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1、第1章 分式 11 分式专题一 分式有（无）意义、值为零的条件1使分式有意义的取值范围是（ ）A. B. 且 C. 且 D. 且2.若分式的值为0，则a的取值范围是_.3.已知分式的值是正整数，则整数m的值是_.专题二 分式的基本性质的应用4把分式中的扩大到2倍，扩大到4倍，而分式的值不变，则（ ）A. B. C. 且 D. 或5.（河北竞赛）如果，则的值是 （ ）来源:A. 1 B. 1 C.1 D. 不能确定6. 已知，求代数式的值.状元笔记【知识要点】1分式的定义：形如，A、B都是整式，且B中含有字母，这样的式子叫做分式2分式有意义的条件是分母不等于0；分式无意义的条件是分母等于0；分式
2、值为零的条件是分子为零，且分母不为零.3分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定4.分式的基本性质：（）.【温馨提示】1与分式有关的式子中考虑字母的取值范围时，容易忽略分式中分母不等于0的条件2分式的符号由分式的分子、分母和分式本身三个的符号确定【方法技巧】1当分式中有多个分母时，必须这些分母均不为02若A、B及都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数3分式的基本性质是分式变形的依据，常用到的数学思想有转化思想和整体思想.4类似于分数，当一个分式的次数高于或等于分母的次数时，将分
3、式化为整式部分与分式部分的和，分式的这种变形，是拆项变形的一种.5考虑分式中某个字母的整数值时，常运用分类讨论的数学思想，既不能漏解，也不能多出参考答案：1. D 解析：依题意知：，解得且，故选D.2. -2 解析： 依题意知：解得a=2，故填2.3. 2,4,10，8 解析：2，所以2且m1是9的约数时，分式的值是正整数即m11，3，9，9，解得m=2,4,10，84. D5. A 解析：由的结果只可能是1或1，依条件可知、中必有两个是1，另一个1，则，有两个正数、一个负数，故，所以.6.解法一：由题意得，则原式=.解法二：显然，则原式=.12 分式的乘法和除法专题一 分式的约分与化简求值1
4、（南京竞赛）已知，求的值2（广东竞赛）已知 ，求的值3.（海口竞赛）已知，求的值.来源:专题二 分式乘、除法的应用4已知、满足等式，则的值等于 （ ）A. B. C. 或 D.以上都不对5.计算：.6.当变化时，求分式的最小值.来源:7求值：状元笔记【知识要点】1分式的约分：把分式的分子与分母中含有的公因式约去叫做约分2分式的乘法：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式3分式的除法：分式除以分式，颠倒除式的分子、分母位置后，与被除式相乘【温馨提示】1分式约分约去的一定是分子和分母的公因式2分式的除法运算中一定要颠倒除式的分子与分母【方法技巧】1在进
5、行分式的化简求值时，常见的方法是要先化简，把分子、分母分解因式，约去公因式，再代入求值2在分式化简时，常将条件和所要的结论分别变形，用倒数法、换元法等方法将问题简单化，从而代入求值.3对于一些复杂的数字计算常运用分式的乘除法可以达到化繁为简，化难为易，巧妙计算参考答案：1解：由题意得：，解得，把代入得，.2解：，.又,.3解：由得.设，,.4解析：由知、均不为0，则，所以，因为、均不为0，所以0，即，所以，故选B.5.解：设，则原式=6.解： ，原式，即的最小值是4.7解：因为，所以，所以原式=13 整数指数幂专题一 同底数幂的除法1已知，则M、N的大小关系是（ ）A. B. C. D. 无法
6、比较大小2.（全国竞赛）化简：得（ ）A. B. C. D. 3若，求的值.专题二 零次幂与负整数指数幂4式子中的取值范围是（ ）A. B. C. 且 D. 且 5.已知，则等于（ ）A. 2 B. 1 C. D. 6对数a、b，定义运算如下：ab=，例如23=2-3=.计算：2（4）（4）（2）=_.7. 是否存在整数、，使？若存在，求出、的值；若不存在，说明理由.状元笔记【知识要点】1幂的四种运算法则：同底数幂的乘法：；幂的乘方：；积的乘方：；同底数幂的除法：2.零次幂和负整数指数幂：（）；，（）.【温馨提示】1底数2公式中的运算符号3. 公式的正向运用和逆向应用、综合运用.【方法技巧】1
7、要善于把不同底数幂化为同底数幂；2. 要善于把不同指数幂化为同指数幂3解题时常用的数学思想有转化思想、整体思想、方程思想参考答案：1. B 解析：将M、N进行化简，因为， 所以，故选B.2. C 解析：3.解：因为，所以，所以，所以，所以4. D 解析：依题意得，解得. B 解析：，所以，所以，所以，所以，所以. 解析：2（4）（4）（2）=24（4）2=16=1.解：因为，所以，所以，所以，来源:解得：.14 分式的加法和减法专题一 分式的加减运算与化简求值1（四川竞赛）设数、满足，则的值是（ ）A.1 B.2 C.1 D.22.（广东竞赛）已知，且，则的值为（ ）A.0 B.1 C.1 D
8、.33. 当分别取时，求出代数式的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）A.1 B.1 C. D. 4.设an=（n为正整数），则a1+a2+a2012的值 1（填“”，“”或“”）专题二 分式加减法的逆用5.使代数式的值为整数的全体自然数的和是_.6. 如果a，b，c是正数，且满足，那么的值为 7.已知，那么A的整数部分是_.8. 已知：，其中A、B为常数，求的值.专题三 分式的证明9已知、满足，设，则P_Q(填“”、“”或“=” ）10.已知，求证：11 设为正整数，求证：12设（，均为正整数），求证：状元笔记【知识要点】1同分母分式的加减法：分母不变，分子相加减.即：2异分母分式的加减法
