线性系统的状态空间分析与综合 例题解析.doc

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1、第9章 线性系统的状态空间分析与综合例题解析例9-1 对于图9-1所示的质量弹簧系统，当外力F（t）作用时，系统产生运动，质量及弹簧弹性系数见图示。如不计摩擦，试：（1）以质量m2的位移y(t)为输出，外力F(t)为输入，列写系统的运动方程；（2）求从F(s)到y(s)的传递函数；（3）以框图表示上述系统；（4）自选一定数目的状态变量，建立上述系统的状态方程和输出方程。y(t) y(t)k1k2F(t)m1 m2图9-1 质量弹簧系统解：（1）设质量块m1的位移为z，根据牛顿定律有 1)同理对质量块m2有 2)联立式1）和2）消去中间变量，得出系统微分方程： 3)(2) 对式3）进行拉氏变换可

2、得 4)(3) 对式（1）进行拉氏变换可得 5)同样处理式2)有 6)由式5)，式6)可以画出系统结构图，如图9-2所示。yk1FZ图9-2 系统结构图（4）设状态变量 由式1) 1 由式2) 因此有 例9-2 在图9-3所示系统中，若选取x1，x2 ，x3作为状态变量，试列写其状态空间表达式，并写成矩阵形式.ux2x3x1 s图9-3解： 由结构图可得 整理可得系统状态空间方程表达式 写成矩阵的形式 例9-3 设系统微分方程为 系统初始条件为零，试：（1）采用传递函数直接分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图；（2）采用传递函数并联分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图。解：

3、系统的传递函数为 1)(1) 令 2)式中 3) 4)由式3) 令 则有 由式4) 有 (2) 对式1)进行部分分式展开，有令 则有 故有 两种形式的状态空间表达式所对应的状态图分别如图9-4（a），（b）所示。7158148x3x1x2yu(a)x1124x2yux3(b)图9-20 系统状态模拟图例9-4 线性定常系统的齐次状态方程为系统的初始状态为 求系统齐次状态方程的解x(t)。解：先求系统的状态转移矩阵。解法一 按矩阵指数定义=解法二 用拉氏变换法 故得 解法三 用凯莱哈密顿定理系统特征方程 系统矩阵有A两个互异特征值 故 系统齐次状态方程的解为例9-5 设系统状态方程为 已知当X(

4、0)=时， x(t)=； 当x(0)=时，x(t)=，试求系统矩阵A及系统状态转移矩阵。解：先计算状态转移矩阵。设齐次方程解为，依题意应有 1) 2)解方程组得故 计算系统矩阵A,由状态转移矩阵性质得 注意：根据1)，2)可以列出下面的式子,用以求得故 例9-6 设系统运动方程为 式中 a，b，c均为实数；u为系统的输入；y为输出。试：(1) 求系统状态空间表达式；(2) 画出系统相应的模拟结构图；(3) 当输入函数时，求系统状态方程的解。解：（1）依题意可写出系统传递函数令 则可得 故有 （2）依状态空间表达式，可画出系统模拟结构图（即状态图），如图9-5。（3）系统状态转移矩阵 yx1ua

5、x2b图9-5例9-7 一系统的微分方程为（1）建立系统的动态方程；（2）用四种方法求系统的转移矩阵。解：(1)由微分方程可得到系统传函为用s2除以G(s)的分子和分母得 根据梅逊增益公式，可画出如下信号流图图9-6由图可知 写成矩阵形式为（2）求状态转移矩阵 首先用拉氏变换法求eAt 用特征值、特征向量法求eAt特征方程为 特征根为 特征向量为，广义特征向量为非奇异变换矩阵 用待定系数法求eAt由凯莱哈密尔顿定理知 对求导得 联立求解上面两个方程得图9-7 用信号流图法求eAt将系统的信号流图变为图9-7，由梅逊公式知12s1s2和的关系为和的关系为 和的关系为和的关系为 由 可得 因此 例

6、9-8 对例9-7中的系统，当输入量为，初始条件为时，求输出量。解: 令 微分方程变为 令 有 写成矩阵形式 上题已求出系统状态的初始值为 输入为 系统的转移状态方程为 例9-9 太阳能加热系统的微分方程为： 这里和是系统输入，是系统的干扰。当，初始条件为零时，求系统响应。解：由题目知 有 则 例9-10 已知一线性定常系统的状态转移矩阵为 试求该系统的系统矩阵A。解：可用两种方法求A（1）由知（2）由状态转移矩阵的性质知 因此有 例9-11 图 9-8（a）所示电网络的输入端电压如图（b）所示，试求电流i（t）的表达式。（a） （b）图9-8 （a）电路图 （b）输入电压解：（1）建立状态方

