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1、垂直与平行垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.难点磁场()已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直.(1)求证：AB1C1D1；(2)求证：AB1面A1CD；(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角.案例探究例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，求证：MN平面BCE.命题意图：本题主要考查线面平行的判定，面面平
2、行的判定与性质，以及一些平面几何的知识，属级题目.知识依托：解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)线(外)线(外)面.或转化为证两个平面平行.错解分析：证法二中要证线面平行，通过转化证两个平面平行，正确的找出MN所在平面是一个关键.技巧与方法：证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.证法一：作MPBC，NQBE，P、Q为垂足，则MPAB，NQAB.MPNQ，又AM=NF，AC=BF，MC=NB，MCP=NBQ=45RtMCPRtNBQMP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形MNPQPQ平面BCE，MN在平面BCE外，MN
3、平面BCE. 证法二：如图过M作MHAB于H，则MHBC，连结NH，由BF=AC，FN=AM，得MN平面BCE.例2在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由.命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，属级题目.知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.错解分析：(3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.技巧
4、与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线.(1)证明：AB=AC，D是BC的中点，ADBC底面ABC平面BB1C1C，AD侧面BB1C1CADCC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1NAM=MA1，NA1=A1B1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1C1NC1B1底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧面BB1C1C截面C1NB侧面BB1C1C截面MBC1侧面BB1C1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过M作MEBC1于E，截面MBC1侧面BB1C1CME侧面BB1
5、C1C，又AD侧面BB1C1C.MEAD，M、E、D、A共面AM侧面BB1C1C，AMDECC1AM，DECC1D是BC的中点，E是BC1的中点AM=DE=AA1，AM=MA1.锦囊妙计垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：1.平行转化2.垂直转化每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.歼灭难点训练一、选择题1.()在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是( )A.B.
6、C.D.2.()在直二面角l中，直线a,直线b,a、b与l斜交，则( )A.a不和b垂直，但可能abB.a可能和b垂直，也可能abC.a不和b垂直，a也不和b平行D.a不和b平行，但可能ab二、填空题3.()设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“XZ且YZXY”为真命题的是_(填序号).X、Y、Z是直线 X、Y是直线，Z是平面 Z是直线，X、Y是平面 X、Y、Z是平面4.()设a,b是异面直线，下列命题正确的是_.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直过a一定可以作一个平面与b垂直过a一定可以作一个平面与b
7、平行三、解答题5.()如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.(1)求证：CDPD;(2)求证：EF平面PAD;(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF平面PCD？6.()如图，在正三棱锥ABCD中，BAC=30，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由.(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC平面EFGH，请给出证明.7.()如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满
8、足BFFC=13.(1)若M为AB中点，求证：BB1平面EFM；(2)求证：EFBC；(3)求二面角A1B1DC1的大小.8.()如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60, (1)证明：C1CBD；(2)假定CD=2，CC1=，记面C1BD为,面CBD为,求二面角BD的平面角的余弦值；(3)当的值为多少时，可使A1C面C1BD？参考答案难点磁场1.(1)证明：A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，C1D1A1B1于D1，又平面A1ABB1平面A1B1C1，C1D1平面A1B1BA，而AB1平面A1ABB1，AB1C1D1.(2)证明：连结D
