1、2.5 2.5 利用利用DFT分析信号频谱分析信号频谱 问题的提出问题的提出 利用利用DFT分析分析连续非周期连续非周期信号频谱信号频谱 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 DFT分析中的参数选择分析中的参数选择 1 1.连续时间非周期信号连续时间非周期信号连续时间非周期信号连续时间非周期信号图图1 连续非周期信号及其频谱连续非周期信号及其频谱 问题的提出问题的提出2 2.连续时间周期信号连续时间周期信号连续时间周期信号连续时间周期信号问题的提出问题的提出图图2 连续周期信号及其频谱连续周期信号及其频谱 3 3.离散时间非周期信号离散时间非周期信号离散时间非周期信号离散时
2、间非周期信号问题的提出问题的提出图图3 离散非周期信号及其频谱离散非周期信号及其频谱 问题的提出问题的提出4 4.离散时间周期信号离散时间周期信号离散时间周期信号离散时间周期信号图图4 离散周期信号及其频谱离散周期信号及其频谱 四种信号的时域与频域对应关系四种信号的时域与频域对应关系 FTFTFSFSDTFTDTFTDFSDFS问题的提出问题的提出连续非周期信号连续非周期信号x(t)频谱特点：频谱特点：频谱特点：频谱特点：连续非周期谱连续非周期谱连续非周期谱连续非周期谱连续非周期信号连续非周期信号x(t)信号特点：时域无限，频谱有信号特点：时域无限，频谱有信号特点：时域无限，频谱有信号特点：时
3、域无限，频谱有限限限限连续非周期信号连续非周期信号x(t)信号特点：时域有限，频谱无信号特点：时域有限，频谱无信号特点：时域有限，频谱无信号特点：时域有限，频谱无限限限限连续非周期信号连续非周期信号x(t)信号特点：时域无限，频谱无信号特点：时域无限，频谱无信号特点：时域无限，频谱无信号特点：时域无限，频谱无限限限限问题的提出问题的提出如何利用数字方法分析信号的频谱？如何利用数字方法分析信号的频谱？问题的提出问题的提出有限长序列有限长序列 的傅立叶变换的傅立叶变换DFTDFTDFT可以直接计算周期序列的可以直接计算周期序列的可以直接计算周期序列的可以直接计算周期序列的DFSDFS问题的提出问题
4、的提出可否利用可否利用DFT分析分析连续非周期信号连续非周期信号的频谱的频谱？基本原理基本原理基本原理基本原理 利用信号傅立叶变换具有的信号利用信号傅立叶变换具有的信号时域时域时域时域与与频频频频域域域域之间的对应关系，建立信号的之间的对应关系，建立信号的DFT与四种信与四种信号频谱之间的关系。号频谱之间的关系。时域时域时域时域的离散化的离散化的离散化的离散化时域时域时域时域的周期化的周期化的周期化的周期化频域频域频域频域周期化周期化周期化周期化频域频域频域频域离散化离散化离散化离散化抽样抽样离散化离散化周期化周期化利用利用DFT分析连续非周期信号的频谱分析连续非周期信号的频谱 DFTDFT实
5、现实现实现实现假设连续信号持续时间有限，频带有限假设连续信号持续时间有限，频带有限mNmXTAmNmXTANmXTADFT的应用的应用x x(t t)截取截取抽样抽样t t=kTkTs s周期延拓周期延拓周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期X X(j j )卷积卷积周期延拓周期延拓取一个周期取一个周期周期延拓周期延拓抽样抽样FTDTFTDTFTDFSDFT信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换利用利用DFT分析分析连续非周期信号连续非周期信号的频谱的频谱关关关关键点键点键点键点 1).X(j)与与Xm之间对应关系理解之间对应关系理解(书书75)已知：已知：x(
6、t)信号的最高频率信号的最高频率fm、抽样频率、抽样频率fsam和和DFT的有限的有限长度长度N。(书77例2-6)求解：求解：求解：求解：X X mm 中中中中mm点与点与点与点与X X(j j )中连续频谱点之间对应值中连续频谱点之间对应值中连续频谱点之间对应值中连续频谱点之间对应值2).X(j)Xm过程中现象产生的原因与解过程中现象产生的原因与解决方法决方法(书书7785)x(t)信号抽取信号抽取(采样采样)、截断、截断(加窗加窗/卷积卷积)和延拓和延拓(周期展开周期展开)出现三种现象：混叠、频谱泄露和栅栏效应。出现三种现象：混叠、频谱泄露和栅栏效应。出现三种现象：混叠、频谱泄露和栅栏效
