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1、第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) 解： 所以，的基础解系为： 因此，的属于的所有特征向量为： 所以，的基础解系为： 因此，的属于的所有特征向量为：(2) 解： 所以，特征值为：(单根)，(二重根) 所以，的基础解系为： 因此，的属于的所有特征向量为： 所以，的基础解系为： 因此，的属于的所有特征向量为：(3) 解： 所以，特征值为：(三重根) 所以，的基础解系为： 因此，的属于的所有特征向量为：(为不全为零的任 意常数)。(4) 解： 所以，特征值为：(四重根)所以，的基础解系为：因此，的属于的所有特征向量为：()(5) 解： 所以，特征值为：(三重根) 所以，的
2、基础解系为： 因此，的属于的所有特征向量为：()(6) 解： 所以，特征值为：(单根), (单根), (单根), 所以，的基础解系为： 因此，的属于的所有特征向量为：() 所以，的基础解系为： 因此，的属于的所有特征向量为：() 所以，的基础解系为： 因此，的属于的所有特征向量为：()2. 已知矩阵的特征值(二重)，, 求的值，并求其特征向量。解： 所以，的基础解系为： 因此，的属于3的所有特征向量为：(为不全为零的任意常数) 所以，的基础解系为： 因此，的属于12的所有特征向量为：()3. 设是矩阵不同特征值的特征向量，证明不是的一个特征向量。证：（反证法）若是的属于特征值的一个特征向量，是
3、的属于特征值的特征向量且，则：所以，属于不同特征值 线性无关即与矛盾。所以，不是的一个特征向量。4. 设分别是矩阵对应于互不相同的特征值的特征向量，证明不是的一个特征向量。证：类似3题可证。5. 证明对合矩阵(即)的特征值只能为1或.证： 的特征值只有1. 若为的特征值，则为的特征值 的特征值只能为1或.6. 设可逆，讨论与的特征值(特征向量)之间的相互关系。解： 若则.7. 若问：是否成立？解：成立。8. 已知求解：相似矩阵具有相同的特征值 9. 已知求解： 10. 设是矩阵属于特征值的特征向量。证明：是矩阵对应其特征值的一个特征向量。证： 11. 设为非奇异矩阵，证明与相似。证：为非奇异矩
4、阵 存在 与相似12. 设证明：证： 存在可逆矩阵, 使得 13. 证明：阶矩阵只有零特征值，且特征子空间是的一维子空间，并求它的基。解： 只有零特征值。 的基础解系为：14. 若可逆，不可逆，那么，关于的特征值能做出怎样的断语？解：可逆，不可逆 不是的特征值，1是的特征值。15. 若证明: 1或至少有一个是的特征值。证： 或 1或至少有一个是的特征值。16. 在第1题中，哪些矩阵可对角化？并对可对角化的矩阵, 求矩阵和对角矩阵, 使得解：由矩阵可对角化的条件及第1题的求解过程易知：(1), (6)可对角化。(1) (2)17. 主对角元互不相等的上（下）三角形矩阵是否与对角阵相似（说明理由）
5、？解：可以，因为有个互不相等的特征值。18. 设阶矩阵的个元素全为1，试求可逆矩阵使为对角阵，并写出与相似的对角阵。解：所以，特征值为：(单根)，(重根)所以，的基础解系为：所以，的基础解系为：所以，与相似的对角阵为：19. 已知4阶矩阵的特征值为(三重)，对应于的特征向量有对应于的特征向量为问：可否对角化？如能对角化，求出及(为正整数)。解：容易验证，线性无关，所以，可对角化。 令则 20. 设三阶矩阵有二重特征值如果都是对应于的特征向量，问可否对角化？解： 所以，线性无关。又因为剩余的那个特征值是单根，所以可对角化。21. 已知1。求(为正整数) 2。若求解：(1) 所以，特征值为：(单根