7、程，由电路知识有选i（t）为状态变量，即令x1i（t） 即 (2)系统的状态转移矩阵为，可用两种方法求电流i（t） 把输入电压表示成，用拉氏变换的方法求解电流i（t）。 把整个过程看成两段，第一段是由x(0)转移到x(t2)，第二段由x2(t)转移到x(t)。这里用第二种方法计算。对于第一段，有e(t)=E,0tt2，按定常系统状态方程的求解公式有： 对于第二段，有e(t)=2E，ttv,初始状态为 于是 例9-12 已知矩阵 ,求.解：（1）求A的特征值特征方程 特征值为 （2）求非奇异线性变换矩阵P对应和的特征向量为 因此有 （3）计算eA（4）计算sinA（5）计算A100 例9-13

8、已知矩阵试用凯莱哈密尔顿定理计算A7A32I。解：系统的特征方程为 由凯莱哈密尔顿定理知 于是 例9-14 已知矩阵 试利用状态转移矩阵的性质求,并用特征值,特征向量法验证。解: 将A分为两个矩阵之和 由于,所以对于矩阵A有 而于是 例9-15 线性定常系统传递矩阵为（1）求系统可控标准形实现，画出系统状态图；（2）用传递函数并联分解法，求系统对角形实现，画出系统状态图。解：（1） 利用传递函数直接分解法得可控标准形实现 （2）令 可得 故 可控标准形，对角形实现对应的状态图分别如图9-9(a)，(b)所示。（a）x112321x2y1u x3y2(b)图9-9例9-16 已知系统传递矩阵为

9、求最小实现。解：为方便计，先求其转置实现：利用传递函数直接分解法可得 再对其进行转置，得出系统实现为 例9-17 已知系统的输入输出方程为 试分别求出满足下述要求的状态空间表达式：（1）系统为可控可观测的对角标准形；（2）系统为可控不可观测的；（3）系统为可观测不可控的；（4）系统为即不可控也不可观测的。解：（1）令 可得 故有 1)(2) 在G(s)中分子，分母各乘一因子“”，使之存在零极点对消，即 采用可控标准形实现，系统一定是可控（必然不可测）的，有 2)(3) 利用式2)的对偶实现，系统必是可观测不可控的，有 3)(4) 在式1)的基础上，加一个不可控不可观测的状态变量，构成不可控不可

10、观测的系统实现，即 4)式中 a为任意实数。注意:实现的方案有很多种,本题答案仅供参考.例9-18 一控制系统结构如图9-10所示。其中（1）画出相应的信号流图,列写动态方程；（2）确定系统的稳定性；（3）判断系统的能控性和能观性。U(s) Y(s) 图9-10 系统结构图解:(1)可变为于是，根据结构图画出信号流图如9-11：图 911分别令积分器的输出为状态变量,于是 整理后得 (2)分析系统的稳定性可用两种方法求系统特征方程 特征方程为 系统的闭环传递函数为特征方程 根据特征方程列劳斯阵列为第一列系数均大于零，因此系统稳定。（3）能控判别矩阵。，系统能控。能观测判别矩阵，系统能观。例9-

11、19 考虑由 定义的系统。除了明显的选择c1c2c30外，试找出使得该系统不可观测的一组c1，c2和c3。解：A矩阵为友矩阵，于是将友矩阵化为对角线矩阵的非奇异线性变换矩阵为因为，非奇异变换不改变系统的能观性，于是当 任一组成立时，该系统都不能观测。例9-20 线性定常系统的传递函数为（1）指出当a为何值时，系统是不能控或不能观的?（2）建立动态方程，使系统是不能控的。（3）建立动态方程，使系统是不能观的。解：（1）G(s)可变换为当a1，2或3时，传递函数出现零，极点相消的现象，这时系统是不能控或不能观的。（2）当a1时，系统的能观标准型为此时，系统能观，但不能控。（3）当a=1时，系统的能

12、控标准型为此时，系统能控不能观。 例9-21 一系统的传递函数为确定系统的能控性和能观性。解：可以证明对于单输入，单输出系统来说，系统能控,能观的的充要条件是：传递函数没有零，极点对消现象。该系统传递函数无零极点对消现象，因此系统能控且能观。例 9-22 一系统的微分方程为，其中y是输出，u是输入。（1）选择相变量作为系统的状态变量，分析系统的能控性和能观性。（2）选择状态变量为和，分析系统的能控性和能观性。（3）分别对上述两种情况进行非奇异变换，分析系统的能控性和能观性。解：（1）系统的传递函数为存在零极点相消现象，系统不是完全能控和能观的。 相变量形式的信号流图为 图9-12动态方程为（2