7、应。出现三种现象：混叠、频谱泄露和栅栏效应。2.5.1 2.5.1 连续非周期信号频谱与连续非周期信号频谱与DFTDFT的关的关系系X(j)Xm采样、周期、取主值采样、周期、取主值采样采样书书书书7575公式（公式（公式（公式（2-602-60）取主值取主值书书书书7575公式（公式（公式（公式（2-622-62）周期周期书书书书7575公式（公式（公式（公式（2-612-61）2.5.1 2.5.1 连续非周期信号频谱与连续非周期信号频谱与DFTDFT的关的关系系X(j)Xm采样、周期、取主值采样、周期、取主值采样采样周期周期取主值取主值2.5.1 2.5.1 连续非周期信号频谱与连续非周期
8、信号频谱与DFTDFT的关的关系系 书书书书7676公式（公式（公式（公式（2-632-63）(注意：注意：注意：注意：N N取偶数值取偶数值取偶数值取偶数值)2.5.1 2.5.1 连续非周期信号频谱与连续非周期信号频谱与DFTDFT的关的关系系 书书书书7676公式（公式（公式（公式（2-642-64）例例例例2 2-6 6：已已知知语语音音信信号号x(t)的的最最高高频频率率fm=3.4kHz,用用fsam=8kHz对对x(t)进进行行抽抽样样。若若抽抽样样信信号号作作N=1600点点的的DFT,试试确确定定Xm中中m=600和和m=1200点点所所对对应应原原连连续续信信号号的的连连续
9、续频频谱谱点点f1和和f2。解：解：解：解：当当m=600时，满足时，满足0 m 799,按按(书77)公式(2-61),可得到：当当m=1200时，满足时，满足800 m 1199,按按(书77)公式(2-62),可得到：注意：注意：Matlab提供的提供的fftshift(X)函数语函数语句句 N点的点的x x k k 经过经过经过经过DFTDFT产生的产生的产生的产生的X X mm 数值，其数值，其数值，其数值，其mm点所对应连续信号点所对应连续信号点所对应连续信号点所对应连续信号x x(t t)的频谱抽样点顺序不一致，即的频谱抽样点顺序不一致，即的频谱抽样点顺序不一致，即的频谱抽样点顺
10、序不一致，即与与与与从小到大从小到大从小到大从小到大的习惯排列方式不一样。因此，采用的习惯排列方式不一样。因此，采用的习惯排列方式不一样。因此，采用的习惯排列方式不一样。因此，采用fftshift(Xfftshift(X)函数重新排列函数重新排列函数重新排列函数重新排列X X(mm)顺序顺序顺序顺序。fftshift(Xfftshift(X)(注意：注意：注意：注意：N N取偶数值取偶数值取偶数值取偶数值)注意：注意：Matlab提供的提供的fftshift(X)函数语函数语句句 N点的点的x x k k 经过经过经过经过DFTDFT产生的产生的产生的产生的X X mm 数值，其数值，其数值，
11、其数值，其mm点所对应连续信号点所对应连续信号点所对应连续信号点所对应连续信号x x(t t)的频谱抽样点顺序不一致，即的频谱抽样点顺序不一致，即的频谱抽样点顺序不一致，即的频谱抽样点顺序不一致，即与与与与从小到大从小到大从小到大从小到大的习惯排列方式不一样。因此，采用的习惯排列方式不一样。因此，采用的习惯排列方式不一样。因此，采用的习惯排列方式不一样。因此，采用fftshift(Xfftshift(X)函数重新排列函数重新排列函数重新排列函数重新排列X X(mm)顺序顺序顺序顺序。fftshift(Xfftshift(X)(注意：注意：注意：注意：N N取奇数值取奇数值取奇数值取奇数值)课后
12、思考课后思考课后思考课后思考2.5.22.5.4 三种现象产生与分析三种现象产生与分析1.1.无限长，其频带有限无限长，其频带有限无限长，其频带有限无限长，其频带有限加窗加窗加窗加窗抽样抽样抽样抽样DFTDFT利用利用DFT分析连续非周期信号的频谱分析连续非周期信号的频谱 2.2.有限长，其频带无限有限长，其频带无限有限长，其频带无限有限长，其频带无限抽样抽样抽样抽样DFTDFT利用利用DFT分析连续非周期信号的频谱分析连续非周期信号的频谱 3.3.无限长，其频带无限无限长，其频带无限无限长，其频带无限无限长，其频带无限加窗加窗加窗加窗 出现三种现象：出现三种现象：出现三种现象：出现三种现象：