9、：要先通分，即把各个分式的分子与分母同乘一个适当的非零多项式，化成同分母分式，然后再加减【温馨提示】1在分式的加减法中一定要同分母分式才能进行加减运算2分式运算的最后结果一定要化为最简分式或整式【方法技巧】1.多项式恒等的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即：如果a0xn+a1xn1+an1x+an=b0xn+b1xn1+bn1x+bn，那么a0=b0 ，a1=b1，an1=bn1 ，an=bn.2在分式的化简求值、证明中，常用到的数学方法有裂项法、换元法、待定系数法等，用到的数学思想有转化思想、整体思想等3逆向思维是分式变形中常常用到的思维方式，有利于对分式进行巧妙的化简
10、求值参考答案：1. C 解析：由得，由得，所以，所以，故选C.2. D解析：由得，所以原式=，故选D.3. C解析：当时，原式=，当时，原式=.因为，所以当依次取时，它们的和应为2013，还有时，原式=，所以其结果为，故选C.4 解析：由an=， 得a1+a2+a2012=1.5. 22 解析：由得，所以能被整除，又因为为自然数，所以或，所以或，故答案为22.6. 解析：由已知可得，故填7.7. 解析：，所以A的整数部分是.8.解：由得，即，所以，9. =解析：由，所以，所以.10.证明：因为，所以左边=右边，所以.11. 证明：=又因为为正整数，显然，所以.12.证明：设，则，所以，所以.1
11、5 可化为一元一次方程的分式方程专题一 分式方程的解法1用换元法解方程x2+x+=8，若设x2+x=y，则原方程化为关于y的整式方程是（）Ay28y+7=0By28y7=0Cy2+8y+7=0Dy2+8y7=02.关于的方程的两个解是和，则关于的方程的两个解是（ ）A. B. C. D. 3方程的解是_.4.解方程：专题二 分式方程的增根5分式方程+=的解是 （ ）A2B1 C.3D无解6.分式方程有增根，则m的值为（）A0和3 B1 C1和2 D3 7. 若关于的方程无解，求的值.8. 当取什么值时，关于的方程有解？专题三 分式方程的应用9完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人
12、合作完成这项工作的80，所需要的时间是( )A.小时B.小时 C.小时D.小时10.某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元（1）求该种纪念品4月份的销售价格；（2）若4月份销售这种纪念品获利800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？11.玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公
13、司？（2）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由状元笔记【知识要点】1用去分母法解分式方程的一般步骤：去分母，化为整式方程；解整式方程；检验；下结论2增根：使最简公分母等于0的根3列分式方程解应用题的一般步骤：审；设；找；列；解；检（双检，既要检验是不是方程的解，又要检验解的合理性）；答【温馨提示】1解分式方程一定要检验2增根产生的原因是去分母时方程的两边同时乘以零【方法技巧】1解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程.其常用方法还有换元法、因式分解法、裂项法、逐项通分法等2利用增根解题的方法：（1）把分式方程化为整式方程；（2）从原分式方程中求出使分母为零的增根；（3）把增根代入所得到的
14、整式方程中求值3解分式方程的应用题的关键是找出相等关系参考答案：1.解析：若设x2+x=y，得：y+=8，去分母得y2+7=8y，整理得y28y+7=0，故选A2. 解析：由两边同时减去1得，所以方程的两个解是或，所以和，故选D.3. 解析：原方程即为，解得.4.解：原方程即为， ，即：，即：，解得：经检验：是原方程的解.5. D 解析：方程两边都乘x（x+1）（x1），得7（x1）+3（x+1）=6x，解得x=1.经检验：x=1是增根所以此方程无解6. 解析：两边同时乘以（x-1）（x+2），原方程可化为x（x+2）-（x-1）（x+2）=m，整理得，m=x+2，根据分式方程有增根，得出x-
15、1=0，x+2=0，当x=1时，m=1+2=3；当x=2时，m=2+2=0.当m=0时，分式方程变形为，此时x=2不成立，前后矛盾，故m=0舍去，即m的值是3，故选D7.解：去分母得：，所以当时，该方程无解，所以原方程也无解.当时，原方程也无解，此时，所以.当时，原方程也无解，此时，所以.综上所述，的值为.8.解：原方程去分母得：，所以若使方程有解，则且，来源:数理化网即且时方程有解.9. 解析：，故选C.10.解：（1）设该种纪念品4月份的销售价格为x元根据题意得 ，解之得x=50，经检验x=50是方程的解，所以该种纪念品4月份的销售价格是50元（2）由（1）知4月份销售件数为件， 四月份每件盈利元，5月份销售件数为40+20=60件，且每件售价为500.9=45，每件比4月份少盈利5元，为205=15元，所以5月份销售这种纪念品获利6015=900元11.解：（1）设甲公司单独做需x周，乙公司单独做需y周，可列出方程组，解得，经检验，它们是原方程的根；1015，可见甲公司用时少，所以从时间上考虑选择甲公司（2）设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，可列出方程组，解之得；可以得到用甲公司共需（万元），乙公司共需（万元），又4万元6万元，从节约开支上考虑选择乙公司