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1、全等三角形训练题1、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如下图，已知在ABC中，ABAC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使得QAPBAC，连接BQ、CP，则BQCP。” （1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得BQCP。请你帮小亮完成证明。（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQCP”仍然成立吗？若成立，请你就图给出证明。若不成立，请说明理由。2、如下图，AD是BAC的平分线，DE垂直AB于点E，DF垂直AC于点F，且BDDC。求证：BECF3、如图所示,在直角三角形ABC中, ABC=
2、90,AB=BC,点D为斜边AC的中点, E为AC上一点,过点A作AG垂直直线BE,垂足为G点,AG与直线BD交于点F. 求证: DE=DF. (2)若把(1)中“E是AC上的一点”改为“E是AC延长线上的一点”,其他条件不变,请作出图形,并指出结论“DE=DF”还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.4、如图所示, AC平分DAB.CEAB,CFAD,E、F为垂足,且BC=CD, 求证: (1) CDFCBE;(2)若AB=25,AD=13,BC=10,求CE的长.5、如图，在四边形ABCD中，ADBC，点E是DC的中点，BEDC，点F在线段BE上，且满足BF=AB，FC=AD求证：
3、(1) A=BFC (2) FBC=BCF 6、在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED（1）求证：BECDEC；（2）延长BE交AD于F，当BED=120时，求EFD的度数7、如图（1）在四边形ABCD中，ADBC，ABCDCB，ABDC，AEDF，（1）求证：BFCE；（2）当E、F相向运动，形成图（2）时，BF和CE还相等吗？请证明你的结论。（1） （2） 8、如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，BGCE，垂足为点O,交AC于点F，交AD于点G。（1） 证明：BE=AG ；（2） 点E位于什么位置时，AEF=CEB，说明理由。9、已知：在ABC中，AC
4、=BC，ACB=90，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明。10、如图，等边ABC中，AO是BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边CDE，连接BE（1）求证：ACDBCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长11、 如图6点D，E在ABC的边BC上连接ADAEAB=AC：AD=AE：BD=CE。以此三个等式中的两个作为命题的题设，
5、另一个作为命题的结论构成三个命题：；，。（1）以上三个命题是真命题的为(直接作答)_；（2）选择一个真命题进行证明(先写出所选命题然后证明)。12、如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且AEF=90，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG.（1）求证：EG=CF；（2）将ECF绕点E逆时针旋转90，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系.13、已知两个全等的等腰直角、DEF，其中ACB=DFE=90，E为AB中点，DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB(或它们所在直线)于M、N (1)如图l，当线段EF经过的顶点C
6、时，点N与点C重合，线段DE交AC于M,求证：AM=MC； (2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN,EC,请探究AM，MN,CN之间的等量关系，并说明理由； (3)如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由。参考答案1、证明：（1）QAPBACQAPBAPBACBAP即QABCAP 在BQA和CPA中APAQ，QABCAP，ABACBQACPA（SAS） BQCP （2）BQCP仍然成立，理由如下： QAPBACQAPPABBACPAB 即QABPAC在QAB和P
7、AC中APAQ，QABPAC，ABACQABPAC（SAS） BQCP 2、证明：DEAB，DFACEDFC90 AD平分EACDEDF 在RtDBE和RtCDF中DEDF，BDDCRtDBERtCDF（HL） BECF 3、(1)证:AB=BC D为AC中点 BDAC ABD=CBD=45 (三线合一) AB=BC, ABC=90 BAC=BCD=45 ABD=CBD=BAC=BCD=45 BD=AD=CD 在BFG和AFD中 BFG=AFD BGF=ADF=90 GBF=DAF 在ADF和在BDE中 ADFBDE DE=DF (2)补全图形 同理可证 4、(1)证:AC平分DAB, CEA
8、B, CFAF CF=CE 在RtCDF和RtCBE中 RtCDFRtCBE(HL) (2)RtCDFRtCBE DE=BE 在RtAEC和RtAFC中, RtAECRtAFC AE=AF 即 设BE=DF=,AB=25 AD=13,可得 在RtCBE中, 5、证明：（1）连接BD 点E是DC的中点，BEDC BE垂直平分DCBD=BC 在与中ABFC （2）由（1）知12 ADBC1DBCBD=BC且BEDC 3DBC 32即FBCBCF 6、解（1）证明：四边形ABCD是正方形BCCD，ECBECD45又ECECBCEDCE（2）BCEDCE BECDECBEDBED120BEC60AEF
9、 EFD60+451057、（1）即证BAFCDE；（2）还相等，证法同（1）。8、（1）证明：四边形ABCD是正方形ABC=BAD=90，1+3=90，BGCE,BOC=902+3=90,1=2 在GAB和EBC中，GAB=EBC=90,AB=BC,1=2GABEBC (ASA) AG=BE （2）解：当点E位于线段AB中点时，AEF=CEB 理由如下：若当点E位于线段AB中点时，则AE=BE,由（1）可知，AG=BE AG=AE 四边形ABCD是正方形，GAF=EAF=45又AF=AF,GAFEAF (SAS)AGF=AEF 由（1）知，GABEBC AGF=CEB,AEF=CEB 9、（
10、1）证明：点D是AB中点，AC=BC，ACB=90CDAB，ACD=BCD=45CAD=CBD=45CAE=BCG 又BFCECBG+BCF=90又ACE+BCF=90ACE=CBGAECCGBAE=CG（2）BE=CM证明：CHHM，CDED CMA+MCH=90 BEC+MCH=90CMA=BEC又AC=BC，ACM=CBE=45BCECAMBE=CM10、解：（1）ABC与DCE是等边三角形，AC=BC，DC=EC，ACB=DCE=60，ACD+DCB=ECB+DCB=60，ACD=BCE，ACDBCE（SAS）；（2）过点C作CHBQ于H，ABC是等边三角形，AO是角平分线，DAC=3
11、0，ACDBCE，QBC=DAC=30，CH=BC=8=4，PC=CQ=5，CH=4，PH=QH=3，PQ=611、12、（1）证明： 正方形ABCD点G，E为边AB、BC中点 AG=EC 又 CF为正方形外角平分线且AEF=90，BG=BE AGE=E GAE=FEC AGEECF EG=CF （2）（图略） 平行 二、综合题13、（1）AC=BC，E为AB中点CEAB, ACEBCE =ACB=45oAEC90oA=ACE=45oAE=CE DF=EF, DFE90oFED=45oFED=AEC又AE=CEAM=MC （2）AM=MN+CN，理由如下: 在AM截取AH，使得AH=CN，连接BH由（1）知AE=CE，A=BCE=45o在与中： HE=NE，AEHCENHEM=AECAEHMEC=AECCENMEC=AECMEF=45oHEM=NEM=45o在与中： HM=MNAM=AH+HM= CN +MN即AM=MN+CN （3）猜得MN = AM +CN