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1、关于BDLM模型和ARMA 模型的一个注解 李金龙 费方域 谈 毅 (上海交通大学安泰管理学院) 【摘要】长期以来, ARMA模型在中国股市领域、预测领域得到了广泛的应 用。近来的研究表明,由于中国股市的自身特点,一般不用ARMA模型来预测, 而用贝叶斯动态模型BDLM进行股市预测。本文从理论研究的角度出发,证明这 两类模型之间的关系,从而希望对应用研究能够产生一些指导意义。 关键词 ARMA模型 ARIMA模型 BDLM模型 中图分类号 F830191 文献标识码 A A Note on The BDLM2model and ARMA2model Abstract : ARMA2model
2、has been widely used in the forecasting of Chinese stock market for a long time1Now , some researches found that the ARMA model cannot be used to forecast because of the Chinese markets feature , while the BDLM2model can be used for the forecasting1The ralation between two models in the sight of the
3、 theory research is found in this paper1 Key words : ARMA2model ; ARIMA2model ; BDLM2model 引 言 长期以来, ARMA模型在股市领域、预测领域得到了广泛的应用,但是这个方法并不 适合中国股市。这是因为,与西方发达国家成熟的股市相比较,中国股市(以A股市场为 代表)是一个新兴的、发展中的资本市场,历史短、变化大(规模不断扩大、政策不断变 化)、不规范、披露信息量少(除年报外,中报的历史很短且至今没有季报)。而ARMA模 型要求有较长历史且较稳定的数据,也就是说, ARMA模型必须要满足时间序列的平稳性 假
4、设,如果是非平稳的,要通过差分法转化为平稳序列进行研究,并要求足够多的数据才能 得到较好的预测,但由于中国的股市建立时间较短,用这种方法很难得到准确的预测。而提 高统计推断的精度主要靠数据的多少来决定,这对于样本数据较少的情况,往往有很大的困 难甚至无能为力。 采用贝叶斯动态线性模型(Bayesian Dynamic Linear Model , BDLM)就可以有效解决 这个难题。首先, BDLM模型假定模型参数在随时间变化,这符合中国股票市场的实际情 况;其次, BDLM模型根据过去所有的信息(即先验信息)和当前的数据对模型参数的分 551关于BDLM模型和ARMA模型的一个注解 布进行不
5、断修正,得到后验分布,再从后验分布出发对未来进行预测。由于这种修正是随时 间推移不断进行的,因此可以更好地模拟股市的运动,从而有望得到更好的预测效果。更为 重要的是, BDLM模型没有序列平衡性要求,通过加入预测者的历史经验和知识建立先验 分布,这样就大大减少了所需要的数据。 目前,英、美等国关于BDLM模型的理论和应用研究取得了一些重要成果(West和 Harrison , 1999 ; Box等, 1994)。而国内的相关研究才刚起步(张孝令、刘福升等, 1992 ; 张孝令等, 1994) ,出现较多的是应用方面的研究,有关理论方法方面的研究鲜为人见。本 文基于张孝令研究的基础探讨了BD
6、LM和ARMA两类模型之间的关系。通过分析发现, A RMA( p , q)模型是BDLM模型的一个特例,并且更为一般的A RIMA ( p , d, q)模型 也是BDLM模型的一个特例。 一、BDLM模型简介 贝叶斯动态线性模型是英国统计学家West , M和Harrison , J在1976年为了解决非平 衡时间序列而提出的一种预测方法,这种预测方法通过加入预测者的历史经验和知识建立先 验分布,大大减少了所需要的数据,并且预测的精度较高。所谓BDLM模型是指: 观测方程 状态方程 初始先验 yt=Ftt+vt, vtN 0, Vt t=Gtt- 1+t,tN 0, Wt (0/ D0)N
7、 M0, C0 (1) vt和t各自独立并且相互独立,且与(0/ D0)独立。 引理 BDLM的一步预测和后验分布为(张孝令、刘福升等, 1992) : (1)t- 1时刻的后验分布为对于均值mt- 1和方差矩阵Ct- 1有(t- 1/ Dt- 1)N mt- 1, Ct- 1。 (2)t时刻的先验分布为(t/ Dt- 1)N at,Rt,其中at=Gtmt- 1,Rt=GtCt- 1Gt+ Wt。 (3)一步预测分布为 ( y t/ Dt- 1)N ft, Qt,其中ft=Ft a t, Qt=Ft R tFt+Vt。 (4)t时刻的后验分布为(t/ Dt)N mt,Ct,其中Mt=at+A