9、1D，D是AB中点，DD1CC1，C1D1CD，由(1)得CDAB1，又C1D1平面A1ABB1，C1BAB1，由三垂线定理得BD1AB1，又A1DD1B，AB1A1D而CDA1D=D，AB1平面A1CD.(3)解：由(2)AB1平面A1CD于O，连结CO1得ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，AB1=3，AC=A1C1=2，AO=1，sinOCA=，OCA=.歼灭难点训练一、1.解析：如图，设A1C1B1D1=O1，B1D1A1O1，B1D1AA1，B1D1平面AA1O1，故平面AA1O1AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1HAO1于H，则易知A1H长即是点A1到平面A
10、B1D1的距离，在RtA1O1A中，A1O1=，AO1=3，由A1O1A1A=hAO1,可得A1H=.答案：C2.解析：如图，在l上任取一点P，过P分别在、内作aa,bb,在a上任取一点A，过A作ACl，垂足为C，则AC,过C作CBb交b于B，连AB，由三垂线定理知ABb，APB为直角三角形,故APB为锐角.答案：C二、3.解析：是假命题，直线X、Y、Z位于正方体的三条共点棱时为反例，是真命题，是假命题，平面X、Y、Z位于正方体的三个共点侧面时为反例.答案：4.三、5.证明：(1)PA底面ABCD，AD是PD在平面ABCD内的射影，CD平面ABCD且CDAD，CDPD.(2)取CD中点G，连E
11、G、FG，E、F分别是AB、PC的中点，EGAD，FGPD平面EFG平面PAD，故EF平面PAD(3）解：当平面PCD与平面ABCD成45角时，直线EF面PCD证明：G为CD中点，则EGCD,由(1)知FGCD，故EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即EGF=45，从而得ADP=45，AD=AP由RtPAERtCBE,得PE=CE又F是PC的中点，EFPC，由CDEG，CDFG，得CD平面EFG，CDEF即EFCD，故EF平面PCD.6.(1)证明：同理EFFG，EFGH是平行四边形ABCD是正三棱锥，A在底面上的射影O是BCD的中心，DOBC，ADBC，HGEH，四边形EFG
12、H是矩形.(2)作CPAD于P点，连结BP，ADBC，AD面BCPHGAD，HG面BCP，HG面EFGH.面BCP面EFGH，在RtAPC中，CAP=30，AC=a,AP=a.7.(1)证明：连结EM、MF，M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，BB1ME，又BB1平面EFM，BB1平面EFM.(2)证明：取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得：ANBC，又BFFC=13，F是BN的中点，故MFAN，MFBC，而BCBB1，BB1ME.MEBC，由于MFME=M，BC平面EFM，又EF平面EFM，BCEF.(3)解：取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O面BCC1B1，由点O作B1D的垂
13、线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1QB1D，故A1QD为二面角A1B1DC的平面角，易得A1QO=arctan.8.(1)证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，四边形ABCD是菱形，ACBD，BC=CD又BCC1=DCC1，C1C是公共边，C1BCC1DC，C1B=C1DDO=OB，C1OBD，但ACBD，ACC1O=OBD平面AC1，又C1C平面AC1，C1CBD. (2)解：由(1)知ACBD，C1OBD，C1OC是二面角BD的平面角.在C1BC中，BC=2，C1C=，BCC1=60，C1B2=22+()222cos60=.OCB=30,OB=,BC=1,
14、C1O=,即C1O=C1C.作C1HOC，垂足为H，则H是OC中点且OH=，cosC1OC=(3)解：由(1)知BD平面AC1，A1O平面AC1，BDA1C，当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1A1C，又BDBC1=B，A1C平面C1BD.求空间的角空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想.难点磁场()如图，l为60的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M,N,且MP与所成的角等于NP与所成的角. (1)求证：MN分别与、所成角相等；(2)求MN与所成角.案例探究例1在棱长为a的
15、正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)求直线AC与DE所成的角；(3)求直线AD与平面BEDF所成的角；(4)求面BEDF与面ABCD所成的角.命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属级题目.知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角.错解分析：对于第(1)问，若仅由BE=ED=DF=FB就断定BEDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B、E、D、F四点共面.技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应
16、用面积射影法.(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得BE=ED=DF=FB=a,下证B、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结AG、EG，由EGABAB知，BEGA是平行四边形.BEAG,又AF DG,AGDF为平行四边形.AGFD，B、E、D、F四点共面故四边形BEDF是菱形. (2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CPDE，交直线AD于P，则ACP(或补角)为异面直线AC与DE所成的角.在ACP中，易得AC=a，CP=DE=a,AP=a由余弦定理得cosACP=故AC与DE所成角为arccos. (3)解：ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上.如下图所示.又B
