 分别交于点 D，E ，且CBDA C（ 1）判断直线 BD 与 e O 的位置关系，并证明你的结论；D（ 2）若 AD : AO8:5 ，

22、BC 2 ，求 BD 的长BAEO7、如图，在梯形ABCD中， AB CD， O为内切圆， E 为切点，（）求AOD 的度数；（）若AO8 cm， DO 6 cm，求 OE的长11Xupeisen110初三数学8、已知 Rt ABC中， ACB90 ， CA CB ，有一个圆心角为45 ，半径的长等于 CA的扇形 CEF 绕点 C旋转，且直线CE， CF分别与直线 AB 交于点 M，N（）当扇形 CEF 绕点 C在 ACB 的内部旋转时，如图，求证：MN 2AM 2BN 2 ；（）当扇形 CEF绕点 C旋转至图的位置时， 关系式 MN 2AM 2BN 2 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立

23、，请C 说明理由CEAMNBMANBEFF图图9如图， ABC 内接于 e O ，过点 A 的直线交 e O 于点 P ，交BC 的延长线于点D ， AB2APgAD （ 1）求证： ABAC ；（ 2）如果 ABC60o， e O 的半径为?1，且 P 为 AC 的中点，求 AD 的长10 ( 本题满分10 分 ) 已知：如图，在半径为4 的 O中， AB， CD是两条直径，M为 OB的中点， CM的延长线交 O于点 E，且 EM MC连结 DE， DE=15 .(1)求证： AMMBEMMC ； (2)求 EM的长；12Xupeisen110初三数学（ 3）求 sin EOB 的值 .11

24、（本题满分10 分，第（ 1）小题满分3 分，第（ 2）小题满分7 分）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7 所示）已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径 OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是 OD 与圆 O 的交点OACDEH图 8图 7（ 1）请你帮助小王在图 8中把图形补画完整；（ 2）由于图纸中圆 O 的半径 r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i 1:0.75 是坡面CE 的坡度），求 r 的值CDOMEABN第 12 题图12已知， 如图， 直线MN交 e O 于，B两点，AC是直径，AD平分CAM交 e O 于AD ，过 D 作 DEMN 于 E （ 1）求证： DE 是 e O 的切线；（ 2）若 DE 6 cm， AE3 cm，求 e O 的半径13