13、混叠混叠混叠混叠、泄漏泄漏泄漏泄漏、栅栏栅栏栅栏栅栏抽样抽样抽样抽样DFTDFT混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象（1 1）.混叠现象：减小抽样间隔混叠现象：减小抽样间隔混叠现象：减小抽样间隔混叠现象：减小抽样间隔T T，抗混滤波，抗混滤波，抗混滤波，抗混滤波抗混滤波抗混滤波抗混滤波抗混滤波抽样间隔抽样间隔抽样间隔抽样间隔T T抽样抽样抽样抽样DFTDFT混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象（2 2）.泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数加窗加窗加窗加窗DFTDFT其中：其中：=凯塞窗
14、凯塞窗布拉克曼窗布拉克曼窗哈明窗哈明窗汉宁窗汉宁窗矩形窗矩形窗 kwN频谱泄漏在实际应用中，通常将所观测的信号 xk限制在一定的时间间隔内，也就是说，在时域对信号进行截短操作。或称作加时间窗，亦即用时间窗函数乘以信号，由卷积定理可知，时域相乘，频域为卷积，这就造成拖尾现象，称之为频谱泄漏。改善方法：1）增加xk长度2）缓慢截短混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.2.泄漏现象：泄漏现象：泄漏现象：泄漏现象：矩形窗矩形窗矩形窗矩形窗 窗函数一：窗函数一：窗函数一：窗函数一：时域波形时域波形时域波形时域波形 幅度频谱幅度频谱幅度频谱幅度频谱矩形窗：矩形窗：矩形窗：矩形窗：矩形
15、窗：矩形窗：矩形窗：矩形窗：主主瓣瓣在在=0处处有有一一个个峰峰值值，表表示示其其主主要要是是由由直直直直流流流流分分分分量量量量组组成成。由由于于矩矩形形窗窗函函数数在在其其两两个个端端点点的的突然截断，使得频谱中存在许多突然截断，使得频谱中存在许多高频分量高频分量高频分量高频分量。例例例例：为为了了说说明明时时域域加加窗窗对对连连续续信信号号频频谱谱分分析析的的影影响响，现分析一无穷长的余弦信号的频谱。现分析一无穷长的余弦信号的频谱。加窗加窗加窗加窗抽样抽样抽样抽样DFTDFT加窗加窗加窗加窗抽样抽样抽样抽样DFTDFT结结 论论加窗处理对信号频谱分析影响：加窗处理对信号频谱分析影响：加窗
16、后的频谱存在更多高频成份。加窗后的频谱存在更多高频成份。谱线变成了具有一定宽度的谱峰，降低谱线变成了具有一定宽度的谱峰，降低了频率分辨率。了频率分辨率。例：例：例：例：已知一连续信号为已知一连续信号为 若以抽样频率若以抽样频率 Hz对该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析分析 其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。矩形窗矩形窗例：例：例：例：已知一连续信号为已知一连续信号为 若以抽样频率若以抽样频率 Hz对该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析分析 其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。其频
17、谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。利用矩形窗计算有限长余弦信号频谱利用矩形窗计算有限长余弦信号频谱N=30;%数据的长度数据的长度L=512;%DFT的点数的点数f1=100;f2=120;fs=600;%抽样频率抽样频率T=1/fs;%抽样间隔抽样间隔ws=2*pi*fs;t=(0:N-1)*T;f=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);F=fftshift(fft(f,L);w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);hd=plot(w,abs(F);ylabel(幅度谱幅度谱)例：例：例：例：已知一连续信号为已知一连续信号为 若以抽样频率若
18、以抽样频率 Hz对该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析分析 其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。信号样点数信号样点数N=30 信号样点数信号样点数N=20加矩形窗加矩形窗在选择窗宽度时，所要主要问题：在选择窗宽度时，所要主要问题：增加增加N可以减少窗函数频谱的主瓣宽度，改可以减少窗函数频谱的主瓣宽度，改善频率分辨率。善频率分辨率。增加增加N也会增加旁瓣的能量，导致更多的频也会增加旁瓣的能量，导致更多的频率泄露，影响信号中较弱频率分量的分辨。率泄露，影响信号中较弱频率分量的分辨。选择合适的窗函数选择合适的窗函数选择合