17、EDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB在RtBAD中，AD=a，AB=a,BD=a则cosADB=故AD与平面BEDF所成的角是arccos.(4)解：如图，连结EF、BD，交于O点，显然O为BD的中点，从而O为正方形ABCDABCD的中心.作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足为M，连结OM，则OMDE，故OMH为二面角BDEA的平面角.在RtDOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在RtOHM中，sinOMH=故面BEDF与面ABCD所成的角为arcsin.例2如下图，已知平行六面体ABCDA1B1
18、C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120.求：(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题，属级题目.知识依托：向量的加、减及向量的数量积.错解分析：注意=,=120而不是60,=90.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.BD1与AC所成角的余弦值为.锦囊妙计空间角的计算步骤：一作、二证、三算1.异面直线所成的角 范围：090方法：平移法；补形法.2.直线与平面所成的角 范围：090方法：关键是作垂线，找射影.3.二面角方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂
19、面法.注：二面角的计算也可利用射影面积公式S=Scos来计算歼灭难点训练一、选择题1.()在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )A.B.C.D.2.()设ABC和DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,CBA=CBD=120,则AD与平面BCD所成的角为( )A.30B.45C.60D.75二、填空题3.()已知AOB=90,过O点引AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45、60，则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值等于_.4.()正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23,
20、则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_.三、解答题5.()已知四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABC=90,PA平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；(3)求证：二面角BPCD为直二面角.6.()设ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120求：(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；(2)异面直线AD与BC所成的角；(3)二面角ABDC的大小.7.()一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角.(1)求证：平面ABD平面ACD；(2)求AD与BC所成的角
21、；(3)求二面角ABDC的大小.8.()设D是ABC的BC边上一点，把ACD沿AD折起，使C点所处的新位置C在平面ABD上的射影H恰好在AB上.(1)求证：直线CD与平面ABD和平面AHC所成的两个角之和不可能超过90；(2)若BAC=90，二面角CADH为60，求BAD的正切值.参考答案难点磁场(1)证明：作NA于A，MB于B,连接AP、PB、BN、AM，再作ACl于C，BDl于D，连接NC、MD.NA,MB,MPB、NPA分别是MP与所成角及NP与所成角，MNB，NMA分别是MN与,所成角，MPB=NPA.在RtMPB与RtNPA中，PM=PN，MPB=NPA，MPBNPA，MB=NA.在
22、RtMNB与RtNMA中，MB=NA，MN是公共边，MNBNMA，MNB=NMA，即(1)结论成立.(2)解：设MNB=,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asin，NB=acos,MB,BDl,MDl,MDB是二面角l的平面角，MDB=60，同理NCA=60,BD=AC=asin,CN=DM=asin,MB，MPPN，BPPNBPN=90,DPB=CNP,BPDPNC,整理得，16sin416sin2+3=0解得sin2=,sin=，当sin=时，CN=asin= aPN不合理，舍去.sin=,MN与所成角为30.歼灭难点训练一、1.解析：(特殊位置法）将P点取为A1，作OEAD于E，
23、连结A1E，则A1E为OA1的射影，又AMA1E，AMOA1，即AM与OP成90角.答案：D2.解析：作AOCB的延长线，连OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，AO=OD=a,ADO=45.答案：B二、3.解析：在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CAOC交OA于A，CBOC交OB于B，则AC=1，OA=，BC=，OB=2，RtAOB中，AB2=6，ABC中，由余弦定理，得cosACB=.答案：4.解析：设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得，设侧面与底面所成二面角为,则cos=,=60.答案：60三、5.(1)解：因为PA平面AC，ABBC,P