13、）当 时，写成矩阵形式为 信号流图为图9-13（3）对于情况（1）特征值为，特征向量为，广义特征向量为。 系统能控不能观。对于情况（2）系统不能控但能观。由此可见，经线性非奇异变换，系统的能控性和能观性没有改变。例9-23 系统结构图如图9-14所示,图中,均是实常数.试建立系统的状态空间表达式,并分别确立当系统状态可控及系统可观测时,a ,b，c ,d应满足的条件。 yx1x2ucbad 图9-14 系统结构图解：依系统的结构图可列出 可见,当时系统可控;当时系统可观测。例9-24 设 其中, a1，a2，a3，c1为实数.试问,(A,C)可观测的充分必要条件是什么?要求用A和C中的参数具体

14、表示。解:可见,当时,系统可观测。例925 设在线性系统中 （1）请判断其可控性，并求出其可控子空间；（2）判断其可观测性，并求出其不可观测子空间；（3）计算其传递函数。解: 系统特征方程为可见，系统特征值为互异单根，可以对角化。设矩阵A相对于的特征向量为P1则有 可解出 取 则有 同理，对相应的特征向量设为P2,有解出 取 有 同样,对 可得;对,可得使系统化为对角形的线性变换矩阵为 对角化后的状态空间表达式为 可看出,系统不可控不可观测.构成可控子空间构成可观测子空间系统传递函数为例9-26 给定系统的状态空间表达式为请判断系统的可控性，可观测性。若不完全可控，请用坐标变换分出其可控和不可

15、控的子系统，讨论能否用状态反馈使闭环系统稳定。解: （不完全可控） （不完全可观测）系统可控性指数为2，在PC中选两个线性无关的列向量，即取一个与之线性无关的列向量构成变换矩阵 系统按可控性，不可控性分解为 可见，不可控子空间对应特征值,可控子空间用状态反馈可以实现极点任意配置。因此，用状态反馈可以使闭环系统稳定。例9-27 给定开环传递函数为要求用状态反馈将闭环极点配置到。试计算状态反馈增益矩阵，并说明所得到的闭环系统是否可观测。解: 写出系统的可控标准形实现为设系统状态反馈矩阵，令加状态反馈后闭环系统特征多项式为比较系数得 状态反馈不改变系统零点，且不改变系统可控性。然后反馈后系统在 处出

16、现零极点对消，所以闭环系统必不可观测。例9-28 系统状态方程如下：试判定系统是否可用状态反馈分别配置以下两组闭环特征值 若能配置，则求出反馈增益向量K。解: 判定系统可控性 系统不可控，不能实现极点的任意配置。考虑原系统特征值有一个特征根本来就在处，而且由状态方程可看出，正是该特征根对应的状态不可控，所以可以利用系统的可控子系统将另两个极点配置到，实现第一组闭环特征值的配置。可控子系统状态方程为令 得 故可取 将闭环极点配置到。系统用状态反馈不能实现第二组闭环极点的配置。例9-29 设系统状态描述为 现引入状态反馈构成闭环系统，为x的估计值。(1) 写出该系统状态向量的全维渐进估计器动态方程

17、；(2) 写出带状态反馈、全维估计器的闭环系统动态方程，并画出包括状态反馈及全维估计器的闭环系统结构图。解:（1）先画出闭环系统结构图，如图9-15所示。依图，可写出状态观测器方程为 1）（2）系统状态空间描述 2）联立式1），式2）两式，有 （3）xuvBCAKAHCBy图9-15例9-30 设系统状态空间描述为 （1）画出系统状态图；(2) 求系统传递函数；(3) 判定系统可控性，可观测性；(4) 求系统状态转移矩阵；(5) 当时，求系统输出；(6) 设计全维状态观测器，将观测器极点配置在处；(7) 在(6)的基础上，设计状态矩阵K使系统闭环极点配置在处 ；(8) 画出系统总体状态图。x1

18、u2165x2y=x2解: （1）原系统状态图如图9-16所示：图9-16(2)(3) （系统可控） （系统可观测）(4) (5) (6) 设观测器输出误差反馈矩阵令 比较系数得(7) 设状态反馈增益矩阵K=，令比较系数 解出 (8) 整体系统状态图如图9-17所示。图 917例9-31 一机械系统如图9-18所示，其中m1m21，k1k21。（1）建立动态方程；（2）求系统的特征根；（3）选择适当的，加入ukxi后使系统变成稳定的，确定使系统稳定的k值。 解：（1）系统受力分析如图9-19所示由牛顿第二定理可知：将m1m21和k1k21代入得图9-18选状态变量为，于是有 图9-19写成矩阵

