应用洛必达法则求极限时需注意的问题.pdf

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1、第 3 0卷第 1 期 2 0 1 3 年 2月 邢 台 职 业 技 术 学 院 学 报 J o u r n a l o f Xi n g t a i P o l y t e c h n i c Co l l e g e 、 bl _ 3 0 NO 1 Fe b 2 01 3 应用洛必达法则求极限时需注意的问题 吴端玲 ( 泉州医学高等专科学校，福建 泉州 3 6 2 0 0 0 ) 摘要：函数极限的计算在高等数学的教学中占有重要的地位，其求解的方法有很多，而洛必达 法则是最主要的方法之一。本文对洛必达法则在求极限中的运用，通过具体的例题阐述了在计算 时应注意的问题，让学生更深入地理解法则的条

2、件，从而使学生应用法则进行问题解决的能力提 高。 关键词：洛必达法则；高等数学；极限 中图分类号 ：O1 7 3 文献标识码 ：A 文章编号：1 0 0 8 - - - - 61 2 9( 2 0 1 3 )0 l O 0 6 o - - J 0 3 在高等数学的教学中，求极限不仅是最基础的一部分，而且还是最重要的内容之一。要学好高等数 0 学，必须对求极限的方法熟练掌握。极限的求解可 以有很多方法，而洛必达法则是对未定式“ ” 型与“ 一o 0 ” 型进行求解的重要方法l 。在教学中这样 的例子比较多，学生对其有兴趣，但在应用该法则时还是会有 问 题 出现 ，其主要原因是忽视 了法则使用的范

3、围与成立的条件 ，再者就是对洛必达法则的运用过度重视 ， 而对于极 限的其他求解方法的综合运用却不够重视。 为了使学生们对洛必达法则更好地使用，除了对法则进行熟练掌握以外，还要注意 以下几个 问题。 一 、应正确理解洛必达法则的内容 定 理 ：当 l i m f ( x ) = 0 ( o o ) ， l i m g ( x ) =O ( ) ； x O - -) - o r ) X- - - - o0 在点X 0 的 的 某去 心 邻域内( 1X I 或 x ) ， f ，( X ) 与g ( x ) 均 存在， 且g ( X ) o ； l i m f ( x ) 存在( 或为无穷大) ，

4、 X - - X 0 g ( x ) 则l i m 丛 =l i m = A ( A为有限值或者无穷大) 。f 】 g ( x ) ： g ( x ) 例 1求l i m 兰 ： 兰 二 三 x - l X+1 错解：由 洛必达法则得出 l i m兰 ： 二 = l i m 塾 = 3 。 x - l x+1 l 1 实际上，l i m 三 二 兰 不是未定式，与法则的条件不相符，直接用洛必达法则必然会出现错误。 x - - - l X+1 所以，在运用洛必达法则时，首先要验证是否为未定式，并对其类型进行判定。 正确的解法是：直接运用极限的四则运算法则可得 l i m ： 兰 二 兰 = 0

5、。 x - - l +1 例 2求 l i m x l n x x 0 这 是 “ 0 o o”型 的 未 定 式 ， 可 以 将 其 转 化 为 “ ”型 的 未 定 式 ， 由 洛 必 达 法 则 可 得 ： 很明显，结果是不正确的，其原因是在法则条件中，分子与分母 收稿 日期：2 0 1 3 一O 2 2 6 作者简介：吴端玲 ( 1 9 8 4 一 )，女，福建泉州人，泉州医学高等专科学校，助教。 6 O = X - 三 ； H = 耋 1 = _壹 邢台职业技术学院学报 2 0 1 3年 第 1 期 要同时进行求导 ，但不能将其理解成整个分式的求导。所以，l i m x l n x

6、=l i m 一I n x i m ( 一 x )= 0 。只有 同 x - O 0 1 0 时满足洛必达法则的三个条件，才能利用该法则进行求解极限。 二、在连续 多次运用洛必达法则时要逐步验证 例 3 l i m 二 x - M X 一 X 这属于 c o， ， 型的未定式，按照洛必达法则可得：l i ra =l i m =l i m 一1 2 x=2 0 X。一X 3 x 一1 6 x 这道题 目在求解过程 中，洛必达法则连续使用 了两次，在进行第二次该法则时，1 i 已经不 是未定式，与洛必达法则的条件不相符，所 以正确的求解方法如下：l i ra 。 垒 l i -+ m 。羹 等 。

7、 例4求 l i m ! ： x + X 这 属 于 t ， 型 的 未 定 式 ，满 足 洛 必 达 法 则 的 条 件 ， 连 续 多 次 运 用 法 则 后 得 ： l i m =l i m 一=l i m =- = ， 如此就出现了循环现象， 但这并不能说明函 数不存在极限， - 卜 1 + 、 只能说明洛必达法则起不到作用了， 需要通过其他的方法进行求解。 通过其他方法进行极限求解， z 10 ： l i m ： ： l i m 7 + 1 = 1 。 + + V 三、要注意洛必达法则的逆命题未必成立 X2 s i n一1 例 5求极 限l i ra x - + O s i n 错解

8、：这是“ ” 型的未定式，根据洛必达法则可得 ： l i m x s i n- 兰 - t ： 1 im竺 ! 竺 1 二 ： ! ： 1 ，但 。 一 1 在 0时不存在极限，因此 函数 l i ra兰 兰 也 不 存 在 = 1 i m 羔立 ，但 c o s 一在 时不存在极限，因此 函数 ， 也小存 在 极限。虽然这道题 目与洛必达法则的条件相符 ，由于 l i m 不存在，但在并不能说 明l i ra 也不存 g ( x ) “g ( x ) 在 ， 存 在 极 限 的 充 分 不 必 要 条 件 就 是 等 存 在 极 限 ， 此 时 只 能 说 明 洛 必 达 法 则 不 起 作