24、BBC,即PBC=90,由勾股定理得PB=.PC=.(2)解：如图，过点C作CEBD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为PCE或它的补角.CE=BD=，且PE=由余弦定理得cosPCE=PC与BD所成角的余弦值为.(3）证明：设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，则GFBCAD，且GF=BC=1=AD，从而四边形ADFG为平行四边形，又AD平面PAB，ADAG，即ADFG为矩形，DFFG.在PCD中，PD=，CD=，F为BC中点，DFPC从而DF平面PBC，故平面PDC平面PBC，即二面角BPCD为直二面角.6.解：(1)如图，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足
25、为H，则AH平面DBC，ADH即为直线AD与平面BCD所成的角.由题设知AHBAHD，则DHBH，AH=DH，ADH=45(2)BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD与BC所成的角为90.(3)过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，ARBD，故ARH为二面角ABDC的平面角的补角.设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在HDB中，HR=a，tanARH=2故二面角ABDC大小为arctan2.7.(1)证明：取BC中点E，连结AE，AB=AC，AEBC平面ABC平面BCD，AE平面BCD，BCCD，由三垂线定理知ABCD.又ABAC，AB平面BCD，AB平
26、面ABD.平面ABD平面ACD.(2)解：在面BCD内，过D作DFBC，过E作EFDF，交DF于F，由三垂线定理知AFDF，ADF为AD与BC所成的角.设AB=m，则BC=m，CE=DF=m,CD=EF=m即AD与BC所成的角为arctan(3)解：AE面BCD，过E作EGBD于G，连结AG，由三垂线定理知AGBD，AGE为二面角ABDC的平面角EBG=30，BE=m,EG=m又AE=m,tanAGE=2,AGE=arctan2.即二面角ABDC的大小为arctan2.8.(1)证明：连结DH，CH平面ABD，CDH为CD与平面ABD所成的角且平面CHA平面ABD，过D作DEAB，垂足为E，则
27、DE平面CHA.故DCE为CD与平面CHA所成的角sinDCE=sinDCHDCEDCH,DCE+CDEDCH+CDE=90(2)解：作HGAD，垂足为G，连结CG,则CGAD，故CGH是二面角CADH的平面角即CGH=60，计算得tanBAD=.求空间距离空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.难点磁场 ()如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.案例探究例1把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分
28、别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后EOF的大小.命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属级题目.知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式.错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x轴、y轴、z轴两两互相垂直.技巧与方法：建系方式有多种，其中以O点为原点，以、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向最为简单.解：如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD边长为a,则A(0，a,0),B(a,0,0),C(0, a,0),D(0,0, a),E(0,a, a),F(a, a,0)EOF=120例2正方体ABCDA1
29、B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属级题目.知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.错解分析：本题容易错误认为O1B是A1C与AB1的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.解法一：如图，连结AC1，在正方体AC1中，A1C1AC,A1C1平面AB1C，A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线
30、A1C1与AB1间的距离.连结B1D1、BD，设B1D1A1C1=O1,BDAC=OACBD，ACDD1，AC平面BB1D1D平面AB1C平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C平面BB1D1D=B1O作O1GB1O于G，则O1G平面AB1CO1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离.在RtOO1B1中，O1B1=，OO1=1，OB1= O1G=，即异面直线A1C1与AB1间距离为.解法二：如图，在A1C上任取一点M，作MNAB1于N，作MRA1B1于R，连结RN，平面A1B1C1D1平面A1ABB1，MR平面A1ABB1，MRAB1AB1RN，设A1
31、R=x,则RB1=1xC1A1B1=AB1A1=45，MR=x,RN=NB1=(0x1当x=时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为.锦囊妙记空间中的距离主要指以下七种：(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面
32、的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.歼灭难点训练一、选择题1.()正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为( )2.()三棱柱ABCA1B1C1中，A