19、形式为：（2）系统的特征方程为特征根为 系统处于临界稳定状态。（3）选ukx4，可使特征方程不缺项，此时劳斯阵列为当时，系统是稳定的。例9-32 已知一个简谐振子的状态方程为（1）讨论系统的稳定性。（2）加输出反馈可否使系统渐进稳定？（3）加状态反馈则又如何?解：（1）系统特征方程特征值 。系统处于临界稳定状态。（2）设输出反馈矩阵为H（是常数），加输出反馈后,状态方程为其中 特征方程为H无论取何值，都不能使系统的特征根都位于左半s平面，因此加输出反馈不能使系统渐进稳定。（3）设，加状态反馈后状态方程为 通过k1和k2的调整可使系统的特征值都位于左半s平面，使系统渐进稳定。例9-33 设控制系

20、统的传递函数，要求综合系统的阻尼比，无阻尼自然振荡频率。（1）设计一状态反馈阵K，并画出所构成的状态反馈闭环系统的结构；（2）试确定一个二维观测器所构成的状态反馈闭环系统，要求观测器极点为-10，-20，并画出带观测器的闭环系统结构；（3）试确定一个一维观测器所构成的状态反馈闭环系统，要求观测器极点为-20，并画出带观测器的闭环系统结构。解：（1）希望极点的位置按主导极点设计法来进行综合，设主导极点为和，根据二阶系统性能指标和主导极点的关系有希望的闭环系统的特征多项式为设，状态反馈闭环系统的特征多项式为(由传递函数得A) 2410X1u+V由式（1）和式（2）同次项系数相等，得则 图9-20

21、即 原受控系统状态反馈系统结构如图9-20。 （2）由带观测器的状态反馈系统极点等于原系统的直接状态反馈系统极点与观测器系统的极点的合成，二者的极点互不相同，彼此分离可知，带观测器的状态反馈阵K与（1）中的K相同。系统的可观矩阵为：系统是可观的，因此存在渐近稳定的状态观测器。设，观测器的特征多项式为 希望的状态观测器的特征多项式为 由式（3）和式（4）同次项系数相等，得则 全维状态观测器的方程为即 二维观测器所构成的状态反馈闭环系统的结构图如图9-21所示。（3）由图9-21可知，X2是可直接量测的状态变量，X1为不可直接量测的状态变量。由C可得非奇异矩阵T为单位矩阵，则可对原系统直接分解：图

22、 921对不能直接量测子系统构造一维观测器。设，可得状态观测器的特征多项式： 希望的一维观测器的特征多项式是 由式（5），（6）同次项系数相等，得g20得 由于变换矩阵为单位矩阵，所以不用回到原系统坐标系中去。由一维观测器构成状态反馈的闭环系统结构图如图9-22所示。图 922 例9-34 设二阶系统为（1）该系统能否通过状态反馈来实现闭环极点任意配置，为什么？（2）设希望闭环极点为，试设计状态反馈矩阵K。（3）画出带有状态反馈的状态变量图。（4）试分别求出初始值及输入，求原系统和带状态反馈后系统的瞬态响应。解：（1）由于系统的可控性矩阵为：故系统是可控的，通过状态反馈可以实现其极点任意配置。

23、（2）设将系统的闭环极点配置在期望位置上的状态反馈增益矩阵为K=k1 k2，则闭环特征多项式为：而闭环系统的期望特征多项式是由以上两式同次项系数相等，可得即 （3）带有状态反馈的状态变量图如图9-23所示图9-23（4）由于所以对于原系统，有 对于带状态反馈系统，有例 9-35 系统的状态方程为(1) 该系统是否是渐近稳定的？(2) 该系统是否是状态反馈能镇定的？(3) 设计状态反馈，使期望的闭环极点为解：（1）该系统的特征值为。有两个特征值在右半s平面，因此系统不是渐进稳定的。（2）由动态方程知，系统是不能控的，但不能控部分的特征值是5，位于左半s平面，因此系统是状态反馈能镇定的。（3）不能

24、控部分的极点为，与其中一个期望极点相同。设，对能控部分进行极点配置。由得解得 例9-36 设系统的状态方程为（1）分析系统的稳定性；（2）已知为单位阶跃函数，求系统状态方程的解。解：（1）由题意得系统特征方程为则系统矩阵有特征值，由李雅普诺夫第一法知系统是渐进稳定的。（2）先求系统状态转移矩阵解法 一： 用无穷级数法。解法二：拉氏变换法。因 所以 解法三：待定系数法（即凯莱哈密顿定理）。系统特征方程为：则系统矩阵有两个互异特征值。系统状态方程的解为 例9-37 试求下列系统的平衡状态和李雅普诺夫函数。解：解法一： 用常规解法，由于系统的状态矩阵A为非奇异矩阵，因此该系统唯一的平衡状态是xe0。

