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1、2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置
2、报名号的话）： 29 所属学校（请填写完整的全名）： 中南大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 袁浩 2. 何开先 3. 李华斌 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2009 年 08月 11日B题 牧羊人的希望摘要畜牧经济是我国国民经济的重要组成部分之一，提供着全国人民日常所需的乳、肉、蛋、奶等消费资料和某些生产资料。就养羊而言，牧民养羊时遇到的两个大问题是，第一，在给定牧场场的情况下，羊群如何优化配置，使羊繁殖可持续发展;第二，牧民的经济效益问题。本文就在以牧羊人的经济效益最大化为目标的前提下，作了一系列假设使问题简化，首先建立了线性规划模型，以卖出的羊数作为目标函数，
3、求解得出每年卖出的羊的数量为1555355头，夏季每天每平方米应该收割1.265390克草才能保证冬季的需求，但出现了5龄羊为0的情况是不合理的。所以我们又建立了差分方程模型，利用按年龄分组的种群增长的Leslie矩阵，求解得到牧羊人应饲养1228860只羊，按年龄分布向量为；夏季平均每天应存储834.6吨干草用作冬季饲料；为了繁殖且种群稳定，每年保留约20%的母羊。在题目基础上，为了把原模型中夏秋季浪费掉的草利用起来，我们把模型进行了改进，夏秋两季均存草，分别为1141.86吨/天和1476.42吨/天，以供冬季和来年春季的需要，改进后的模型比原模型每年多养了831900只羊，大大增加了经济
4、效益。关键字 牧羊管理 线性规划 差分方程 Leslie矩阵一 问题重述在草原中，牧民的主要收人是由畜牧而得。然而随着人口的增加和资源的紧缺，牧民养羊受着各种限制。如何在各种条件制约的情况下，最大程度地利用现有资源，科学放牧，提高生活水平，是一个很现实的问题。一个牧羊人拥有x m2（）的牧场，牧场中长着多年生黑麦草。他期望今后几年通过养羊获得满意的收益。相关的背景资料如下：1）黑麦草的平均生长率（/m2 ）季节冬季春季夏季秋季日生长率（g）03742）羊的繁殖率一般母羊的生育期是5至8年，每年产一头、两头或三头。假定每只母羊仅喂养5年就出售。一只母羊在每个年龄段生产的平均羊羔数：年龄（年）01
5、12233445产羊羔（头）0182420183）每头羊日平均所需饲料：日需草量（kg）羔羊母羊冬季0210春季100240夏季165115秋季01354）羊的存活率（查阅相关资料和网站所得）不同年龄的母羊的自然存活率为年龄（年）122334存活率0.980.950.80需建模解决的问题如下：1.牧羊人应饲养多少只羊即该牧场能承载多少只羊的放牧？2.夏季应存储多少干草用作冬季饲料？3.为了繁殖，每年保留多大比例的母羊？二 问题分析 牧场管理是一门学科，要通过科学安排才能实现收益最大化。本文的问题已经是较为理想化了。我们假设以卖出羊的数量作为收益的度量，这样就得多养羊。但考虑到可持续发展，又要求
6、实现黑麦草的可持续利用。羊在每个季节的食草量是不同的，而且每个季节草的生长量也是不同的，要想在资源给定的情况下尽可能地多养羊，那么必须使羊每天的食草量小于或等于草的生长量，但是每个季节羊的食草量与草的生长量比例不同，如何确定羊的数目是关键，同时涉及到繁殖以及由于冬天不长草而引起夏季储草的问题。问题转化为养多少只羊能使得草资源浪费最少，出售的羊最多，同时保持羊的种群稳定的优化问题。问题还可以看成按年龄分组的种群增长问题，故可差分方程解决。三 基本假设1.文中所有数据来源真实可靠；2.只关心羊的数量，按个数计算收入，忽略个体体重等其他因素不同的影响；3.母羊都在春季产羔，羔羊即指01龄的羊；4.羊
