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1、一、 直角三角形的性质：1 、两个锐角互余 C=90 A+B=90A2、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 C=90 A=30 BC= 1 ABD23、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 D 为 AB的中点 CD= 1 AB=BD=AD2CB4、勾股定理： a 2b2c 2 ： a2b2c2 还可以变形为 a2c2b2 ， b2c2a2 5、射影定理： 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ACB=90 CD ABCD 2AD ? BDAC 2AD ? ABBC 2BD ? AB6、常用关
2、系式由三角形面积公式可得：AB? CD=AC? BC二、锐角三角函数1、锐角三角函数定义：在 RT ABC 中， C=90，a 、 b 、 c 分别是A、 B、 C 的对边，则：A的对边acos AA的邻边bsin Ac斜边c斜边A的对边acot AA的邻边btan AbA的对边aA的邻边常用变形： a cgsin A ； ca等，由同学们自行归纳sin A2、锐角三角函数的有关性质：（ 1）当 0 A90时， 0sin A1 ； 0 cos A1； tan A0 ； cot A 0（ 2）在 0 : 90之间，正弦、正切（sin 、 tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（ cos
3、、 cot ）的值，随角度的增大而减小。3、同角三角函数的关系：sin2Acos2A1tan Agcot A1sin Acos Atan Acot Acos Asin A常用变形： sin A1 cos2Acos A1 sin2 A（用定义证明，易得，同学自行完成）4、正弦与余弦，正切与余切的转换关系：如图 1 ，由定义可得： sinAacos Bcos(90A)同理可得：csin Acos(90A)cos Asin(90A)tan Acot(90 A)cot Atan(90A)5、特殊角的三角函数值：AA22302345BC260BC1三角函数030456090sincostan-cot-二
4、、有关三角函数计算（计算器、特殊角）三、解直角三角形已知的一些边、角求 另一些边、角1、解直角三角形的基本类型及其解法总结：类型已知条件解法两直角边 a 、 bca22， tan Aa ，B90Ab两边ba ，直角边 a，斜边 cbc2a2， sin AB90Ac一边直角边 a ，锐角 AB90A ， baa cot A ， c一锐角斜边 c ，锐角 Asin AB90A ， acgsin A ， b cgcosA例 1：在 Rt ABC中 , C=Rt ,a,b,c 是 ABC的三边 ,a=6, B=30求 A,b,c.在 Rt ABC中 , C=Rt ,a,b,c是 A, B, C的对边
5、,a=5,b= 53 , 求 c, A, B.例 2: 在 RtABC中 , C=Rt ,a,b,c 是三边 , 且 ctgA3,a=6. 求 c.在 RtABC中, C=Rt , B=30 ,a-b=2.求 c.8在 RtABC中 , B=45 , C=60 ,BC= 62 3 . 求 SABC及ABC的周长 .在 RtABC中, C=Rt,在 RtABC中 , C=90,BC,AD.AC8 5 , A的平分线 AD的长是 1615 解直角三角形 .3AB 10 3 , cosABC3.D 是 AC上一点 DBC=30 . 求52、解直角三角形的实际运用(1) 仰角：视线在水平线上方的角；俯
6、角：视线在水平线下方的角。视线铅垂线仰角水平线hih : l俯角视线l(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 ( 坡比 ) 。用字母 i 表示，即 ih。坡度一般写成 1: m 的形式，如 i1:5 等。把坡面与水平面的夹角记作l( 叫做坡角 ) ，那么htan 。il(3) 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、 OD的方向角分别是：45、 135、 225。(4) 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角， 叫做方向角。如图 4,OA、OB、 OC、 OD的方向角分别是：北偏东 30（东北方向） ， 南偏东 45（东南方
7、向） ，南偏西 60（西南方向） ， 北偏西 60（西北方向） 。补充： 在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。有关公式（1） S1 ab sin C =1 bc sin A =1 ac sin B222（2） Rt 面积公式： SV1 ab1 ch22（3）结论：直角三角形斜边上的高abhc（ 4）测底部不可到达物体的高度如右图，在 Rt ABP中，BP=xcot A在 Rt AQB中，xBQ=xcotQaPBBQ BP=a，即 xcot -xcot =a解直角三角形的知识的应用，可以解决：(1)测量物体高度(2)有关航行问题(3)计算坝体或边路的坡度等问题3、
8、三角形的面积公式：已知ABC 中， A、 B、 C 的对应边分别是a 、 b 、 c ，如图 2，过点 A 作 AD BCAD于点 D。在 RTABD 中， sin B，即： ADABgsin B （ ADcgsin B ）ABS ABC1 BC gAD1 agcgsin B1 ac sin B （其中： B 为 a 、 c 的夹角）222同理可得 ： S ABC1 ac sin B1 bc sin A1 ab sin C （三角形的面积公式）222由面积公式可得：1 ac sin B1 bc sin A22两边同时除于 1 c得：a sin B bsin Aab2abcsin Asin B同
9、理可得， 正弦公式：sin Asin Bsin C余弦定理如图 2： ADbgsin C ， BDBCCDa bgcosC ，在直角三角形ABD 中，由勾股定理得：AB2AD2BD2c2(bgsin C)2bgcosC) 2( a整理得：c2b2 sin2 Ca22ab cosCb2 cos2 Cb2 (sin 2 Ccos2 C ) a22ab cosCc2b2a22ab cosC整理得到余弦定理： c2a2b22ab cosC （ C 为a 、 b 的夹角）同理可得：（余弦定理及其变形）a2b2c22bc cos Acos Ab2c2a22bcb2a2c22ac cos Bcos Ba2c
10、2b22acc2a2b22ab cosCcosCa2b2c22ab四、三角函数与相似：如图 5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解：ADABxx 3.2DEBCcos AAC610sin AACAEAE如图 6， tan ADEBCx6AEAB48备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些C五、三角函数与一次函数设一次函数 ykx b 经过点 A( x1 , y1) 与 B( x2 , y2 ) 那么我们可以列出方程组：y1kx1by2y1ADB则可以得到：如下图所示：k tany2kx2bkx1x2B(x 2,y2)y2y2-y1A(x 1,y1) y1x2-x1Ox1x2