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1、高等数学公式定理整理1.01 版本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。蓝色为定理红色为公式三角函数恒等公式：两角和差cos( ) cos?cos sin ?sin cos(- )=cos osc+sin in s sin()=sin in ccos osstan(+ )=(tan+ tana(1- tan an tatan(- )=(tan- tan an+)tan an ta和差化积(+ )(- )sin+ sin= 2sincos22(+ )(- )sin- sin= 2cossin22(+ )(- )cos+ cos= 2coscos22(+ )(- )cos
2、- cos= -2sinsin22积化和差1sin in c=sin( + )+sin(- ) 21cos oss=sin( + )-sin(- )21cos osc=cos(+ )+cos(- ) 21sin in s=-cos(+ )-cos(- )2倍角公式（部分）：很重要！sin2= 2sin sin =2(tan+ cotocos2= cos2 - sin2 = 2cos2-1 = 1- 2sin2 tan2=2 tan 1- tan2一、函数函数的特性：1. 有界性：假设函数在D 上有定义，如果存在正数M，使得对于任何的x D 都满足 |f(x)|M。则称 f （ x）是 D 的有
3、界函数 。如果正数M不存在，则称这个函数是D上的 无界函数 。2. 单调性设 f （ x）的定义域为 D，区间 I D。X1， x2I ，那么，如果 x1x2, 那么就是 单调减少函数 。3. 奇偶性xx0如果 f(-x)=f(x),那就成为偶函数，如果f(-x)=-f(x)，那就是奇函数。4. 周期性设函数的定义域为D，若存在不为零的数T，使得任一xD有（ xT） D，且 f （ x T）=f （ x）总是成立，就称该函数为 周期函数 ，如 sin x ， cos x ，它们就是以2为周期的周期函数。反函数：就是用自变量X 来表示原函数Y，如下列式子：原函数 f(x)=x+5，它的反函数为x
4、=f(x)-5,也就是 （f x）=x-5 ；复合函数和初等函数：重要！：六个基本初等函数是： 幂函数（ xa）, 指数函数（ ax），对数函数（ log ax， lg x 【 log 10x】， ln x 【 log ex】），三角函数（ sinx ，cosx ， tanx ， ctnx ，secx ， cscx ），反三角函数（常见反三角函数为 arcsinx ， arccosx ， arctanx ）复合函数就是初等函数， 初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的 ，分段函数不是初等函数。二、极限与连续极限就是一个数无限趋近于一个值，函数极限就是函数无限趋近于一个值，用limf （
5、 x） =A如何得知一个函数有极限？算出左极限和右极限。并且左右极限相等。极限运算法则lim xx0f （ x） g(x)=limxx0 f （ x） lim xx0 g （ x）=A Blim xx0cf （ x） =climxx0f （x） =cAlim xx0f （x） lim xx0g （ x）=lim xx0 f （x） g（x）=A Blimlimf(x )xxxx 0 g(x )limxx0）f( x )0= A （Bg ( x )B0limlimAnx f ( x)nxf ( x)nx0x0limlimn Axn f (n)nf ( x)x0xx0重要！：两个重要极限1. 夹逼
6、准则如果 xn，yn，zn 满足 xn yn zn那么 limynlimznlimx n a 这就是夹逼准则。nnnlimsin xlimsin 1x12. x0 x或者1xx图 1如图 1， AOC=x（ 0x2/） ，由于 |BD|=x ，弧 BC=x，|CA|=tan x 且 OBC面积扇形 OBC 面积 AOC面积，于是有：1 sinx1 x1 tan x222化简 sinxx tan x两边同时除以 sinx1xtan x 即x即sin x1sin x1sin xcosx cosxxsin x根据夹逼准则得出limlimsin xlim1cos xxx0x 0x 0limsinx1所