9、 用 了 。 求 解 这 ， 1 s i n y 1 道题目 可以 采用两个重要极限和无穷小的性质进行， 正确的 解法：l i m_ - 羔= l i m 一 x s i n 2 - - 0 。 x - + O s i n X x - O S 1 n X x 四、要注意与其他求极限的方法结合 对于求未定式 的极 限时，尽管洛必达法则非常方便 ，但对于求极限的其他方法也要给予重视【 4 】 。 首先，洛必达法则在使用时并不一定就是最简单的，在某些 时候会出现导数的计算量很大。 例6 求 极 限l i m 二 三 巫 ! x - O xs i nX 如果直接根据洛必达法则，则分子与分母在进行求导时

10、非常复杂，如果采用等价无穷小量代换的方 法，就会较为简单。 因为在 0 时，x l + t g x 一 1 - t g x tg x ；l n ( 1 +x ) ，s inx 所 以 l im( 至 二 匝 ： x - - O s i nX l i m x t g ， x =1 x -m O X 其次，在进行求解极限时，洛必达法则可 以与求极限的其他 方法综合运用。 例7 求 极 限 l i m 二 旦 l 。 t g x 【 0 J 6 1 邢台职业技术学院学报 2 0 1 3 年 第 1 期 如果直接运用洛必达法则 ，其计算量是比较大的，如果与其他方法综合运用，解答时就简单了。对 此变形后

11、可得： l i m e x _ eg x ：l i m tg x 1 i m! ： ： 竺二 ! 0 t g x 0 0 t gx 口 一 一1 = l i m ( 设 = t g x , x 0 w t ， 0 ) ” t g x =l i m =l i m _e p = 1 。 ,u - o 【 0 J l 有些极限如果反复使用洛必达法则，可能会 出现循环，此时只有通过其他极限的求解方法进行。 例 8 求 极 限 lim 旦 e +e 【 0 j 运用洛必达法则，循环会反复出现，所以不能通过洛必达法则进行求解，用 e 除分子与分母可得： 筹 等 五、结语 在极限的理论中，洛必达法则发挥着重

12、要的作用。在通过洛必达法则进行极限的求解时，不但要对 洛必达法则的结论熟练掌握，还要对法则的条件要求特别注意 。同时，对任课教师也提 出了相关要求， 对于基础较差 的学生，洛必达法则的推广形式可 以不作要求，而对于基础 良好的一些学生，可以对其进 一 步地深入学习，这就需要在课堂上，教师与学生互动，对学生的情况有更加全面的了解，教师所选取 的题 目也需要经过仔细思考，尽可能地照顾到大部分同学。总而言之，通过对上述题 目的精心讲解，学 生对洛必达法则及其推广形式的认识与理解更加深入 ，同时，学生在应用洛必达法则进行求解极限问题 的能力也得到 了提高。 参考文献： 【 1 】 张波，李秀菊，赵广华

13、 关于“ 洛必达法则” 求未定式极限的几点思考 J 网络财富， 2 0 0 9( 1 1 )：1 1 5 1 1 7 2 孙聪，王千 洛必达法则在求极限中的方法 J 】 高等函授学报 ( 自然科学版) ，2 0 1 l( 3 ) ：9 6 9 8 3 】 杨光 洛必达法则求极限例析 J 冲 国科教创新导刊， 2 0 1 0( 1 ) ：1 5 9 - 1 6 1 4 王恒 洛必达法则在极限运算 中的应用 J 数学学习与研究， 2 0 1 0( 1 3 )：1 3 6 1 3 8 【 5 】 宋千红， 杨洪 应用洛必达法则求极限及常见问题分析 J 】 数学学习与研究( 教研版 ) ，2 0 0

14、9 ( 7 ) ： 1 1 8 - 1 2 0 6 冯志敏，薛瑞 使用洛必达法则的实质及其注意事项 J 中国科技信息， 2 0 0 9( 1 5 )：1 7 5 1 7 7 7 lJ 丽红，王喜林 教学中讲授极限计算应注意的问题 J 】 吉林省教育学院学报，2 0 0 9( 1 O )：7 8 8 0 I s s u e s o n t h e Ap p l i c a t i o n o f L Ho s p i t a l S Ru l e i n F u n c t i o n a l Li mi t Ca l c u l a t i o n W U Du a n- l i n g (

15、Qu a n z h o u Me d i c a l Co l l e g e ， Qu a n z h o u ， F u j i a n 3 6 2 0 0 0 ， C h i n a ) Ab s t r ac t ： Th e c a l c ul a t i o n o f f u nc t i o n a l l i mi t p l a y s a l l i mp o r t a nt r o l e i n a d va nc e d ma t h e ma t i c s t e a c h i n g The r e a r e ma n y a p p r o a c

16、 h e s t o c a l c u l a t e f u n c t i o n a l l i mi t a n d L Ho s p i t a l s r u l e i s o n e o f i t s l e a d i n g a p p r o a c h e s On t h e a p p l i c a t i o n o f L Ho s p i t a l S rul e i n f u n c t i o n a l l i mi t c a l c u l a t i o n ， t h e P a p e r e l a b o r a t e s i

17、s s u e s t h a t s h o u l d b e n o t e d a b o u t t h r o u g h s p e c i fi c e x a mp l e s ， s o t h a t s t u d e n t s c a n h a v e a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f t h i s r u l e an d t h u s t h e i r a b i l i t y t o a p p l y t h i s rul e i n p r o b l e m s o l v i n g b e i mp r o v e d Ke y wo r d s ：a d v a n c e d ma the ma t i c s ； L Ho s p i t a l S rul e ； l i mi t ( 责任编辑 张龙凯)