7、不能饿肚子；5.仅考虑养殖所需的饲草供给条件，圈舍、配合饲料、给水、饲养费用等其他养殖条件忽略不计；6.设全部用于养殖的土地均为生长着多年生黑麦草的低洼地，不考虑种植问题；7.除去冬季外均进行野外均匀放牧，因天气不能野外放牧忽略不计，而冬季使用夏季储存的干草做饲料；8.干草与鲜草具有相同的喂养效果；9.在每个饲养周期内，饲草均被完全吃光（到达吃不到的高度）；10.有经验的牧民，都会尽量避免近亲繁殖，为此假设只饲养母羊（包括母羊羔）；11.需要配种时可以外配，配种成本忽略不计；12.母羊所产羊羔的性别比，从概率角度一般认定为1：1，秋季将全部公羔羊，一部分母羔羊和全部五龄羊出售，保持羊群规模；1
8、3.羊羔和五龄羊的出售连续稳定，时间忽略不计；14.饲养期间不出现战争或重大灾害瘟疫；四 定义与符号说明牧场面积第（）年龄段（第一年龄段为0-1龄羊；第二年龄段为1-2龄羊；第三年龄段为2-3龄羊；第四年龄段为3-4龄羊；第五年龄段为4-5龄羊）第年龄段羊的繁殖率第年龄段羊的存活率羊的总饲养量第年龄段羊的饲养量的第次观测值（按出售后的数 据统计）羊羔的处理率（宰杀或出售均为处理）夏季每天收割草（局部符号定义另行说明）五 模型的建立及求解5.1模型一（线性规划模型）5.1.1局部符号说明:春季初的年龄段的羊数；:秋季初的年龄段的羊数；:秋季卖出的年龄段的羊数；5.1.2 模型建立目标函数 (5-
9、1)s.t.1)保持羊数不变 (5-2)() (5-3)(5-4)2)年内母羊数不增加 (5-5)3)产羔关系 (5-6)4)牧草限制 (5-7) (5-8) (5-9) (5-10)5)公羊淘汰 (5-11)模型解释：（5-1）表示养羊的目的是追求每年卖羊数目的最大化（5-2）表示头一年留下的羔羊在下一年成为了第二年龄段羊（5-3）表示头一年留下的第年龄段羊在下一年成为了第年龄段羊（5-4）表示在秋冬之际卖出所有的第五年龄段羊（5-5）表示在一年春夏之际各个年龄的母羊数目不变（5-6）表示秋初羔羊总数是这年春初所有母羊产羔羊的数目之和（5-7）表示春季所有羊的食草量不超过春季草的生长量（5-
10、8）表示夏季所有羊的食草量不超过夏季草的生长量（5-9）表示秋季所有羊的食草量不超过秋季草的生长量（5-10）表示冬季所有羊的食草量不超过冬季草的生长量 （5-11）表示秋冬之际卖出的羊应包括这年所有新出生的公羊5.1.3 模型求解用lingo9.0软件求解该模型（代码见附录），求得结果为： Global optimal solution found. Objective value: 1555355. Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X31 1166895. 0.000000 X32 34150.87 0.0000
11、00 X33 354309.2 0.000000 X34 0.000000 0.3226397 X35 0.000000 0.000000 X21 1562585. 0.000000 X12 395690.8 0.000000 X22 395690.8 0.000000 X13 354309.2 0.000000 X23 354309.2 0.000000 X14 0.000000 0.000000 X24 0.000000 0.000000 X15 0.000000 0.000000 X25 0.000000 1.138936 X11 0.000000 0.000000 Y 1.265390
