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1、经济数学基础线性代数 一、单项选择题1设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行. AAB BABT CA+B DBAT 2设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B ）A. B. C. D. 3设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（D ）A. 若AB = I，则必有A = I或B = I B.C. 秩秩秩 D. 4设均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ D ） A B C D5设是可逆矩阵，且，则（C ）.A. B. C. D. 6设，是单位矩阵，则 （ D ） A B C D7设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（ B ）成立.AAB = AC，A 0，则B
2、 = C BAB = AC，A可逆，则B = C CA可逆，则AB = BA DAB = 0，则有A = 0，或B = 08设是阶可逆矩阵，是不为0的常数，则（ C ） A. B. C. D. 9设，则r(A) =（ D ） A4 B3 C2 D1 10设线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化为，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ A ） A1 B2 C3 D4 11线性方程组 解的情况是（ A ）A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解 12若线性方程组的增广矩阵为，则当（A）时线性方程组无解A B0 C1 D213 线性方程组只有零解，则（ B ）.A. 有唯一
3、解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解14设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ B ） A有唯一解 B无解 C有非零解 D有无穷多解15设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ C ） A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定16设A为矩阵，B为矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行.AAB BABT CA+B DBAT17设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B ）A. B. C. D. 18设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（D ）A. 若AB = I，则必有A = I或B = I B.C. 秩秩秩 D. 19设均为n阶方阵
4、，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ D ）A B C D20设是可逆矩阵，且，则（C ）.A. B. C. D. 21设，是单位矩阵，则 （ D ）A B C D22设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（ B ）成立.AAB = AC，A 0，则B = C BAB = AC，A可逆，则B = CCA可逆，则AB = BA DAB = 0，则有A = 0，或B = 023若线性方程组的增广矩阵为，则当（D）时线性方程组有无穷多解A1 B C2 D 24 若非齐次线性方程组Amn X = b的( C )，那么该方程组无解A秩(A) n B秩(A)m C秩(A） 秩 () D秩(A）=
5、秩()25线性方程组 解的情况是（ A ）A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解26 线性方程组只有零解，则（B ）.A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解27设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ B ）A有唯一解 B无解 C有非零解 D有无穷多解28设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（ C ）A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定30. 设A, B均为同阶可逆矩阵, 则下列等式成立的是( B ). A. (AB)T = ATBT B. (AB)T = BTAT C. (AB T)-1 =
6、A-1(BT)1 D. (AB T)-1 = A-1(B1) T 解析：(AB )-1B-1 A-1(AB)T = BTAT故答案是B31. 设A= (1 2), B= (-1 3), E是单位矩阵, 则ATB E ( A ). A. B. C. D. 解析：ATB E32. 设线性方程组AX = B的增广矩阵为, 则此线性方程组一般解中自由未知量的个数为( A ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：33. 若线性方程组的增广矩阵为(A, B)=, 则当(D)时线性方程组有无穷多解. A. 1 B. 4 C. 2 D. 解析： 34. 线性方程组 解的情况是( A ). A. 无解
7、B. 只有零解 C. 有惟一解 D. 有无穷多解解析：35. 以下结论或等式正确的是（ C ） A若均为零矩阵，则有B若，且，则 C对角矩阵是对称矩阵 D若，则 36. 设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（ A ）矩阵 A B C D 37. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C ） A， B C D 38. 下列矩阵可逆的是（ A ） A B C D 39. 矩阵的秩是（ B ） A0 B1 C2 D3 二、填空题1两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是 与是同阶矩阵2计算矩阵乘积=43若矩阵A = ，B = ，则ATB=4设为矩阵，为矩阵，若AB与BA都可进行运算，则有关系式
8、5设，当 0 时，是对称矩阵.6当 时，矩阵可逆.7设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解 8设为阶可逆矩阵，则(A)= n 9若矩阵A =，则r(A) = 2 10若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b无解11若线性方程组有非零解，则-112设齐次线性方程组，且秩(A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n-r 13齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 (其中是自由未知量) 14线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为则当 =-1 时，方程组有无穷多解.15若线性方程组有唯一解，则只有0解 . 16两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是 .