8、tet,Ct=Rt- A AtQt, At=RtFtQ - 1 t, et=yt-ft。 通过引理可知, BDLM模型对参数t的“先验”概率分布进行更新得到“后验”概率 分布,再对观测变量yt的一步预测进行补充,该计算过程非常类似于Kalman滤波过程。 显然参数的后验方差小于先验方差,即Ct=Rt-A AtQtRt,意味着BDLM模型提高了参 数预测的精度,并且参数的后验均值Mt=at+Atet和先验均值at相比,增加了观测值修正 项et=yt-ft,因此,和一般的ARMA模型相比, BDLM模型大大改善了预测的效果。 二、BDLM模型和ARMA模型 由上面可知,两类模型具有一定的差别, A
9、RMA模型必须要满足时间序列的平稳性假 设,如果是非平稳的,要通过差分法转化为平稳序列进行研究,并要求足够多的数据才能得 到较好的预测;而BDLM模型就没有序列平稳性要求,它通过加入预测者的历史经验和知 识建立先验分布,这样就大大减少了所需要的数据。除了上述区别之外,两类模型还具有一 定的联系,令Ft=(1,0,0), Vt= 0 ,则BDLM模型(1)就变为: 651数量经济技术经济研究2006年第6期 观测方程 状态方程 初始先验 yt=(1,0,0)t t=Gt- 1+, N 0, W (0/ D0)N M0, C0 (2) 下面基于模型(2)进行分析。 BDLM模型和自回归模型A R
10、( p)。 令 =(t,0,0,0)为常随机向量,tN(0, 2 ) , t = 1,2,并且状态转 移矩阵为: G= 110 0 2010 p- 1001 p000 pp 则BDLM模型(2)最终就变为: yt= p i =1 iyt- i+t,tN(0, 2) (3) 实际上,这就是自回归模型A R ( p) ,因此有如下结论。 定理1 自回归模型A R ( p)是BDLM模型的一种特殊形式。 BDLM模型和移动平均模型MA(q)。 令 =(t,1t- 1,2t- 2,qt-q)为常随机向量,tN(0, 2 ) , t = 1,2, 并且状态转移矩阵为: G= 010 0 0010 000
11、1 0000 (q + 1) (q + 1) 则BDLM模型(2)最终就变为: yt= q i =1 it- i+t,tN(0, 2) (4) 实际上,这就是移动平均模型MA(q),因此有如下结论。 定理2 移动平均模型MA (q )是BDLM模型的一种特殊形式。 BDLM模型和自回归移动平均模型A RMA( p , q)。 令状态转移矩阵为: G= 110 0 2010 n- 1001 n000 nn 751关于BDLM模型和ARMA模型的一个注解 =(t,1t- 1,2t- 2,p时,k= 0,而kq时,k= 0。则BDLM模型(2)最终就变为: yt= p i =1 iyt- i+ q
12、i =1 it-1+t,tN(0, 2) (5) 实际上,这就是自回归移动平均模型A RMA( p , q),因此有如下结论。 定理3 自回归移动平均模型A RMA( p , q)是BDLM模型的一种特殊形式。 三、推 广 事实上,正如引言所提到的大部分情况下过程都是非平稳的,这时通过差分法进行平稳 化,就出现了差分自回归移动平均模型A RIMA ( p , d, q) ,其中p为自回归项数, q为移 动平均项数,d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。通过类似于上述的分析方法就可以 得到推广的结论。 定理4 差分自回归移动平均模型A RIMA ( p , d, q)是BDLM模型的一种特殊形式
13、。 综上所述,本文从理论方面探讨BDLM模型和ARMA模型之间的关系,通过分析发 现,无论是简单的自回归模型A R ( p)、移动平均模型MA (q) , 还是较为复杂的自回归移 动平均模型ARMA都是BDLM模型的一个特例,并且更为一般的差分自回归移动平均模型 A RIMA ( p , d, q)也是BDLM模型的一个特例。 参 考 文 献 1张孝令、刘福升等:贝叶斯动态模型及其预测M ,山东科学技术出版社, 1992。 2张孝令、葛颜祥、张承进:贝叶斯预测与鲍克斯 詹金斯预测的比较J ,山东矿业学院学 报1994年第3期。 3陆璇、陈小悦等:中国上市公司财务基本信息对未来收益的预测能力J
14、,经济科学2001 年第6期。 4陆璇、刘慧霞、陈晓:中国上市公司未来收益预测的实证研究 贝叶斯动态模型及其预测 J ,中南大学学报2003年第2期。 5陆璇、张岭松、陈小悦:利用上市公司公开的财务信息预测未来的销售J ,当代经济科学 2003年第1期。 6 West , M1and Harrison , J1Basyesian Forecasting and Dynamic Models ,2nd edn M , New York : Springer1(1999)1 7 Box , G1E1P1, Jenkins , G1M1, and Reinsel , G1C1Time Series A nalysis ,Forecasting and Con2 trol ,3rd edn M , Englewood Cliffs: Prentice Hall1(1994)1 (责任编辑:彭 战) 851数量经济技术经济研究2006年第6期