12、 0.000000可以看出，每年卖出的羊的数量为1555355头，夏季每天每平方米应该收割1.265390克草才能保证冬季的需求，春秋两季羊的数目及出售情况见表1。表1 春秋两季羊的数量及出售情况0-11-22-33-44-5春初039569035430900秋初156258539569035430900秋末出售11668953415035430900 该结果反映出春初和秋初的第三年龄段羊和第四年龄段羊数目均为0，这是不合理的，因为不可能出现一个年龄的羊没有的这种情况，所以该方法只具有参考价值，下面我们建立差分方程模型来求解。5.2模型二（差分方程模型）从效益的角度出发，牧羊人应该尽可能多地养
13、羊。将种群按照年龄大小等间距的分成5个年龄组，即每1岁为一个年龄组。与此对应，时间也离散化为时段，且时段的间隔也为1年，每年都对各个年龄段的羊的数量进行1次观测。5.2.1问题一：应该饲养多少只羊？建立羊群生长模型：每次观测各年龄段羊群数量的总和应该等于牧羊人所养羊的总数：第次观测所得羊羔的数量应等于第次观测各年龄段羊的生育总数：第次观测所得第（）年龄段羊的数量应是第次观测第年龄段存活下来羊的数量：将其写成矩阵的形式：其中=，空白处均为0；代入具体数据（保留）：，现在我们就把问题转化为求的值。下面说明求值的理论依据：引用Leslie人口模型：记，则是的非零特征根的充分必要条件为：所以当时间充分
14、大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定状态，而各个年龄组的人口数近似地按的比例增长，故可得如下结论：（1）当时，人口数最终是递增的；（2）当时，人口数最终是递减的；（3）当时，人口数是稳定的。可知：要保持牧羊总数不变，是唯一正的单特征根，所以， ，Leslie人口模型可知要使羊群结构数目不变，特征根必须等于1.求解方程：得。所以，保存羊羔为也就是说，只需要保留所有羊羔的，就可以保证羊群的总量不变。通常每年生出的羊羔雌雄比为，再仅考虑全养母羊的情况下，牧羊人只需要保留的母羊羔即可。代入数据到原矩阵：为求稳定时期各年龄段羊羔的比例，则转化为求上矩阵的特征向量，求得的特征向量为
15、：再将这个特征向量归一化，得：故牧羊人按照上述比例全养母羊时，羊群结构稳定。5.2.2问题二：夏季应存储多少干草用作冬季饲料？根据问题一的结果得到羊羔的比例为，母羊的比例为，故母羊的总数为，羊羔的总数为。下面计算每年每季度的食草量：冬季每天食草量（羊羔不食草）：春季每天食草量：夏季每天食草量：秋季每天食草量（羔羊不食草）：假设夏季每天每平方米草地收割克草为羊群过冬，结合草地生长情况，应该有（为牧场大小，单位：）：冬季：春季：夏季：秋季：（每式右端是将单位转化为）所以，有下式成立：如图1（作图代码见附录），绘出了曲线：图1 总羊数N和夏季每天储草量a的关系图我们求出来：（只）夏季每天每平方米割草
16、量为：所以，夏季每天至少要存储草量为。5.2.3问题三：为了繁殖，每年保留多大比例的母羊？有问题一可知，各个年龄段羊的比例向量为：故有：0-1龄羊数量为（只）1-2龄羊数量为（只）2-3龄羊数量为（只）3-4龄羊数量为（只）4-5龄羊数量为（只）羔羊只，母羊只。来年出生新的羊羔为：0-1龄羊数量0 +1-2龄羊数量1.8 +2-3龄羊数量2.4 +3-4龄羊数量2.0+4-5龄羊数量1.8代入实际数据可得新的羊羔数量为：（只）现在共有羊：（只）需留母羊比例为：5.3模型三（模型二的改进模型）由上述的数学模型结果来看，我们发现，冬季和春季的草没有剩余，而夏季和秋季的草有一部分剩余浪费了。所以，我
17、们想把夏季和秋季的草储存一部分起来以冬季和春季的需要，而不是仅仅割夏季的草，也不仅仅供给冬天，这样一来，则可以多养一部分羊。先设夏季每天每平方米储存克草供冬季食用，夏季每天每平方米储存克草供来年春季食用，秋季每天每平方米储存克草供冬季食用，秋季每天每平方米储存克草供来年春季食用，其他符号延用上述模型。由上述模型，我们已经得出各个季度羊的食草量（冬季：，春季：，夏季：，秋季：），同上述模型原理，得：冬季：春季：夏季：秋季：所以有： 而且必须满足：，问题又转化为求的最大值。通过Matlab7.1编程（程序代码见附录）求得：，其中，代入具体数据可得：（只）草量的分配方法是：夏季每天收割秋季每天收割冬