9、 答案：同阶矩阵17若矩阵A = ，B = ，则ATB=答案18设，当 时，是对称矩阵. 答案：19当 时，矩阵可逆. 答案：20设为两个已知矩阵，且可逆，则方程的解答案：21设为阶可逆矩阵，则(A)= 答案：22若矩阵A =，则r(A) = 答案：223若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b答案：无解24若线性方程组有非零解，则答案：25设齐次线性方程组，且秩(A) = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于答案：26齐次线性方程组的系数矩阵为则此方程组的一般解为 .答案： (其中是自由未知量)27线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为则当 时，方程组有无穷
10、多解. 答案：28. 计算矩阵乘积= 4 . 29. 设A为阶可逆矩阵, 则(A)= n . 30. 设矩阵A =, E为单位矩阵, 则(E A) T= 31. 若线性方程组有非零解, 则 1 . 32. 若线性方程组AX=B(B O)有惟一解, 则AX=O无非零解 .33.设矩阵，则的元素.答案：334.设均为3阶矩阵，且，则=. 答案：35. 设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是 .答案：36. 设均为阶矩阵，可逆，则矩阵的解.答案：37. 设矩阵，则.答案：三、计算题 1设矩阵，求1解 因为 = =所以 = 2设矩阵 ，计算 2解：= = = 3设矩阵A =，求 3解 因为 (A I
11、 )= 所以 A-1 = 4设矩阵A =，求逆矩阵 4解 因为(A I ) = 所以 A-1= 5设矩阵 A =，B =，计算(AB)-1 5解 因为AB = (AB I ) = 所以 (AB)-1= 6设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1 6解 因为BA= (BA I )= 所以 (BA)-1= 7解矩阵方程7解 因为 即 所以，X = 8解矩阵方程. 8解：因为 即 所以，X = 9设线性方程组 讨论当a，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解. 9解 因为 所以当且时，方程组无解； 当时，方程组有唯一解； 当且时，方程组有无穷多解. 10设线性方程组 ，求其系数矩阵和增广矩阵的
12、秩，并判断其解的情况. 10解 因为 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因为r(A) r()，所以方程组无解. 11求下列线性方程组的一般解： 11解 因为系数矩阵 所以一般解为 （其中，是自由未知量） 12求下列线性方程组的一般解： 12解 因为增广矩阵 所以一般解为 （其中是自由未知量） 13设齐次线性方程组问l取何值时方程组有非零解，并求一般解. 13解 因为系数矩阵 A = 所以当l = 5时，方程组有非零解. 且一般解为 （其中是自由未知量） 14当取何值时，线性方程组 有解？并求一般解.14解 因为增广矩阵 所以当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 是自由未知量1
13、5已知线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为问取何值时，方程组有解？当方程组有解时，求方程组的一般解.15解：当=3时，方程组有解. 当=3时， 一般解为， 其中, 为自由未知量.16设矩阵 A =，B =，计算(BA)-1解 因为BA= (BA I )= 17设矩阵，是3阶单位矩阵，求解：由矩阵减法运算得 利用初等行变换得即 18设矩阵，求解：利用初等行变换得即 由矩阵乘法得 19求解线性方程组的一般解 解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形一般解为 (是自由未知量) 20求当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形所以，当时，方程组有解，且有无穷多解
14、，答案：其中是自由未知量 21求当取何值时，线性方程组解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 当时，方程组有解，且方程组的一般解为 其中为自由未知量 22计算解 =23设矩阵，求。解 因为所以（注意：因为符号输入方面的原因，在题4题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成；（2）写成；（3）写成；）24设矩阵，确定的值，使最小。解：当时，达到最小值。25求矩阵的秩。解： 。26求下列矩阵的逆矩阵：（1）解： （2）A =解：A-1 = 27设矩阵，求解矩阵方程解： = 四、证明题1试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA1证 因为AT = A，BT = B，(AB)T = AB 所以
15、AB = (AB)T = BT AT = BA 2试证：设是n阶矩阵，若= 0，则2证 因为 = = 所以 3已知矩阵 ，且，试证是可逆矩阵，并求. 3. 证 因为，且，即，得，所以是可逆矩阵，且. 4. 设阶矩阵满足，证明是对称矩阵.4. 证 因为 =所以是对称矩阵.5设A，B均为n阶对称矩阵，则ABBA也是对称矩阵 5证 因为 ，且 所以 ABBA是对称矩阵 6、试证：若都与可交换，则，也与可交换。证：， 即 也与可交换。 即 也与可交换. 7试证：对于任意方阵，是对称矩阵。证： 是对称矩阵。= 是对称矩阵。是对称矩阵. 8设均为阶对称矩阵，则对称的充分必要条件是：。证： 必要性： ， 若是对称矩阵，即而 因此充分性： 若，则是对称矩阵. 9设为阶对称矩阵，为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵。 证： 是对称矩阵. 证毕. 25