7、以0 xxlim1lim1xxe（或（）（这是标准公式，3. x1xe1x0x题目有类似的把它转换成标准公式即可）4.无穷大量和无穷小量（ 1）性质 1，无穷小量和有界函数的积仍为无穷小量（ 2）性质 2，两个无穷小量之积仍为无穷小量（ 3）性质 3，两个无穷小量的代数和仍为无穷小量定理 1，在自变量变化过程中，函数有极限的充分必要条件是函数可写成常数和无穷小量的和。定理 2， b 与 a 是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o（ a）定理 3,设 aa,bb，且 limb /a存在，则 lima/b=lima /b。无穷小量的比较：limb0高阶无穷小limb低阶无穷小limbC0同阶无穷小
8、limab1等价无穷小aaa其中等价无穷小可运用到极限运算中（加减关系不能用，乘除关系可以用，且x 趋于 0）等价公式：当x 0 时， sinxx ， tanxx ，arcsinxx ，arctanxx ，1-cosx(1/2)* （ x2 ）secx-1，（ ax）-1x*lna (（ ax-1)/xlna) ，（ ex）-1x ，ln(1+x)x ，(1+Bx)a-1aBx， (1+x) 1/n -1 （ 1/n ） *x ， loga(1+x)x/lna，（ 1+x)a-1ax(a0)，5.连续定义设函数f（ x）在 x0 的某个去心邻域内有定义，若lim（ x0） y=0，则称函数f（
9、 x）在 x0 这个点连续。条件：（ 1）f（ x0）有定义，有数值；（ 2）lim （ xx0 ）有极限，（ 3）且左右极限相等；才连续。limf( x)xf ( x)x 0左右连续和左右极限相同，如图：limf( x)xf ( x)x 0就是说只有左右连续相等，且有定义，那么才连续。（ 1）间断点根据函数连续的定义，可以分成四个间断点。可去间断点：左右极限存在且相等，但是却没有定义。跳跃间断点： 左右极限存在却不相等，在该点有 （无）定义。震荡间断点：极限不存在，函数值在几个数之间摇摆。无穷间断点：在区间内极限区域无穷大。闭区间连续函数的性质：1、 a,b 区间里连续函数，必定存在最小值和
10、最大值；2、函数 f（ x）在 a,b 区间连续，则在a,b 必定有界；3、若函数f(x)在 a,b 连续，且 f(a)=A,f(b)=B, 又 AB，C 是介于 A ，B 的一个值，则必定存在一个点，使得f（） =C ；4、若函数 f(x) 在 a,b 连续，且 f(a) ， f(b) 异号，则一定存在一个 x0 （ a，b ），使得 f （x0 ） =0 ；三、导数导数的几何意义就是f(x)在 x 点函数的切线的斜率；limf ( x)f ( x0 )求某一点的导数f ( x)xx0x x0连续不一定可导，可导一定连续；导数的求导公式：1.y=c(c为常数 ) y=02.y=x ny=nx
11、(n-1)3.y=a xy=axlnay=ex y=e xy=lnx y=1/x5.y=sinx y=cosx6.y=cosx y=-sinx7.y=tanx y=1/cos2x8.y=cotx y=-1/sin2x9.y=arcsinx y=1/1-x 210.y=arccosx y=-1/ 1-x 211.y=arctanx y=1/1+x2212.y=arccotx y=-1/1+x函数的求导法则： f ( x)g(x) f (x) g(x) f ( x)g(x) f (x) g(x) f ( x) g(x) f (x) f (x) g(x)f ( x) g( x)g(x) g( x)
