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1、厦门大学离散数学课程试卷软件学院2008年级主考教师：金贤安 试卷类型：（A卷）一、 选择题（共10题，每题3分，共30分）1、下列语句为命题的是（ ）。A勿踏草地；。B你去图书馆吗？；C月球上有水；D本命题为假。2 下列推理中，（ ）是错误的。A. 如果x是有理数，则它为整数。1/2是有理数。所以1/2是整数。B. 若周末气温超过30度，小红就去游泳。小红周末没去游泳。所以周末气温没超过30度。C. 下午小明或者去看电影，或者去打篮球。下午小明没去打篮球。因此下午小明去看电影了。D. 若a能被4整除，则a能被2整除。a能被2整除。因此a能被4整除。3谓词公式中的x( )。A只是约束变元B只是
2、自由变元C既非约束变元又非自由变元D既是约束变元又是自由变元4. 下列关系中，（ ）不是等价关系。A. 非空集合的幂集的元素间包含关系；B. 集合之间的等势关系；C. 公式之间的等值关系；D. 图之间的同构关系。5. 下面等值式中，（ ）是不正确的。A. B.C. D.6下列关于集合的势的叙述中，（ ）是错误的。A. 实数集比自然数集优势；B. 任一无限集合都存在与自己等势的真子集； C. 集合之间的优势关系是偏序关系；D. 有理数集比整数集优势。7设A,B,C是集合，F是关系，则下列式子中不正确的是（ ）。A B. C. D. 8. 以下序列中，（ ）是简单可图的。A. (4,4,3,3,2
3、,2)； B. (3,3,3,1)； C. (5,4,3,2,2)； D. (6,6,3,2,2,2,1)。9. 下列叙述中错误的是( )。A n(n2)阶竞赛图都具有哈密顿通路；B 非平凡树不是欧拉图，也不是哈密顿图；C n(n3且为奇数)阶的二部图一定不是哈密顿图；D 欧拉回路包含图的所有顶点，哈密顿回路包含图的所有边。10下列关于图的连通性的叙述中正确的是( )。A. 有向图是连通的是指它是强连通的； B. 任一无向图的点连通度都不超过它的边连通度；C. 在一n阶圈Cn(n4)上任意去掉两个顶点得到得图都有2个连通分支； D. n阶无向完全图的点连通度为n；二、填空题（共8题，每题3分，
4、共24分）1 令F(x)：x是汽车，G(y)：y是火车，H(x,y)：x比y快。则命题“不存在比所有火车都快的汽车”符号化形式为_。2 公式的主析取范式为_。3 集合A=a,b,c,d上的等价关系共有_个。4 自对偶图的顶点数n和边数m之间满足关系式为m =_。5设T是有t片树叶的2叉正则树，则T应该有_个顶点。6P(,) = _,_。7在1到100之间（包含1和100）即不能被2，也不能被3，还不能被5整除的自然数有_个。8“p仅当q”，“只有q才p”，“除非q才p”这三个命题的符号化分别为_ , _ 和 _ 。（请按顺序填写） 三、应用、计算和证明题（共6题，46分）1(6分) 在命题逻辑
5、的自然推理系统中构造下面推理的证明。前提：(PQ)，QR，R结论：P 2（8分）设集合A=a，b，c，d，A上的关系R=, 求：（1）画出R的关系图。(2分) （2）R的自反闭包、对称闭包和传递闭包的关系图。（2分，2分和2分）3（8分）设为一偏序集，其中A=1，2，12，R是A上的整除关系。（1）画出的哈斯图；（4分）（2）求A的所有极大元和极小元（2分）（3）求B=2,3,6的最小上界和最大下界（2分）。4.（8分）判断左图是否为欧拉图，若是，请给出一欧拉回路（用阿拉伯数字在边上标明顺序即可）；若不是，请说明原因；（4分）判断右图是否为哈密顿图，若是，请给出一哈密顿回路（用阿拉伯数字在顶点
6、上标明顺序即可）；若不是，请说明原因（4分）； 5 （8分） 设G是无向简单图且(G)k2，试证明G中存在长度大于等于k+1的初级回路（圈）。6 （8分）在一棵有3个2度顶点，2个4度顶点，其余顶点都是树叶的无向树中，应该有几片树叶？（2分）请画出所有这样的非同构的无向树。（6分）答案及评分标准一 选择题CDDAC DCADD二1. 或者2. 3. 154. m=2n-25. 2t-16. 7. 268. (该小题每空1分)三1 （1） 前提引入 （2） 前提引入 （3） （1）（2）析取三段论 （4） 前提引入 （5） 置换(6) (3)(5)析取三段论若未注明推理规则,或标注有错,扣1分.
7、2 （1） 如图1 （2） 该题要求画出三个闭包的关系图. 每个关系图2分,共6分. 边少画或多画一律判错.3 (1)如图2 （2）A的极大元有：7，8，9，10，11，12 A的极小元有：1 （3）B的上界是6,12,最小上界是6 B的下界是1，最小下界是1哈斯图中若出现水平的边,扣1分.4（分）（）判断下图是否为欧拉图，若是，请给出一欧拉回路（用阿拉伯数字在边上标明顺序即可）；若不是，请说明原因；（4分）答：因为该图是连通图且图中没有奇度顶点，所以该图是欧拉图(只要判断正确给2分)。欧拉回路标序如下图：10111213314找的欧拉回路正确再2分（2）判断下图是否为哈密顿图，若是，请给出一
8、哈密顿回路（用阿拉伯数字在顶点上标明顺序即可）；若不是，请说明原因（4分）答：该图不是哈密顿图(2分)。取，从图中删除，得五个连通分支，如下图所示，所以该图不是哈密顿图。(2分)另一证明:反证若有哈密顿圈,由于点5,7,9都是二度点,因此该哈密顿圈必包含边(4,5)(5,6)(6,7)(7,8)(8,9)(9,4),这6条边构成一个圈,矛盾.1010（8分）设G是无向简单图且(G)k2，试证明G中存在长度大于等于k+1的初级回路（圈）。证明：不妨设是连通图，若G不连通，因为的各连通分支的最小度也都大等于k，因而可对它的某个连通分支进行讨论。设u,v为G中任意两个顶点，由G是连通图，因而u,v之
9、间存在路径，用“扩大路径法”扩大这条路径，设最后得到的“极大路径”为t=v0v1vt,则tk，事实上若存在“极大路径” s=v0v1vs且sk，则v0只能与s中的顶点相邻，因为G为简单图，所以与v0相邻的顶点最多为s个，而sk，这与(G)k矛盾，所以“极大路径”长度大等于k。在t上构造圈，由于(v0)(G)k2，因而v0除与t上的v1相邻外，还存在t上的k-1个顶点与v0相邻，则为一个圈且长度大等于k+1。注意:也可直接设是G的最长路径.（8分）在一棵有3个2度顶点，2个4度顶点，其余顶点都是树叶的无向树中，应该有几片树叶？（2分）请画出所有这样的非同构的无向树。（6分）答：设树叶有x片，则边数m=3+2+x-1=4+x，由握手定理知，2m=2*(4+x)=d(vi)=3*2+2*4+x 解得x=6，所以应该有片树叶。共有十个非同构的无向树，如下：(1) 两个度点相邻的情况：(2) 两个度点中间有一个度点的情况：(3) 两个度点中间有两个度点的情况：(4) 两个度点中间有三个度点的情况：(请酌情扣分)8