19、适的窗函数选择合适的窗函数-窗幅度逐渐减少，避免窗幅度逐渐减少，避免窗幅度逐渐减少，避免窗幅度逐渐减少，避免较高的旁瓣分量较高的旁瓣分量较高的旁瓣分量较高的旁瓣分量混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.2.泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数汉宁窗（汉宁窗（汉宁窗（汉宁窗（HanningHanning）窗函数二：窗函数二：窗函数二：窗函数二：混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.2.泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函
20、数汉宁窗（汉宁窗（汉宁窗（汉宁窗（HanningHanning）窗函数二：窗函数二：窗函数二：窗函数二：时域波形时域波形时域波形时域波形 幅度频谱幅度频谱幅度频谱幅度频谱混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.2.泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数哈明窗（哈明窗（哈明窗（哈明窗（HammingHamming）窗函数三：窗函数三：窗函数三：窗函数三：混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.2.泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适
21、的窗函数哈明窗（哈明窗（哈明窗（哈明窗（HammingHamming）窗函数三：窗函数三：窗函数三：窗函数三：时域波形时域波形时域波形时域波形 幅度频谱幅度频谱幅度频谱幅度频谱混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.2.泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数布拉克曼窗（布拉克曼窗（布拉克曼窗（布拉克曼窗（BlankmanBlankman）窗函数四：窗函数四：窗函数四：窗函数四：混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.2.泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适
22、的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数布拉克曼窗（布拉克曼窗（布拉克曼窗（布拉克曼窗（BlankmanBlankman）窗函数四：窗函数四：窗函数四：窗函数四：时域波形时域波形时域波形时域波形 幅度频谱幅度频谱幅度频谱幅度频谱混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.2.泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数凯塞窗（凯塞窗（凯塞窗（凯塞窗（KaiserKaiser）窗函数五：窗函数五：窗函数五：窗函数五：混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.2.泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗
23、函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数凯塞窗（凯塞窗（凯塞窗（凯塞窗（KaiserKaiser）窗函数五：窗函数五：窗函数五：窗函数五：时域波形时域波形时域波形时域波形 幅度频谱幅度频谱幅度频谱幅度频谱窗函数类型窗函数类型主瓣宽度主瓣宽度旁瓣峰值衰耗旁瓣峰值衰耗(dB)矩形矩形4p p /N-13Hanning8p p /N-31Hamming8p p /N-41Blackman12p p /N-57Kaiser（）10p p /N-5786.5=b b混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象2.2.泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数泄漏现象