25、设系统的李雅普诺夫函数为，其导函数为，则，且，、均为对称矩阵。取，则上式即为：解得 由于，因此对称矩阵P正定，故系统稳定，且是该系统的一个李雅普诺夫函数。解法二： 首先设PI，再验证Q是否正定，若Q正定则所选P符合李雅普诺夫函数条件。设PI，则所以Q正定，表明该系统稳定，且也是该系统的一个李雅普诺夫函数。例9-38 系统的状态空间模型为试将它化为对角线标准型。解：解法一：（1）求A特征值(2) 求非奇异矩阵T。由 ，对于，有 则 对于，有 则 对于，有 则 故非奇异矩阵(3) 对系统作非奇异变换。 所以系统状态空间模型的对角线标准形为解法二： 本题也可以用代数余子式的方法求非奇异矩阵。设Pi1

26、1，Pi12，Pi13是行列式的第一行的代数余子式，则分别将代入上式，即可得非奇异矩阵T：为计算简便，将T的各元素同除以6，这样并不影响结果，则从以上两解法可知，特征向量、非奇异矩阵的选取是不唯一的，因而状态空间表达式也不唯一。例9-39 已知一线性系统（1）证明对系统作线性非奇异变换后其特征值不变；（2）将状态方程化为对角线规范形；（3）将状态方程化为可控规范形。解:（1）令线性变换为（T为非奇异矩阵），则状态方程线性变换后为线性变换后系统的特征多项式为表明与变换前的特征多项式相同，故特征值不变。（2）求A的特征值。由可知，当时，当时，故 则 状态方程对角线规范形为：（3）系统的可控矩阵为则

27、系统状态完全可控，存在可控规范形，得可控规范形为 例9-40 设系统方程为试用李雅普诺夫第二分法析系统的稳定性。解： 考察正定的向量泛函，其导函数为显然，这是一负半定函数，故为了讨论该系统的稳定性，还需要考察的自由运动轨迹，由系统的状态方程可导出：若，由得，故x0；而若，则，得，因而x0，也就是说，不可能维持在的地方。由李雅普诺夫第二法可知，该系统是大范围渐近稳定的，且是该系统一个李雅普诺夫函数。例9-41 系统状态方程为 判断：是否渐近稳定；系统是否BIBO稳定。解: 求系统特征方程可见，系统有在右半s平面的特征根，所以系统不是渐近稳定的。 可见，系统传递函数的极点具有负实部，所以系统是BI

28、BO稳定的。例9-42 求系统的李雅普诺夫函数，并分析系统的稳定性。式中 解: 取正定对称矩阵Q为二阶单位矩阵，代入方程即 可得 联立求解得 一阶主子式 二阶主子式 故P正定，系统在平衡点处全面渐近稳定。系统的一个李雅普锘夫函数为 例9-43 已知线性离散系统齐次状态方程为式中 0试用李雅普诺夫确定使平衡点处渐近稳定时的范围。解: 选Q=I，并代入离散系统的P，Q关系式 即 将此矩阵展开，解之可得可见，要使P正定，只要需使14a20。加上条件a0，可得使系统渐近稳定的a范围为：0a1/2例9-44 已知系统的状态方程为式中， （1）说明系统的能控性和能观性；（2）若在控制u前加入采样器零阶保持

29、器，求该采样系统的状态变量表达式，并分析系统在各采样时刻，周期T对能控性和能观性的影响。（3）比较（1）、（2）简要说明采样过程对能控性和能观性的影响。解：（1）对于连续系统，有故系统状态完全能控和能观。（2）对离散化系统，有则 离散化状态空间表达式为对离散化系统，有显然，Mc、M0是否满秩，取决于采样周期T的选择，下面分两种情况予以讨论。a取，则有由此可见，此时离散后的系统为状态不完全能控和不完全能观的系统（*处表示不为0）。b. 取，则有由此可见，当时，Mc和M0均满秩，即有故离散化后的系统为状态完全能控和完全能观的。（3）从上述计算可知，状态完全能控和完全能观的连续系统经离散化处理以后，不一定能保持原系统的状态完全能控和完全能观，其结果与采样周期T的选择有关，另外，当连续系统不完全能控和不完全能观时，对应的离散化系统则一定是不可观的。例9-45 Let us consider the third order system with the differential equation We can select the state variables as the phase variables so that