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1、七、分段数列综合题例76 数列an的首项a11，且对任意nN，an与an1恰为方程x2bnx2n0的两个根.()求数列an和数列bn的通项公式；()求数列bn的前n项和Sn.解：()由题意nN*，anan12n2(1分)又a1a22a11a22a1，a3，a2n1是前项为a11公比为2的等比数列，a2，a4，a2n是前项为a22公比为2的等比数列a2n12n1 a2n2n nN*即an又bnanan1当n为奇数时，bn2232当n为偶数时，bn2222bn()Snb1b2b3bn当n为偶数时，Sn(b1b3bn1)(b2b4bn)727(当n为奇数时，Snb1b2bn1bnSn1bn1027(
2、Sn例77 数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故 例78 数列 ()求并求数列的通项公式；()设证明：当.解:()因为所以 一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，.即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，
3、当时，例79 设个不全相等的正数依次围成一个圆圈（）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项； 解：因是公比为d的等比数列，从而 由 ，故 解得或（舍去）。因此 又 。解得从而当时，当时，由是公比为d的等比数列得因此例80 已知数列中，（1）求证：数列与都是等比数列；（2）求数列前的和；（3）若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。解：（1），2分数列是以1为首项，为公比的等比数列；数列是以为首项，为公比的等比数列。4分（2）9分（3）当且仅当时取等号，所以，即，的最大值为48例82.在单调递增数列中，且成等差数列，成等比数列，（1）分别计算，和，的值；（
4、2）求数列的通项公式（将用表示）；（3）设数列的前项和为，证明：，解：（1）由已知，得， （2）成等差数列，；成等比数列，又，；，猜想， 以下用数学归纳法证明之当时，猜想成立；假设时，猜想成立，即，那么，时，猜想也成立由，根据数学归纳法原理，对任意的，猜想成立 ，当为奇数时，；当为偶数时，即数列的通项公式为 （3）由（2），得显然，； 当为偶数时，； 当为奇数（）时，.综上所述， 例83已知等比数列的公比为，首项为，其前项的和为数列的前项的和为， 数列的前项的和为（1）若，求的通项公式；（2）当为奇数时，比较与的大小； 当为偶数时，若，问是否存在常数（与n无关），使得等式恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由解: (1) , 或 ，或. (2) 常数， =常数，数列，均为等比数列，首项分别为，公比分别为， 当为奇数时， 当时, ，, . 当时, ，, . 当时, 设，, 综上所述，当为奇数时，. 当为偶数时，存在常数，使得等式恒成立 ，= 由题设，对所有的偶数n恒成立，又， 存在常数，使得等式恒成立