33、A1=1，AB=4，BC=3，ABC=90,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为( )A. B. C.2.6D.2.4二、填空题3.()如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_.4.()如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角EABC的度数为30，那么EF与平面ABCD的距离为_.三、解答题5.()在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：(1)求证：平面A1BC1平面ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点B1到平面A1B
34、C1的距离.6.()已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45,AB=a,求：(1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1EAC的体积.7.()如图，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F.(1)求点A到平面B1BCC1的距离；(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.8.()如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=,AB= AD=a,ADC=arccos,PA面ABCD且P
35、A=a.(1)求异面直线AD与PC间的距离；(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为.参考答案难点磁场解：(1)在矩形ABCD中，作AEBD，E为垂足连结QE，QA平面ABCD，由三垂线定理得QEBEQE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,AE=在RtQAE中，QA=PA=cQE=Q到BD距离为.(2)解法一：平面BQD经过线段PA的中点，P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在AQE中，作AHQE，H为垂足BDAE,BDQE,BD平面AQE BDAHAH平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离.在RtAQE中，AQ=c,AE=AH=P到平面BD
36、的距离为解法二：设点A到平面QBD的距离为h，由VABQD=VQABD,得SBQDh=SABDAQh=歼灭难点训练一、1.解析：过点M作MMEF,则MM平面BCFMBE=MBCBM为EBC为角平分线，EBM=45,BM=,从而MN=答案：A2.解析：交线l过B与AC平行，作CDl于D，连C1D，则C1D为A1C1与l的距离，而CD等于AC上的高，即CD=,RtC1CD中易求得C1D=2.6答案：C二、3.解析：以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=a,PQAB,同理可得PQCD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在RtA
37、PQ中，PQ=a答案：a4.解析：显然FAD是二面角EABC的平面角，FAD=30,过F作FG平面ABCD于G，则G必在AD上，由EF平面ABCD.FG为EF与平面ABCD的距离，即FG=.答案：三、5.(1)证明：由于BC1AD1，则BC1平面ACD1同理，A1B平面ACD1，则平面A1BC1平面ACD1(2)解：设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离.易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=,则sinA1BC1=,则S=,由于，则Sd=BB1,代入求得d=,即两平行平面间的距离为.(3)解：由于线段B1D1被平面A1BC1所平分
38、，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于.6.解：(1)连结DB交AC于O，连结EO，底面ABCD是正方形DOAC，又ED面ABCDEOAC，即EOD=45又DO=a，AC=a，EO=a，SEAC=a(2)A1A底面ABCD，A1AAC，又A1AA1B1A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线又EOBD1，O为BD中点，D1B=2EO=2aD1D=a，A1B1与AC距离为a(3)连结B1D交D1B于P，交EO于Q，推证出B1D面EACB1Q是三棱锥B1EAC的高，得B1Q=a7.解：(1)BB1A1E，CC1A1F，BB1CC1BB1平面A1EF即
39、面A1EF面BB1C1C在RtA1EB1中，A1B1E=45，A1B1=aA1E=a,同理A1F=a,又EF=a，A1E=a同理A1F=a,又EF=aEA1F为等腰直角三角形，EA1F=90过A1作A1NEF，则N为EF中点，且A1N平面BCC1B1即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离A1N=又AA1面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为a=2，所求距离为2(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形.B1C1D1D,B1C1A1NB1C1平面ADD1A1BC平面ADD1A1得平面ABC平面ADD1A1，过A1作
40、A1M平面ABC，交AD于M，若A1M=A1N，又A1AM=A1D1N，AMA1=A1ND1=90AMA1A1ND1,AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件.8.解：(1)BCAD,BC面PBC,AD面PBC从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.过A作AEPB，又AEBCAE平面PBC，AE为所求.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=aAE=a(2)作CMAB，由已知cosADC= tanADC=,即CM=DMABCM为正方形，AC=a,PC=a过A作AHPC,在RtPAC中，得AH=下面在AD上找一点F，使PCCF取MD中点F，ACM、FCM均为等腰直角三角形ACM+FCM=45+45=90FCAC,即FCPC在AD上存在满足条件的点F.