24、选择合适的窗函数泄漏现象：选择合适的窗函数 常用窗函数特性常用窗函数特性常用窗函数特性常用窗函数特性 例：例：例：例：已知一连续信号为已知一连续信号为 若以抽样频率若以抽样频率 Hz对该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析其频谱。分析其频谱。利用利用Hamming窗窗计算有限长余弦信号频谱计算有限长余弦信号频谱N=50;%数据的长度数据的长度L=512;%DFT的点数的点数f1=100;f2=150;fs=600;%抽样频率抽样频率T=1/fs;%抽样间隔抽样间隔ws=2*pi*fs;t=(0:N-1)*T;f=cos(2*pi*f1*t)+0.15*cos(2*pi*f2
25、t);wh=(hamming(N);f=f.*wh;F=fftshift(fft(f,L);w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);plot(w,abs(F);ylabel(幅度谱幅度谱)例：例：例：例：已知一连续信号为已知一连续信号为 若以抽样频率若以抽样频率 Hz对该信号进行抽样，试求由对该信号进行抽样，试求由DFT分析其频谱。分析其频谱。矩形窗N=25矩形窗N=50海明窗N=25海明窗N=50混叠现象、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象3.3.栅栏现象：序列后补零，栅栏现象：序列后补零，栅栏现象：序列后补零，栅栏现象：序列后补零，ZFFTZFFT混叠现象
26、泄漏现象、栅栏现象混叠现象、泄漏现象、栅栏现象3.3.栅栏现象：序列后补零，栅栏现象：序列后补零，栅栏现象：序列后补零，栅栏现象：序列后补零，ZFFTZFFT用DFT计算频谱时，只是知道为频率f=1/T0的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道，这相当通过一个栅栏观察景象一样，故称作栅栏效应。补零点加大周期T0，可使f变小来提高辨力，以减少栅栏效应。栅栏效应改善方法：增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密解：解：解：解：例：例：例：例：，m=0,1,2,3解：解：解：解：例：例：例：例：，m=0,1,2,7解：解：解：解：例：例：例：例：N=30,N=30,L=64,=600/64
27、 N=30,L=128,=600/128 N=30,L=256,=600/256 k01N-1m01N-1DFT参数选取参数选取1.1.2.2.3.3.抽样频率抽样频率抽样频率抽样频率:抽样间隔抽样间隔抽样间隔抽样间隔:抽样时间抽样时间抽样时间抽样时间:抽样点数抽样点数抽样点数抽样点数:例例：试利用DFT分析一连续信号，已知其最高频率=1000Hz，要求频率分辨率Dfc2Hz，DFT的点数必须为2的整数幂次，确定以下参数：最大的抽样间隔，最少的信号持续时间，最少的DFT点数。解：解：(1)最大的抽样间隔Tmax为(2)最少的信号持续时间Tpmin为(3)由最大的抽样间隔Tmax与最少信号持续时
28、间Tpmin，可得最少DFT点数N为 选择DFT的点数N=1024，以满足其为2的整数幂次。思考题思考题在利用在利用DFT分析连续非周期信号频谱过程中，分析连续非周期信号频谱过程中，(2)如何合理选择窗函数？如何合理选择窗函数？(1)如果由于截短信号造成泄漏而导致频谱分辨率如果由于截短信号造成泄漏而导致频谱分辨率下降，可否通过在截短后序列补零得到改善？下降，可否通过在截短后序列补零得到改善？本章小结本章小结l四种信号傅里叶变换的特点及数学公式l有限长序列DFT的定义与物理含义lDFT的性质(循环位移、对称性和循环卷积)l序列DFT、DTFT及Z变换的相互关系l有限长线性卷积与循环卷积关系。分段卷积常用方法(重叠法相加法与重叠保留法)lDFT分析信号频谱出现三种现象，以及改进方法
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