18、季每天分得春季每天分得 改进后的模型比原模型每年多养了831900只羊，大大增加了经济效益。六 模型的评价与推广1.上述模型不仅为解决牧民的养羊问题，给出了较为满意的答案。经推广后，还可以解决牧民养牛以及其他畜种的养殖问题。2.上述模型使饲料得到最优配置，使之发挥最大的经济效益。3.上述模型中，为了简化问题的求解，我们做了许多假设，但在现实的畜牧问题上，羊群只数具有不稳定性，如发生瘟疫等会引起它的剧烈变化，如果上述情况发生，则考虑直接从外界购人小羊，以创造最大收益。七 参考文献1 任海燕等.牧民养羊模型J.长春金融高等专科学校学报，2004.2 中国农业信息网 http:/.3 中国羊网 ht
19、tp:/.4 姜启源,等.数学模型（第三版）.北京:高等教育出版社，2003.八 附录程序代码：1）线性规划程序（lingo9.0环境）model:max=x31+x32+x33+x34+x35;x21-x31=x12;(x22-x32)*0.98=x13;(x23-x33)*0.95=x14;(x24-x34)*0.80=x15;x25-x35=0;x11+1.8*x12+x13*2.4+2*x14+1.8*x15=x21;x12=x22;x13=x23;x14=x24;x15=x25;x11+2.4*(x12+x13+x14+x15)=1800000;x11=0;1.65*x21+1.15
20、*(x22+x23+x24+x25)=(7-y)*600000;1.35*(x22+x23+x24+x25)=2400000;2.1*(x13+x14+x15)=x21-x11;end2）求解p的程序（MATLAB7.1环境，以下相同）A=1.8 2.4 2 1.8 0;1 0 0 0 -1;0.98 -1 0 0 0;0 0.95 -1 0 0;0 0 0.8 -1 0;b=1 0 0 0 0;inv(A)*(b)ans = 0.1360 0.1332 0.1266 0.10130.13603）求解Leslie矩阵的特征向量l=0,1.8,2.4,2.0,1.8;0.136,0,0,0,0;
21、0,0.98,0,0,0;0,0,0.95,0,0;0,0,0,0.80,0;v,d=eig(l);v,d=eig(l)v= 0.9701 0.1319 0.1293 0.1228 0.09824）作N-a图for a=0:0.001:7n(i)=min(a/0.6792 3/1.4648 (7-a)/1.484 4/0.4482);i=i+1;end plot(a,n)a=0:0.001:7;plot(a,n)hold on;plot(1.3910,0:0.01:2.0481,-);gtext(1.3910)hold on;plot(3.9607,0:0.01:2.0481,-);gtext
22、(3.9607)hold on;plot(0:0.01:1.3910,2.0481,-);gtext(2.0481)5）改进模型的程序c=-1 0 0 0 0;A=0.6792 -1 0 -1 0;1.4648 0 -1 0 -1;1.484 1 1 0 0;0.4482 0 0 1 1;0 1 1 0 0;0 0 0 1 1;0 -1 -1 0 0;0 0 0 -1 -1;b=0 3 7 4 7 4 0 0;lb=zeros(5,1);x,fval=linprog(c,A,b,lb)输出结果：x = 3.4346 1.0005 0.9026 1.3323 1.1284fval = -3.434614