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1、线性变换的分析及应用线性变换的分析及应用摘要由于线性变换是线性代数中最基本概念之一，其理论具有深刻的意义，而在各个领域的应用也发挥着重要的作用，线性变换也是一种较好的变量代换， 合理应用线性变换，既优化了解题过程， 提高了解题速度， 也增强了解题的灵活性。所以对线性变换进行分析与应用是非常有必要的。本文主要在系统的总结并分析线性变换的理论知识的同时，例举线性变换在欧式变换中的应用，并进行研究与分析，用MATLAB对其中的应用实例予以分析，并构造出了相应的模型。 关键词：线性变换，线性代数，欧氏变换， MATLAB In this paperDue to the linear transform
2、ation is one of the most basic concept in linear algebra and its theory has profound significance, and in all areas of application also play an important role, linear transformation is also a good variable substitution, reasonable application of linear transformation, optimization, solving both incr
3、ease about the rate, and enhance the flexibility of understanding. So it is necessary to analyze the linear transformation and application of. In this paper, we summarize and analyze the linear transformation of the system theory knowledge, at the same time presented linear transformation in the app
4、lication of Europe type transformation, and carry on research and analysis of MATLAB application example to analysis of them, and the corresponding results are obtained.Keywords: linear transformation, linear algebra, Euclidean transform, MATLAB一、绪论1.1 选题背景 线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，线性间
5、，线性变换和有限维的线性方程组。线性变换是现代数学的一个重要课题；通解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应于自然科学和社会科学中。同时也是理工类、经管类数学课程的重要内容。 作为证明定理而使用的纯抽象概念，线性变换属于抽象代数的部分，而且经非常好地融入了这个领域，是一种较好的变量代换， 合理应用既优化了解题过程， 提高了解题速度，增强了解题的灵活性.本文就是在系统的总结分析线性变换相关理论知识的前提下，例举线性变换在几何欧式变换进行解析、研究和总结，并利用MATLAB软件对于其中的例题予以实现
6、，构造了相应的模型。 1.2 研究意义 由于线性变换是线性代数中最基本概念之一，所以其理论具有深刻的意义，而其实际应用中在各个领域也发挥着积极重要的地位，所以对线性变换进行分析与应用是非常有必要的。本文就是更加深入系统的总结归纳线性变换的一些理论的前提下，例举线性变换在几何欧氏变换中的应用总结、分析。并对应用中的例子用MATLAB软件进行了实现，对于应用线性变换解决几何中的变换问题开辟了一条新的思路，还可以再利用其解决更多的实际问题。二、 线性变换2.1 线性变换1定义：对有，.则称为V上的线性变换。几个特殊的线性变换： 1、恒等（单位）变换.2、零变换.3、数乘变换.性质：1、2、若。则。若
7、线性相关。则也线性相关。运算：记1、定义成法：对可证设有（2、定义加法：可证。则也是p上的线性空间。（若有则作成一个环）。逆变换：若使则称A是可逆的线性变换，而B称为A的逆变换，记为则也是可你的线性变换。特别地：，。则称为A的多项式且。2.2基的变换和坐标变换2在n维线性空间中，任意n个线性无关的向量都可以取作空间的基。对不同的基，同一个向量的坐标一般都是不同的。设与是n维线性空间V中两组基，它们的关系是 （21）设向量在这两组基下的坐标分别为与，即 （22）公式（2-1）中各式的系数，我们把向量写成 （23）也就是把基写成一个n1矩阵，把向量的坐标写成一个1n矩阵，而把向量看作是两个矩阵的乘
8、积。 相仿的，公式（2-1）可以写成 （24）矩阵 称为由基到的过渡矩阵，它是可逆的。在利用形式写法来做计算之前，我们首先指出这种写法所具有的一些运算规律。设和是V中两个向量是两个矩阵，那么由公式（22）有：用公式（24）代入，得 （25）与公式（23）比较，由基向量的线性无关性，得 （26） （2-5）与（2-6）给出了在基变换（2-4）下，向量的坐标变换公式。 2.3特征值与特征向量3 基本概念：1、特征值与特征向量：,V是数域P上的线性空间，如果对P中一个数，存在使则称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量。2、特征多项式：是一文字，称为A的特征多项式。称为数域P上的n次多