12、2复合函数求导法则：dydy du依次循环链式法则： dxdu dxf ( x)ex 1f (x)ex 1 ?( x1)例： f (x)ex 1隐函数求导法：（ 1）两端同时求导x2y225d ( x2y2 )d 25dxdxd x2d y2 25整理dxdx2x2 y dy0求导dx2 y dy2xdxdyxdxy（ 2）等式两端取对数1. 先将等式两边取自然对数； 2. 对等式两边求导；参数方程求导法：罗尔定理： a,b连续， (a,b)可导，且 f(a)=f(b),则有一个数，使得f ( )=0 。拉格朗日定理：a,b连续， (a,b)可导，则 (a,b) 至少有一点，使得f(b)-f(
13、a)=f ( )(b-a)即 f (b)f (a)f ()ba罗必塔法则，求极限，如果函数的关系诸如0 或者 的未定0式，可以直接对分子分母求导运算。如果是0 时可通过11 来求。如果是0-0 或 - 可以通分来求。0 00函数的单调性和极值：四步走： 1. 求定义域； 2. 求导； 3. 在定义域中求一阶导数为0 的点（驻点）；4. 列表说明单调增减函数的凹凸率，1. 求定义域； 2. 求二阶导； 3. 求定义域中二阶导为 0 的点（拐点）；4. 根据拐点和定义域列表。二阶导为正数则是凹，为负数则是凸；四、不定积分不定积分和导数是逆运算关系；不定积分求法分三种：直接积分（直接使用基本公式求）
14、；第一类换元积分（用一cos2xdx个字母代替变量， 如：cos 2xd 2x ）；第二类换元积分法 （当sin 2x c被积函数中有诸如axbx 这样的根式，可令根式为u，然后依次往下， 带入原式） ；分部积分法： udv uvvdu五、定积分1. 求定积分上限函数和下限函数上限函数x（ ）2tdt2x x 1下限函数1 2x (x)2tdtx就是求下限积分时，把符号倒过来变成上限积分；2. 牛顿拉布尼茨公式（用不定积分的公式求，最后不加常数c）3. 广义积分（积分上（下）限无穷和瑕积分）（ 1）积分区间的无穷区间即求广义积分的敛散性，如果axdx limaaxdxxdxaxdx limxd
15、xxx如果他们极限存在，则可以称为收敛，反之，则是发散；如例题：e x dxlime xdxlim e x 0x e x 1 10x0x所以这个积分是收敛的；（ 2）瑕积分（在无穷间断点的广义积分）讨论广义积分1 1 dx的敛散性；1 x 2这题可别被外表蒙蔽，因为函数极限在f （ 0）外连续，在f（ 0）处无定义点；于是：lim12，所以 x=0 是被积函数的无穷间断x 0x11dx01dx(因为函数1是偶函数 )1x21x2x2lim012 dxlim 1 1lim 1 11x0xx 0xx0所以，该函数是发散的；六、微分方程1. 可分离变量的通解，直接计算2. 齐次方程通解，用u 代替
16、yx3. 一阶线性非齐次方程的通解形如 yp( x) y q( x)备注 q(x) 0y ep( x)dxp( x) dx q( x) ?ec附：一阶线性齐次方程的通解y ep( x ) dxc4. 可降解二阶微分方程通解y( x)连续积分两次，注意，要有两个常数 c1，c2y (y , x) 令yu， yu,依次降阶计算y （ y, y）令 yu，y u du ，依次计算dx5. 二阶线性齐次方程通解形如 yp(x) y q(x) y0r 2p(x)rq(x)0参数方程求法解一元二次方程组，得r1，r2;如果 r1 ， r2是不相同的两个实数根（单根），那么y C1er 1xC 2er 2
17、x如果 r1 ， r2是两个相同的实数根（重根），那么y(C1C2x)erx如果 r1 ， r2 是两个非实数根（共轭复数根），那么rabiyeax (C1cosbxC2 sin bx)二阶线性非齐次微分方程的通解二阶线性非齐次方程的通解等于对应二阶线性齐次方程的通解加上二阶线性废非弃次方程的特解yYy二阶线性非齐次方程的特解：自由项f (x)Pn (x) 的特解Pn* (x)=x kQ(x)e xQ（ x）：看他是多少次的，例如二次就是Ax2+Bx+C，一次就是 Ax+B；的数值和参数方程的根r 对应，如果只有一个数对应（单根），那么 k 取 1，, 如果是重根 （两个数都对应， 即 r1=r2 ），则 k 取 2；如果没有相同的，则 k 取 1；