6、)，(单根) 所以，的基础解系为： 所以，的基础解系为：令则：所以，(2)22. 设求(为正整数)。(提示：按对角块矩阵求.)解：令则从而， 所以，特征值为： 所以，的基础解系为： 所以，的基础解系为： 令 则 23. 对5.2节例1的矩阵求正交矩阵使为对角阵。解：借助5.2节例1的求解过程，对单位化，对构成的线性无关向量组利用施密特正交化方法进行处理，即得所求的正交矩阵为：24. 对下列实对称矩阵求正交矩阵和对角矩阵使(1) (2) (3) (4) (5) (1) 解： 所以，特征值为：(二重根)，(单根) 所以，的基础解系为： 用施密特正交化方法得：所以，的基础解系为：单位化得：所以，(2
7、) , (3), (4), (5)类似(1)可求解。25. 设是阶实对称矩阵，且证明存在正交矩阵使得 证：设是的对应于特征值的一个特征向量，则： 为非零向量 或0 为实对称矩阵 存在正交矩阵使得26. 设阶实对称矩阵的特征值证明存在特征值非负的实对称矩阵, 使得证：为实对称矩阵 存在正交阵使得 取则满足条件。27. 设为阶实对称幂等矩阵试求解: (求解过程参考p240例4) 补充题28. 设多项式是矩阵的一个特征值，是对应于的特征向量。证明是的特征值，且仍是对应于的特征向量。证： = 是的特征值，且仍是对应于的特征向量29. 设证明：证： 存在可逆矩阵使得 30. 设已知0是的二重特征值，1是
8、的(一重)特征值，求矩阵的特征多项式 解： 的所有特征值为：0(二重根)，1(单根)，(单根) 31. 设阶矩阵的每行元素之和皆为1，问：能否至少求得的一个特征值？解：设则： 即： 所以，的一个特征值为1.32. 设是矩阵的个特征值，证明：证：是矩阵的个特征值 是的个特征值 的主对角元之和 =33. 设是对应于特征值的特征向量，证明：(的特征子空间)证： 34. 证明: 若阶矩阵有个互不相同的特征值，则的充要条件是的特征向量也是的特征向量。证：(充分性) 不妨设是的个线性无关的特征向量(因为，有个互不相同的特征值，所以，必可取出这样的) 的特征向量也是的特征向量 也是的个线性无关的特征向量令则
9、(为对角形矩阵)，则所以，(必要性) 由33题可知：若是对应于特征值的特征向量，则有个互不相同的特征值 是一维的特征子空间为中的非零向量 存在使得即也是的特征向量。35. 设皆为阶矩阵，证明：可逆的充要条件为的任一特征值都不是的特征值。(提示：设利用不是的特征值时，讨论的充分必要条件。)证：设, 则， 所以，的充要条件是即()都不是的特征值。36. 证明反对称实矩阵的特征值是0或纯虚数。证：设为反对称实矩阵，则 设是对应于特征值的一特征向量，即 是0或纯虚数37. 已知中两个非零的正交向量证明：矩阵的特征值全为0，且不可对角化。证：为两个非零正交实向量 的特征值全为0 若为的特征值，则为的特征
10、值 的特征值全为0 的基础解系中含个向量 不可对角化38. 设且试求矩阵的特征值，并求可逆矩阵使成对角形。解： 0是的特征值且是的特征方程的重根。 的所有特征值之和等于其主对角元之和 是的特征方程的单根 的每列向量都是的解 可取为的一个基础解系 的一个基础解系为：可取39. 已知的一个特征向量(1) 确定及对应的特征值；(2) 能否相似于对角矩阵？说明理由。解：(1)由求解得：(2) 特征值为：(三重根) 只有一个线性无关的特征向量 不能与对角矩阵相似40. 设已知且有一特征值其特征向量试求及解：是的一特征值，是对应的一特征向量 由及可得到41. 设已知有3个线性无关的特征向量，且是其二重特征值，求使(对角矩阵)。解：有3个线性无关的特征向量 可对角化 属于的线性无关的特征向量有两个 设另一特征值为则 的一基础解系为： 的一基础解系为： 可取则42. 设均为非零向量，已知试求：(1) (2) 的特征值与特征向量。解：(1) (2) 0是的特征值 的一基础解系为： 0至少是重特征值。设另一特征值为则：0是的特征方程的重根。的特征值为0. 特征向量为：(为不全为零的任意常数)。