9、项式。确定一个线性变换A的一个特征值与特征向量的步骤：1、在V中取一组基，并写出A在该群基下的矩阵A；2、求出=0的所有解，（在P中的解），即为A全部特征值；3、将所有特征值分别代入方程：求出基础解系，即为属于噶特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标。 特征子空间： 是A的属于的全部特征向量与零向量的集合，显然是V上的一个特征子空间，的维数就是属于的线性无关的特征向量的最大个数。 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的： 即相似矩阵有相似的特征多项式，也有相同的特征根。从而，特征值与基的选择无关，只由线性变换来决定。Caylay Hamilton定理：设A是数域P上的一个nn矩阵，是A的特
10、征多项式，则2.4线性变换的值域与核4当时，A的值域：其维数叫A的秩。A的核：其维数叫A的零度。易证：与均是V的子空间。定理1.设V的一组基，A在下的矩阵是A，则：（1）（2）线性变换A的秩=矩阵A的秩。说明：L（）是包含的最小子空间。定理2.若A是n维线性空间V的线性变换，则A的秩+A的零度=n.注意：虽有A的秩+ A的零度=n，但这并不等于成立，当且仅当，A的秩=n，A是映上的。当且仅当时，A的零度=0，A是11的。故：有限维数空间的线性变换设1-1的当且仅当该线性变换是映上的。 三、线性变换在欧氏变换上的应用及MATLAB实现 以下借助齐次坐标分析二维平面上线性变换矩阵特征及在变换中保持
11、不变的元素来展现平面线性变换的层次，同时用线性变换进行放大、缩小、移动及旋转变换还可以简化图形变换中的烦琐运算，特别是图形的复杂变换可视为一个简单变换的组合，从而对图形处理， 可提供一种简捷的变换算法。 3.1欧式变换 平移和旋转是实用中最重要的保持距离不变的变换，但是在平面线性空间中若用直角坐标表达向量时，旋转是线性变换，而平移不是线性变换4。 例如在线性空间R2中，把平面围绕原点按逆时针方向旋转角的变换记为，R2中任意一个向量的旋转变换 可表示为( )可以证明是R2的一个线性变换5. 设是R2中的一个非零向量，平移变换T可以变换为 由于T不满足向量加法的封闭性，所以在R2中直角坐标系下平移
12、不是线性变换，为了更好地表示向量变换的几何性质和矩阵的关系，引入齐次坐标6来表示平面向量。平面上的一点也可以用齐次坐标来表示，形式为，当时，代表R2中的点7。例如R2中的一坐标的一种齐次坐标是.平面R2上，齐次坐标为的有限点，其欧氏变换（平移加旋转）可以表示为或用简洁的分块形式写为 其中R是22旋转矩阵，满足,所以是正交矩阵，t是2维平移矢量，而0是2维零矢量，特殊的情况是纯旋转（当t=0）和纯平移（当R=1）。用齐次坐标表达到的欧氏变换是线性变换8。设平面上任意两个向量和.k,l是任意常数，都有成立。我们熟悉欧氏变换下一些几何特性保持不变，如长度，角度和面积.例1、设线性变换 可以验证方形的
13、四个点经过此变换后仍然是正方形，如图所示欧氏变换示意图齐次坐标下的平面欧氏变换有三个自由度：旋转占一个，平移占两个，确定一个欧式变换需要两组对应点来计算。MATLAB程序及运行结果： A=sym(cos(pi/4),-sin(pi/4),2;sin(pi/4),cos(pi/4),0;0,0,1);u1=0,0,1;u2=1,0,1;u3=1,1,1;u4=0,1,1;T1=A*u1T1 = 2 0 1 T2=A*u2 T2 = 1/2*2(1/2)+2 1/2*2(1/2) 1 T3=A*u3 T3 = 2 2(1/2) 1 T4=A*u4 T4 = 2-1/2*2(1/2) 1/2*2(1
14、/2) 1 x=0 1 1 0; y=0 0 1 1; q=2,2(0.5)/2+2,2,2-2(0.5)/2; w=0,2(0.5)/2,2(0.5),2(0.5)/2; hold on plot(x,y) plot(0,0,0,1) plot(q,w) plot(2,2-2(0.5)/2,0,2(0.5)/2) hold off线性变换运用到几何学中解决的实际问题主要还有相似变换、反射变换、平移变换等，这里不再赘述。四、 结语 本文通过例举实例，研究总结了线性变换的一些应用。第一，总结归纳了线性变换的一些重要的理论知识，如线性变换的基变换、坐标变换、特征值、特征向量、值域及核，归纳总结出这
15、些理论知识的要点及定义等；第二，将线性变换应用到解析几何中，对解析几何中的欧式变换进行了较为细致的分析应用，在平移变换中还总结了缩小、旋转、平移的要点，对这一种变换根据具体事例进行计算分析，并对每一个应用实例予以MATLAB实现，得出了相应的数学模型； 参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数M.第三版.北京：高等教育出版社，2003.1432. 2 同济大学数学系.工程数学线性代数M.第五版.北京：高等教育出版社，2007.1164. 3 David CLay.线性代数及其应用M(刘深泉等).第三版.北京:机械工业出版社，2005.1496. 4 孙清华. 差分方程的应用初探J. 武汉纺织工学院学报，1999，12(3):2945.5 张青，李永慈.平面上线性变换的层次J.大学数学，2009，25（5）:180183. 6 杨文茂，等.空间解析几何M.北京:武汉大学出版社，1999:259262. 7 东北师范大学微分方程教研室.常微分方程M.第二版.北京:高等教育出版社，2006:116159. 8 滕延艳.利用线性变换求线性常系数非齐次微分方程的特解J.青岛理工大学学报，2010，31(15):104106.10